运用交轨法求动点的轨迹方程

唐宜钟

摘要：结合具体实例，给出了交轨法求动点轨迹方程的定义、参数选取和消参方法，最后给出了交轨法求动点轨迹方程的一般流程.

关键词：交轨法；轨迹方程；参数；消参

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0024-05

轨迹问题是圆锥曲线的基本问题之一，其常用的解决方法有代数法和几何法两种.交轨法是代数方法中的一种，近些年在高考、各地模拟题中都有所涉及.

1 交轨法的定义

设P为曲线y=f（x，k）与曲线y=g（x，k）的交点，由y=f（x，k），y=g（x，k）， 消去参数k，得到F（x，y）=0，即为M的轨迹.运用交轨法探求轨迹方程问题时，关键是参数的选取，选取参数的基本原则是所有相关量表达尽量直观，几何意义尽量明确，与参数有关的计算尽量简单.同时，要关注参数的取值范围.其中，点的分量、点的坐标、斜率、倾斜角是常见的参数.对于某些问题，在一开始，甚至需要选择多个参数，再依次消去，最终留下一个参数.而消去参数需依据题目特征和表达式的代数结构，灵活处理.

2 交轨法的选参和消参

2.1 直接解方程消参

例1已知正方形的四个顶点分别为O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD=BE，设AD与OE交于点G，求点G的轨迹方程.

解析设D（0，m）（0≤m≤1），则E（1，1-m）.

所以lAD：x+ym=1.

又lDE：y=（1-m）x，设G（x，y），则由x+ym=1，y=（1-m）x， 可得x=m，y=（1-m）m.

消去m可得y=（1-x）x（0≤x≤1）.

评析本题属于交轨法的“入门问题”.选取点D的纵坐标为参数，进而能得到点E的坐标，所有直线都能够表示出来.对于所列方程组，可以直接把m当成已知量，解出x和y.再利用m=x，代入y=（1-m）m即可得到轨迹方程.最后，需要根据初始参数m的取值范围及运算过程中各个条件和运算式的限制，界定轨迹的范围，去掉方程中的特殊点.

2.2 相乘消参

例2垂直于x轴的直线交双曲线x2a2-y2b2=1于M，N两点，A1，A2为双曲线的左、右顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

解析设P（x，y）及M（x1，y1），N（x1，-y1），又A1（-a，0），A2（a，0），

所以lA1M：y=y1x1+a（x+a），①

lA2N：y=-y1x1-a（x-a）.②

由①×②，得y2=-y21x21-a2（x2-a2）.③

又因为x21a2-y21b2=1，

所以-y21=b2a2（a2-x21）.

代入③，得y2=-b2a2（x2-a2）.

化简，得x2a2+y2b2=1.

所以点P的轨迹方程为x2a2+y2b2=1.

当a=b时，点P的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；当a≠b时，点P的轨迹是椭圆.

例3已知MN是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中垂直于长轴的动弦，A，B是椭圆长轴的两个端点，求直线AM和NB的交点P的轨迹方程.

解析由椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ（θ为参数），

设M（acosθ，bsinθ），

則N（acosθ，-bsinθ）.

又椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴端点为A（-a，0），B（a，0），设直线AM和NB的交点为P（x，y），则

lAM：y=bsinθacosθ+a（x+a）（x≠-a），

lBN：y=-bsinθacosθ-a（x-a）（x≠a）.

两式相乘，得

y2x2-a2=-b2sin2θa2cos2θ-a2=-b2sin2θa2（cos2θ-1）=b2a2.

整理，得x2a2-y2b2=1（x≠±a）.

即点P的轨迹方程为x2a2-y2b2=1（x≠±a）.

评析例2和例3属于交轨法的经典范例.其中，例2选取了点M（x1，y1）为参数，例3选取了椭圆的辐角θ为参数，再利用两直线方程相乘消去了参数.其本质是利用了有心曲线的第三定义：A，B是有心曲线上关于原点对称的两点，P（x，y）为有心曲线上异于A，B的一点，则kPA·kPB=e2-1[1].例2和例3从代数角度“佐证”了第三定义.事实上，只要两条直线斜率相乘呈现一定的代数特征（如为定值），就可以尝试使用乘法消元.当然，在使用过程中，依旧要注意参数的取值范围，以便在最终结果中去掉特殊点.

