对导数求参数取值范围问题解法的探究

孙璪 王宇航

摘要：利用四种解法来解决2023年全国甲卷理科压轴题，总结了导数中求参数取值范围问题的不同解法.其中分类讨论、分离参数是常见的方法，必要性探路是优法，泰勒展开是从高等数学的角度解决问题，更能揭示题目的本质.

关键词：取值范围；必要性探路；泰勒展开

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0056-03

近年高考导数压轴题中求参数取值范围问题的题目出现频次较高，其中以特殊函数ex与lnx为背景的题目考查较多，但是2023年全国甲卷的导数压轴题以三角函数为背景，大有反套路、考能力的趋势.因此，如何找到求导数取值范围问题的通性通法显得尤为重要.

1 解法概述

分类讨论常常是解决该问题的一种通法.该方法一般是构造函数，然后通过求导、分类讨论、分析其单调性.

分离参数往往是解决该问题的一种重要方法，分离参数在解决恒成立问题时可以有两个角度：全分离和半分离.全分离是将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来，使所研究的函数由动态变为定态，进而可得到新函数的图象、性质（最值），将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.半分离是将不等式变形为ax+b≥f（x）或ax+b≤f（x）的形式（其中a为参数，b为常数），然后画出图象，由图象的上下位置关系得到不等式，从而求得参数的取值范围.

必要性探路是解决该问题的一种妙法.必要性探路是指对某些与函数有关的恒成立问题，通过选取函数定义域内的某些特殊值，先得到一个必要条件，初步获得参数的范围，再在该范围内进行讨论，或去验证其充分性，进而得到参数的准确范围的方法.在验证其充分性的时候，往往需要结合“矛盾区间”进行说明.

泰勒展开是解决该问题的一种优法，许多高考题的命制如含有ex与lnx的题目，通常都是把其函数的泰勒展开式的几项进行直接变形，或取倒数、对数进行演绎变形，然后再结合添加参数设计而成.具有泰勒公式背景的高考数学试题大致可以分成两类问题，一类是根据不等式恒成立求解参数范围，一类是证明不等式恒成立［1］.

2 解法探讨

题目已知f（x）=ax-sinxcos3x，x∈（0π2）.

（1）当a=8时，讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）

2.1 分类讨论，直面问题

本题的背景是三角函数，可通过构造函数用含参讨论法，讨论a在不同取值范围函数的单调性，从而知道所构造函数在定义域的最大值和零的大小关系.

因为f（x）

接下来对函数g（x）求导，并讨论其单调性.

g′（x）=f ′（x）-2cos2x，即g′（x）=2-4cos2x+2cos2x-3cos4x+a.令cos2x=t（0

即h′（t）=-2（t-1）（2t2+2t+3）t3.

又00.故h（t）在（0，1）上单调递增，则h（t）

①若a∈（-

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，3］，a-3≤0，h（x）≤0，即g（x）在（0，π2）上单调递减.又g（0）=0，所以g（x）<0.

所以当a∈（-∞，3］，f（x）

②若a∈［3，+

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），当t→0，2t-3t2=-3（1t-13）2+13，所以h（t）→-

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.当t→1，h（1）=a-3，又a-3>0，h（1）>0，所以  t0∈（0，1），使得h（t0）=0，即  x0∈（0，π2），使cosx0=t0.

当t∈（t0，1），h（t）>0，即t0

00，即g（x）单调递增.所以当x∈（0，x0），g（x）>g（0） .又g（0）=0即g（x）>0，不合题意.

综上，a的取值范围为（-∞，3］.

2.2分离参数，数形結合

本题采用“半分离参数”法较为合适，可把条件f（x）

若f（x）

令m（x）=sin2x+sinxcos3x，即ax

即m′（x）=2cos2x+cos2x+sin2x（3-2cos4x）cos4x.

又3-2cos4x>0，故m′（x）>0.

即m″（x）=8sinxcos2x（1-cos4x）+12sin3xcos5x.

