基于细观模型的复合材料力学性能预测方法

魏鑫 李慧 周勃 郑皓成

DOI：10.20145/j.32.1894.20240204

基金项目：

国家自然科学基金（52306264，52175105）；辽宁省教育厅高等学校基本科研项目（LJKMZ20220486，JYTQN2023446）

作者简介：魏鑫（1999—），男，硕士研究生，研究方向：清洁能源与智能建造技术。1870167787@qq.com

*通信作者：李慧（1985—），女，副教授，博士；研究方向：风力机叶片设计开发，损伤评估与损伤修复。lh1985@sut.edu.cn

摘要：文章基于细观力学方法，建立了細观代表性体积单元RVE模型，通过设计RVE模型的单胞尺寸和排布方式，施加周期性条件，研究了基于细观模型的复合材料力学性能的预测方法。首先，针对玻璃纤维/环氧树脂单向复合材料，预测了横向、纵向弹性模量和泊松比，研究了均匀纤维排布对纤维树脂基复合材料力学性能的影响规律，通过与参考文献的试验值对比，验证了文章预测方法的精准性。然后，面向碳纤维/环氧树脂单向复合材料，通过改变纤维的有效直径，进而观察在不同纤维体积含量的影响下，四边形RVE模型和六边形RVE模型在预测复合材料力学性能的差异性。研究结果表明，四边形细观RVE模型在基于横向拉伸载荷作用下的有效模量的预测结果更为精确，为此种模型的预测及应用提供了一个新思路。

关键词：代表性体积单元；纤维体积含量；周期性边界条件；力学性能

中图分类号： TB332  文献标志码：  A

0  引言

由于纤维增强复合材料具有高强度、轻量化和耐腐蚀等优点，故在风能行业中，广泛应用于风电叶片制造领域［1-2］。目前，风力发电叶片一般由纤维和基体材料组成的复合材料所制造。纤维通常采用玻璃纤维或碳纤维，而基体材料则为树脂材料或聚合物材料。在真空灌注制造过程中，由于纤维沿着特定方向排列并与树脂浸润共固化成型，纤维排布方式和浸润效果导致叶片内部材料非均匀分布，主要体现在纤维方向和纤维体积含量的不均匀［3-4］，进而导致叶片在宏观尺度上表现出各向异性的非线性力学行为，从而引起叶片在不同受力方向上具备不同的强度和刚度特性。因此，准确预测纤维增强复合材料的力学性能对于风电叶片的结构设计和承载能力分析至关重要，这有助于提高叶片的可靠性和工作效率［5-7］。

目前，预测纤维增强复合材料力学性能的方法主要包括理论分析、数值模拟分析和试验验证［8］。在理论分析方面，常用的包括Eshelby等效夹杂法［9］、自洽法［10］、广义自洽法和Mori-Tanaka方法等［11］。然而，由于这些方法在分析纤维形状、大小、制造差异等方面存在一定限制，导致它们只能进行一些基本的力学性能计算，精度有限。数值模拟分析主要基于有限元分析方法，通过已知力学性能参数建立对应的尺度分析模型，进行相关力学性能计算。试验验证则是通过专业的试验机器或设备来测试得到材料的力学性能参数，但同时试验需要大量人力和物力且受到不抗抗力等因素的影响，使其不具备普适性。因此，为了减少力学性能参数对试验的依赖性，采用何种方法可以实现力学性能的有效预测，成为当今风电叶片的热点问题［12-14］。

近几年，以细观RVE模型为基础的数值分析方法是测试复合材料力学性能的有效获取途径之一。通过捕获细观尺度下的应力/应变场，利用均匀化理论方法，建立对应的结构尺度模型，以此来实现宏观结构力学性能的预测。常用的细观力学模型主要有离散粒子模型、有限元模型、统计力学模型和连续介质模型等［15］。由于有限元模型可以建立能准确预测复合材料力学性的代表性体积单元模型（Representive Volume Element，RVE）［16-19］，而受到广泛关注。