2.3 零因式消参

例4已知抛物线y2=4x，过顶点的两弦OA，OB互相垂直，求以OA，OB为直径的两圆的另一交点的轨迹方程.

解析易得直线OA，OB的斜率存在，设OA，OB的直线方程分别为y=kx，y=-xk（k≠0）.直线OA和抛物线联立解得x=4k2，y=4k或x=0，y=0.

所以A（4k2，4k）.

以OA为直径的圆的圆心为（2k2，2k），半径为（2k2）2+（2k）2，

所以以OA为直径的圆的方程为

（x-2k2）2+（y-2k）2=（2k2）2+（2k）2.

即k2（x2+y2）-4x-4ky=0.④

同理，以-1k代替k可得以OB为直径的圆的方程为x2+y2-4k2x+4ky=0.⑤

④+⑤，得（1+k2）（x2+y2-4x）=0.

因为1+k2≠0，所以x2+y2-4x=0.

所以以OA，OB为直径的两圆的另一交点的轨迹方程为x2+y2-4x=0（x≠0）.

评析本题选取OA的斜率k为参数，通过直曲相交得到相关点的坐标，进而得到两个圆的方程.此时，若两圆方程直接联立得出x=m（k）y=n（k）的表达式，再消去k运算难度很大.注意到两圆方程的代数结构，使用因式分解的方式，得到（1+k2）（x2+y2-4x）=0，进而利用零因式完成了消参.这种消参方式属于“巧思”.

2.4 同构消参

所谓同构是指若方程f（a）=0，f（b）=0呈现出共同特征，则a，b可视为方程f（x）=0的两个根.其常应用于切线和切点弦问题，因为这类问题初始时通常会用多个参数，通过同构可以达到“多参化一”的效果.

例5P为椭圆C1：x28+y26=1上的动点，过P作椭圆C1的切线交圆C2：x2+y2=24于M，N，过点M，N作C2切线交于点Q，求点Q的轨迹方程.

解析设点P（x0，y0），先证明椭圆C1在点P处的切线方程为x0x8+y0y6=1.

联立x0x8+y0y6=1，x28+y26=1， 可得

x2-2x0x+x20=0，Δ=4x20-4x20=0.

故椭圆C1在点P处的切线方程为

x0x8+y0y6=1.

设点M（x1，y1），再证圆C2在点M处的切线方程为x1x+y1y=24.

当直线OM的斜率存在且不为零时，kOM=y1x1，圆C2在点M处的切线斜率为k=-x1y1，

故圆C2在点M处的切线方程为

y-y1=-x1y1（x-x1），

即x1x+y1y=x21+y21=24.

当直线OM的斜率不存在且为零时，在点M处的切线满足上式.

设点N（x2，y2），则圆C2在点N处的切线方程为x2x+y2y=24.

设点Q（m，n），则mx1+ny1=24，mx2+ny2=24.

故点M，N的坐标满足方程mx+ny=24.

故直线MN的方程为mx+ny=24.

由于直线mx+ny=24与直线x0x8+y0y6=1重合，即直线mx+ny=24与直线3x0x+4y0y=24重合，故m=3x0，n=4y0. 即x0=m3，y0=n4.

由于点P在椭圆C1上，则x208+y206=1.

即m272+n296=1.

因此点Q的轨迹方程为x272+y296=1.

2.5 动点转移法消参

所谓动点转移法是指动点P（x，y）随着动点

Q（x0，y0）的运动而运动，若能建立关系式x0=m（x），y0=n（y）， 就能将（m（x），n（y））代入点Q（x0，y0）的方程，进而得到点P（x，y）的轨迹方程.

例6如图1，已知抛物线C：y=x2，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，且與抛物线C分别相切于A，B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.

解析设切点A，B坐标分别为（x1，x21）和（x2，x22）（x1≠x2），

求导可得kAP=2x1.

故lAP：2x1x-y-x21=0.

同理lBP：2x2x-y-x22=0.

由于点P既在AP上又在BP上，

所以2x1xP-yP-x21=0，2x2xP-yP-x22=0.

解得xP=x1+x22，yP=x1x2.即P（x1+x22，x1x2）.

所以△APB的重心G的坐标为

xG=x1+x2+xP3=x1+x22=xP，⑥

yG=y1+y2+yP3=x21+x22+x1x23

=4x2P-yP3.⑦

由⑥⑦可得yP=-3yG+4x2G.