又1-cos4x>0，故m″（x）>0.因此m（x）在（0，π2）上是单调递增的凹函数.

又y=m（x）过原点且在原点处的切线斜率为m′（0）=3，又直线y=ax过原点且斜率为a，若要y=ax在y=m（x）图象的下方，则a≤3.即a的取值范围为（-

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，3］.

2.3 必要性探路，降低讨论

必要性探路是先考虑函数的端点，再结合“矛盾区间”得出参数的取值范围的方法.“端点效应+矛盾区间”是一个完整的解题过程，其重点在于“矛盾”而非“端点”.缺少“矛盾区间”说明的解法，得到的仅仅是一个必要条件，显然过程是不完整的.

若f（x）0.

令g（x）=sin2x+sinxcos3x-ax，g（x）>0对任意0

又g（0）=0，则g（x）>g（0）对任意0

g′（x）=2cos2x-2sin2x+cos2x+3sin2xcos4x-a，

g″（x）=8sinxcos2x（1-cos4x）+12sin3xcos5x，

且g″（x）>0，

故g′（x）在（0，π2）上单调递增.

所以g′（x）≥0，即3-a≥0.

①若3-a≥0，即a≤3时，g′（x）>0，x∈（0，π2），g（x）在（0，π2）上单调递增，故g（x）>g（0）.则g（x）>0在x∈（0，π2）恒成立.

②若3-a<0，即a>3时，又g′（x）在（0，π2）上单调递增，且x=0时，g′（0）<0，x→π2时，cosx→0，g′（x）→+

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，所以存在x0∈（0，π2）使g′（x0）=0.则当x∈（0，x0）时，g′（x）<0.因此g（x）在（0，x0）上单调递减.又g（0）=0，故x∈（0，x0）时，g（x）<0不符合题意.

2.4 泰勒展开，揭示本质

由泰勒展开式，我们可以得到：

sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）nx2n+1（2n+1）！+o（x2n+1），

cosx=1-x22！+x44！-…+（-1）nx2n（2n）！+o（x2n），

tanx=x+x33+x55+…+x2n+12n+1+o（x2n+1）.

由sinxcos3x=1cos2x·sinxcosx=sin2x+cos2xcos2x·tanx=tan3x+tanx，

由sin2x>f（x），得sin2x+tan3x+tanx-ax>0.

因为sinx>x-x36，则

sin2x>2x-（2x）36，x∈（0，π2）.

又因为 tanx>x，则tan3x>x3，x∈（0，π2）.

故sin2x+tan3x+tanx-ax>2x-43x3+x3+x+x33-ax.

即sin2x+tan3x+tanx-ax>3x-ax.

①若a≤3，则3x-ax≥0.故sin2x+tan3x+tanx-ax>0在x（0，π2）恒成立.

②若a>3，同必要性探路解法.

点评

在本题中tanx与sin2x都是用泰勒展开式展开到两阶.事实上“端点效应”与泰勒展开式之间有一定联系，一般端点效应求导求到几阶，泰勒展开就到几阶.其实所有的端点效应都是按照泰勒展开来命题的.本题的命题背景应该是利用泰勒展开构造了不等式

［sin2x-2x+16（2x）3］+（tan3x-x2）+（tanx-x-13x3）+（3-a）x>0，

然后命制出第二问：若已知sin2x>f（x）求參数a的范围.

3 结束语

处理导数中的参数取值范围问题有四个层次，正如本题的不同解法反映了不同的思维水平一样.学习导数的第一层次是“直接求导，分类讨论”，第二层次是“参变分离，数形结合”，第三层次是“端点效应，降低讨论”，第四层次是“泰勒展开，揭示本质”.如果学生解题总是只停留在第一层次就会自我设限，画地为牢，没有探究到导数的精髓.因此，我们倡导去探究通法通解，不被题目背景的表象所迷惑，去接近问题的本质.

参考文献：

［1］ 李尚志.高考借题发挥（Ⅱ）：泰勒展开[J].数学通报，2022，61（09）：1-6，16.

［责任编辑：李璟］