文献［20］研究发现，施加周期性边界条件后，细观尺度下的单胞模型所获取的应力/应变场经均匀化的方法得到的力学性能参数，与宏观结构计算后是等效的。文献［21］将均匀应力假设应用于RVE，提出一种基于纤维分布的单向复合材料在拉伸和压缩下的解析模型，预测值与实验值基本吻合，说明该模型具有有效性。与此同时，在进行RVE模型分析计算中，边界条件的施加是否合理，对其力学性能计算结果影响较大。周期性边界条件（PBC）能够有效地考虑细观尺度下材料模型的受力连续性和变形协调性，因此在材料科学和工程领域得到了广泛应用。这种方法能够更好地描述材料的细观尺度下的力学行为，对研究复合材料具有重要意义。文献［22］通过在微观与细观尺度下的有限元分析中引入周期性边界条件，摒弃了传统的等应力或等应变假设，保障了复合材料的周期性单胞边界面在应力和位移上的连续性，可以更加准确地评估复合材料的力学性能和失效行为。文献［23］采用有限元软件，建立RVE模型，施加周期性边界条件并与试验验证，结果表明施加周期性边界条件能有效提高网格生成质量。目前，针对风电叶片作为纤维树脂基复合材料结构构件，利用细观RVE模型结合周期性边界条件进行力学性能预测的研究还相对较少，尚未得到充分的开展和深入的探索。

因此，本文提出了一种基于细观RVE模型的复合材料力学性能预测方法，主要探讨了如何建立细观RVE模型、设计单胞尺寸和排布方式，施加周期性边界条件，利用这一方法获得的应力/应变场，通过均匀化的方式，能有效预测纵向与横向弹性模量（Eα、Et）、纵向和横向剪切模量（Gα、Gt）以及纵向泊松比（μα）。最后，将预测结果与试验结果进行对比分析，以此来探究和分析本文提出的预测方法的准确性和合理性。

新能源科技

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1  复合材料细观RVE模型

在连续纤维增强复合材料领域中，纤维在横截面上的实际分布是随机的且具有统计稳定性。然而，在工程分析中，为了简化问题，许多细观力学模型假设纤维的排列是周期性的。因此，可以将材料的微观结构分离成单胞（Unit Cell）和RVE。这种简化为复合材料力学行为分析和预测提供了途径，在工程设计中具有实际应用的便利性。从宏观尺度来看，RVE代表了材料宏观特性的最小单元，可以由多个单胞或单胞的部分内容组成，以便准确描述材料的整体行为。而在细观尺度上，复合材料通常表现出分布均匀的弹性性能。因此，在宏观尺度上，可以使用足够小且具有代表性的单元来代替复合材料。在这种情况下，该单元的弹性模量被称为复合材料的有效弹性模量［24］。在单向纤维增强复合材料中，纤维通常是均匀排列的，因此当材料承受正向或剪切载荷时，其结构具有周期性的应力和应变场。为了计算这种复合材料的有效弹性模量，通常会使用细观层面的有限元模型，即RVE［25-27］。因此，本文选择具有纤维均匀排列的风电叶片单向板结构材料作为研究对象。纤维的展向方向被默认为纵向，即Z方向（见图1），而与纤维垂直的方向被默认为横向。同时，假设纤维材料和基体材料在横向尺度上呈均匀分布。对于纤维的排列方式，通常介于四边形排列与六边形排列之间。此时，纤维增强复合材料可视为横观各向同性材料。

通过对RVE的应力和应变进行计算和分析，以确定复合材料的有效弹性模量。复合材料的细观模型研究对于分析其行为和性能具有重要的学术和实际意义［28］。由于复合材料通常由纤维增强相和基质相组成，其复杂的结构和组成使得宏观性能和损伤行为受到细观尺度上的应力应变分布的影响［29］。因此，了解细观尺度上的应力传递和分布情况对于理解复合材料的宏观性能及破坏起源至关重要。为细观尺度下

RVE对宏观尺度下

结构的分析思路，如图2所示。

综上所述，本文基于细观力学原理并通过研究四边形和六邊形排布的细观RVE模型，对宏观尺度下复合材料的有效弹性模量力学性能进行预测。

2  理论的应用与边界条件的施加

2.1  均匀化理论

基于均匀化理论方法，可以将非均匀材料分解成一个重复单元或元胞问题，并在单元或元胞间建立周期性边界条件。在均匀化过程中，通过平均操作，将非均匀材料中的局部量（如应力、位移）转化为宏观尺度上的平均量。