由点P在直线l：x-y-2=0上运动

所以xP-yP-2=0.

即xG-（-3yG+4x2G）-2=0.

从而得到重心G的轨迹方程为

y=13（4x2-x+2）.

评析本题选择的初始参数有三个，即点A（x1，x21），B（x2，x22）及P（xP，yP）.之所以选择点A和点B，是因为这两个参量既可以提供切点，又可以提供斜率，达到了“一参两用”的目的.再通过同构将三个参数化为一个只关于点P的参数，通过点P和点G之间的关系式，实现了动点转移法消参.

2.6 利用曲线性质消参

许多曲线本身有着多种性质.如椭圆中的“垂径定理”：对于椭圆Γ：x2a2+y2b2=1，AB是一条不过原点的弦，M为弦AB的中点，若kAB与kOM均存在，则有kAB·kOM=-b2a2.合理利用这些性质，就可以达到消参的目的.

例7已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點为F（1，0），且过点A（-2，0）.

（1）求C的方程；

（2）如图2，点P，Q分别在C和直线x=4上，OQ∥AP，M为AP的中点，求证：直线OM与直线QF的交点在某定曲线上.

解析（1）x24+y23=1.

（2）显然，kAP存在且不为0，设kAP=kOQ=k，则lOQ：y=kx，故yQ=4k，即Q（4，4k）.

又F（1，0），则kQF=4k3.

进而lQF：y=4k3（x-1）.

又由椭圆中的“垂径定理”知：kOM·kAP=-34.

进而kOM=-34k，lOM：y=-34kx.

两直线方程相乘，得y2=-x（x-1）.

化简，得（x-12）2+y2=14.

即交点恒在（x-12）2+y2=14上.

2.7 利用曲线的几何意义消参

例8已知复数z=a+bi（a，b∈R），z-是z的共轭复数，z1=z+1z--2.若存在有序实数对（a，b）满足|z|=|z-|，求|z|的取值范围.

解析设|z|=|z-|=λ（λ>0），即有其轨迹方程为a2+b2=λ2，表示圆心在原点，半径为λ的圆Γ1.

又|z1|=|z+1z--2|=|z+1||z--2|=|z+1||z-2|=λ，

由复数的几何意义，点（a，b）到两定点（-1，0）与（2，0）距离之比为λ.当λ=1，其表示（-1，0）与（2，0）的中垂线，即x=12.当λ≠1时，由（a+1）2+b2（a-2）2+b2=λ2，得（1-λ2）a2+（1-λ2）b2+（2+4λ2）a+1-4λ2=0.

即（x-2λ2+1λ2-1）2+y2=（3λλ2-1）2，其表示圆心在（2λ2+1λ2-1，0），半径为|3λλ2-1|的圆Γ2.

要满足实数对（a，b）使|z|=|z-|，则需其两个轨迹有交点.当λ=1时，显然有交点.对于Γ2，令b=0，则（1-λ2）a2+（2+4λ2）a+1-4λ2=0，解得a1=-1+2λ1+λ，a2=-1-2λ1-λ.

当λ<1时，需-λ≤a1≤λ，解得13-32≤λ<1.当λ>1时，a1≤λ≤a2，解得1<λ≤13+32.

综上，λ∈［13-32，13+32］.

评析本题背景虽为复数，但从复数模长的几何意义上看，题目的实质是满足条件的点的轨迹，即两圆有公共点，直接利用圆的相关知识解决即可.

3 结束语

在选取参数时，除了常见的动点坐标、斜率、角度外，线段比值、截距等也都可以在相应的题目中使用[2].在具体消参过程中，要代数技巧、曲线性质和几何意义相结合，力求做到消参路径的顺畅、计算的简单、几何意义的明确.在得出轨迹方程后，需要从题目本身及消参过程中参数的条件限制去掉特殊点.从方程轨迹的几何意义再去思考题目，明晰轨迹的生成过程，从“数”和“形”两方面，进一步加深对题目的理解.

参考文献：

［1］ 赖淑明.“交轨法”形式背后的内容[J].中学数学研究（华南师范大学版），2017（07）：32-33.

［2］ 武增明.运用交轨法探求轨迹方程问题[J].数理化解题研究，2019（34）：40-42.

［责任编辑：李璟］