在均匀化理论中，可以将非均匀材料看作是由一个周期性结构不断重复堆叠而成［30］。周期性结构可以是微观的单元胞，也可以是宏观的元胞。周期性非均匀材料结构和单胞示意，如图3所示。

复合材料可以被看作是由重复堆叠的单胞Y在空间内组成的，如图3所示。假设在宏观尺度下，结构Ω中的任意点的坐标为（x，y，z），而在微观尺度下，组成该结构的单胞Y是周期性排列的。因此，与细观坐标y相关的函数在宏观尺度下具有周期性。其中，1ε是比例系数，x表示宏观坐标，y表示细观坐标，（1、2、3分别表示空间中的x、y、z方向）。

微观尺度下的单胞Y的尺寸远小于宏观结构Ω的尺寸，可以用ε（0≤ε≤1）来表示。通过坐标变换y=x/ε，可以将宏观尺度结构Ω中的任意点放大为单胞Y，从而对单胞进行数值模拟计算，进而得到相应的弹性性能参数［31］。

在宏观尺度结构Ω中，基本关系方程和边界条件，如下所示。

平衡方程：

σεij，j+fi=0（1）

几何方程：

εεij=12（μεi，j+μεj，i）（2）

物理方程：

σεij=Dijklεεij（3）

边界条件：

u=u0

Ti=σεijnj（4）

上述方程中，σεij，j与fi分别表示结构Ω上的应力和体力；εεij表示为结构Ω上的应变；μεi，j、μεj，i分别表示结构Ω上的应变；Dijkl表示为弹性模量；μ表示结构Ω上的平均位移；μ0表示结构Ω上的位移；Ti与nj分别表示结构Ω边界上的面力和单位法向量。

在实际应用中，复合材料的细观结构通常表现出不均匀性，导致在宏观尺度上出现位移和应力变量的剧烈变化。因此，为了描述这种复合材料的力学行为，需要采用宏观本构方程。

σ=C*ε（5）

方程（5）中，σ与ε分别表示为平均应力矩阵和平均应变矩阵，C*表示为等效刚度矩阵。宏观本构方程是关于应力和应变之间的关系，是通过考虑细观结构的非均匀性来建立的。通过这种描述方式，可以更好的理解非均匀复合材料的宏观行为。

2.2  周期性边界条件

在预测复合材料的宏观力学性能时，选择合适的边界条件对于细观RVE模型至关重要，合适的边界条件可以确保RVE内部的变形和应力协调，进而影响模拟结果的准确性。因此，在施加边界条件时，需要特别关注结构变形的协调性问题。其关键问题在于施加理想的周期性边界条件，因此需要确保在相邻细观力学RVE模型间位移场的连续性。本文为了达到预测不同方向的弹性模量的目的，所施加的位移边界条件如图4所示。此时，位移连续条件保障了复合材料变形的连续性。图4中坐标系1、2、3方向对应图1坐标系的z、y、x。

3  模型有效性验证

3.1  材料选取

本节基于均匀化理论和周期性边界条件，利用四边形细观RVE模型来模拟纤维增强复合材料结构的性能。其模型中以玻璃纤维为纤维材料，环氧树脂为基体材料，且纤维呈均匀排布，用于预测复合材料的有效弹性模量。纤维材料和基体材料的基本力学性能参数如表1所示。

3.2  建模

本文利用ABAQUS有限元软件，构建一个四边形细观RVE模型，以便模拟具有均匀分布的单向纤维复合材料。其中，模型尺寸长L=1 mm，宽度B=1 mm，高度H=1 mm。纤维形状为圆柱体，纤维展向方向为Z方向，纤维体积含量（ωf）为57%［32］。采用C3D6创建了18400个实体单元，此时创建的细观RVE模型如图5所示。

3.3  边界条件

本文使用Python语言编写了子程序，故可以对细观RVE模型施加周期性边界条件，从而更有效地模拟和分析复合材料的力学行为特征。子程序的流程如图6所示。首先，需要对网格节点进行识别和分类；然后，通过循环匹配对应节点来施加适当的方程约束条件，以实现对模型中所有节点的全部约束。通过这样的方式，可以有效地实现理想的周期性边界条件，为复合材料的模拟和分析奠定了坚实基础。

根据所需的弹性参数，在细观尺度上的RVE模型上施加不同的载荷，包括纵向正向载荷、横向正向载荷、纵向剪切载荷和横向剪切载荷，进行有限元相关的求解和计算。在此过程中，应采用适当的边界约束以消除刚体位移对结果的影响。最后，将计算结果与试验数据进行比较，以此达到预测材料的力学性能参数的目的。

3.4  模型计算结果及分析

当玻璃纤维体积含量ωf为57%时，细观RVE模型计算云图如图7所示。由图7中的位移和应力云图可知，细观RVE模型在受到横向拉伸载荷作用下，基体材料起到主要的承载作用，而沿着X方向（横向）的位移场则表现出明显的非均匀性。这种非均匀性可以归因于模型中横向弹性模量的不均匀性。由于材料在横向存在一定的非均匀性，进而导致了位移场的不均匀分布现象的发生。

同时，细观RVE模型在受到纵向拉伸载荷作用下，纤维材料承担了主要的载荷作用，而基体材料则起到了支撑纤维的作用。与横向拉伸载荷作用下情况不同的是，纵向拉伸导致的位移场在横向方向上呈现出相对均匀的变化。这是因为复合材料具有横观各向同性的特性，在纵向拉伸时，复合材料的整体结构对位移场的影响较为均匀，从而导致横向方向上的位移场分布相对均匀。

综上所述，将模型所预测的弹性参数与文献［32］的试验值进行比较，对比结果如表2所示。纵向和横向弹性模量与文献对比发现误差分别为1.6%和12%，但相差12%的横向弹性模量的数值偏差仅为1.7 GPa。纵向和横向剪切模量与文献相比误差为4.4%。纵向泊松比与文献相比误差为3.3%。验证了本文所建立的细观RVE模型具有预测力学性能的有效性。

4  不同纤维排布方式下性能参数的预测

在纤维增强复合材料领域的学术研究中，为了模拟材料的微观结构和性能，通常使用细观尺度的有限元模型进行研究。四边形细观RVE模型和六边形细观RVE模型是常见的研究对象。由于碳纤维具有高比强度、高比刚度和良好的延展性等特点，因此常被选作复合材料的增强纤维。故本节选其作为纤维增强材料，其碳纤维和环氧树脂的力学性能参数如表3所示。

两种模型尺寸（长L×宽B×高H）分别采取1 mm×1 mm×1 mm和4 mm×1 mm×43 mm，纤维展向为Z方向，采用C3D6网格进行划分，如图8所示。本节通过改变四边形细观RVE模型中纤维的有效半径r（r=0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm、0.35 mm、0.4 mm、0.45 mm），

进而改变纤维体积含量，并将其对应于六边形细观RVE模型中，以此预测碳纤维和环氧树脂复合材料的力学性能参数，来探究在相同纤维体积含量ωf的影响下，两种排布（四边形均匀排布和六边形交错排布）RVE模型所预测结果之间的差异性。

选取的碳纤维材料在细观RVE模型中的体积含量ωf分别为28%和64%。将其分别应用于四边形和六边形的细观RVE模型中，观察这两种模型在受纵横向拉伸载荷的变化规律和剪切载荷的作用下，在施加相同的周期性边界条件后，位移场和应力场之间的变化规律。因考虑到实际工程情况，本节选取细观RVE模型在受到横向和剪切载荷作用下的应力云图进行分析，如图9所示。

由图9中的细观RVE模型的应力云图分析表明，当受到拉伸载荷与剪切载荷作用时，四边形和六边形RVE模型显示出了协调的应力场分布。在横向拉伸载荷作用影响下，四边形RVE模型所受应力峰值较大，而在横向剪切载荷作用影响下，四边形RVE模型所受应力峰值较小。与此同时，在六边形RVE模型中，由于纤维的交錯排布，在受到横向拉伸载荷作用影响下会导致基体发生剪切和弯曲变形现象，进而增加了交错纤维之间的应力。在横向剪切载荷作用下，界面作为主要承力的部分，基体部分起到支撑作用。

本节通过设计纤维不同排布方式下的细观RVE模型，通过改变纤维的有效直径，进而改变纤维的体积含量，从而对纤维增强复合材料有效弹性模量进行预测。采用有限元软件ABAQUS进行模拟，计算出了不同纤维含量下的碳纤维与环氧树脂复合材料的位移和应力，通过均匀化理论进行计算，最终预测出两种模型对应宏观尺度下材料的有效弹性模量参数，如图10所示。通过改变纤维体积含量，四边形和六边形细观RVE模型对纵向弹性模量的预测差异较小，特别是在较低纤维体积含量下，两种模型的弹性模量和剪切模量预测结果较为接近。然而，随着纤维有效直径的改变，两种模型在纵向弹性模量预测方面几乎相等，但在横向尺度方面存在较大差异。

5  结语

本文聚焦研究于纤维增强复合材料的结构，采用细观力学有限元方法，构建了细观RVE模型来深入研究。并使用Python编程语言编写了节点施加多点约束边界条件的程序，以实现对细观RVE模型的周期性加载。通过这一模拟方法，成功的预测出纤维增强复合材料的力学性能参数，并获得了以下几点重要的结论。

（1）本文提出一种基于细观模型预测复合材料力学性能的方法，实现了对纵向弹性模量和横向弹性模量（Ea、Et）、纵向剪切模量和横向剪切模量（Ga、Gt）、纵向泊松比（μa）的有效预测，与参考文献进行对比，验证了该预测方法的有效性。

（2）通过对细观RVE力学模型施加不同作用载荷的位移和应力分析，在相同的拉伸载荷作用下，观察到四边形RVE模型相对于六边形RVE模型在纤维方向上表现出较高的应力响应；在相同的横向剪切载荷作用下，四边形RVE模型在纤维方向上呈现出较低的应力水平。

（3）基于本文的研究结果发现，通过调整纤维的有效直径后，四边形细观RVE模型在受到横向拉伸载荷时对复合材料的有效弹性模量的预测与实验值之间的误差较小。这一发现对于改进复合材料的力学性能预测方法具有重要意义，尤其是在考虑基体开裂等实际工程问题时更具实用性。

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（編辑  姚鑫）

Prediction method for mechanical properties of composites materialsbased

on mesoscopic model

Wei  Xin1，  Li  Hui1*，  Zhou  Bo1，  Zheng  Haocheng2

（1.School of Architecture and Civil Engineering，Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China;

2.School of Mechanical Engineering，Shenyang University of Technology， Shenyang 110870， China）

Abstract： Based on the mesomechanics properties， in this paper， the mecroscopic Representative volume element （RVE） model has been established and studied. By designing the single cell size and arrangement of the RVE model， and applying periodic conditions， and a prediction method of mechanical properties of composites has been presented based on the micro-model. Firstly， for the glass fiber/epoxy resin unidirectional composites， the transverse and longitudinal elasticity modulus and Poisson's ratio has been predicted， and the influence of uniform fiber arrangement on the mechanical properties of fiber resin matrix composites was investigated. And the accuracy of prediction method has been verified by the prediction results of this paper are compared with the experimental values in the literature. Then， for the carbon fiber/epoxy resin unidirectional composites， by changing the effective diameter of the fiber， and then predicting the difference in mechanical properties of composites of the quadrilateral RVE model and the hexagon RVE model under the influence of different fiber volume contents has been observed. The results show the more accurate prediction result of the effective modulus of the quadrilateral RVE model under the effect of lateral stretching loads， and presenting a new thought for the prediction and application of this model.The results show the more accurate prediction result of the effective modulus of the quadrilateral RVE model under the effect of lateral stretching loads， and presenting a new thought for the prediction and application of this model.

Key words： representative volume element; fiber volume fraction; periodic boundary conditions; mechanical property