T-S模糊系统的自触发有限时间H∞控制

刘晓迪

(江南大学 轻工过程与先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122)

0 引言

非线性在各种实际系统中广泛存在，这给稳定性分析和合成带来了更多的困难和复杂性。T-S模糊模型作为一种非常典型的复杂动态系统模糊模型，通过使用“IF-THEN”规则，将复杂的非线性问题转化为不同的小线段上的问题，从而使得复杂的非线性系统更容易被分析。T-S模糊模型已经成为处理非线性系统的稳定性分析及控制器综合的强有力工具，且已被成功应用于多种实际控制问题中，如汽车的防抱死制动系统与主动悬架系统的集成控制[1]、搅拌反应釜系统的性能控制[2]、主从式机器人的适应性的增强[3]等。

然而目前关于T-S模糊的研究大都集中在李亚普诺夫渐近稳定性上，渐近稳定只能够确保系统的稳态性能良好，但是系统中的某些暂态性能却未能体现。在实践中，系统在有限时间间隔内的行为也非常重要。文献[4]引入有限时间概念，并提出了一个有限时间的控制器设计标准。此后，许多学者参与T-S模糊系统有限时间问题的研究[5-8]，研究有限时间控制具有很重要的实际意义。

但上述文献控制器设计过程中，其状态向控制器的传输通常是连续的。在某些情况下，当控制目标实现时，无需在保持系统性能时依旧每次都传输状态，从而造成冗余传输，这就导致了资源的浪费和低效率。造成这一缺点的主要原因是，更新频率是由采样周期决定的，通常假设采样周期是一个较小的值，与系统状态无关。因此，大量的冗余信息将被传输和更新。为了解决这一问题，文献[9]提出了一种事件触发控制方案，有效地减少传输资源。近年来，人们对事件触发机制下的T-S模糊系统分析和控制做了大量的工作[10-13]。但是，其检测机制的被动性决定了其必须实时监测触发条件，会增大系统的执行代价。而自触发控制是根据当前的状态测量值，计算出控制律的下一个更新时刻，进一步节省资源。自触发控制也因此得到了越来越多的关注[14-18]。文献[19]利用事件触发控制和自触发控制实现线性系统的有限时间稳定。文献[20]利用T-S模糊模型针对一类开关非线性系统设计了一种事件触发通信方案，讨论了其有限时间耗散控制问题。文献[21]研究了一种在多频率范围限制下的马尔可夫跳跃系统的自触发有限时间控制策略。

事件触发控制都需要事件触发器实时监控系统状态和测量误差。这在有些情况下很难实现且会造成额外计算资源损耗。因此有必要研究自触发控制。同时，关于T-S模糊系统通过自触发策略实现有限时间控制的文献非常稀少，这激发了我们的研究兴趣。

基于以上讨论，本文研究T-S模糊系统的自触发有限时间H∞控制问题。主要贡献为：

针对T-S模糊系统引入一种自触发方案，考虑参数不确定性和有界干扰对系统的影响，结合所提出的自触发机制，建立了一个基于自触发机制的连续时间T-S模糊系统模型。较事件触发方案而言，自触发方案不需要额外的硬件来监测触发条件，合理地减少计算资源及额外硬件资源。考虑有限时间间隔内的行为，使系统状态在固定的有限时间间隔内不超过一定界限的同时满足所期望的H∞性能指标。同时本文所提到的自触发机制避免了芝诺行为的发生，并且提供理论证明。

1 问题描述

考虑如下连续时间非线性系统：

(1)

其中：x(t)为系统状态，u(t)为控制输入，引入一个已知的非线性函数f(x(t))来描述其非线性特性。通过采用模糊理论的方法将上述非线性系统(1)用以下具有第i条模糊规则的T-S模糊模型来逼近，其第i条规则描述的系统模型为：

Plant rulei：

ifξ1(t) isMi1，and … andξn(t) isMin，then

(2)

其中：ξ1，…，ξp为前件变量，x(t)∈nx为系统状态，u(t)∈nu为控制输入，ω(t)∈nω为外部扰动且满足条件ωT(t)ω(t)dt≤W。Ai、Bi、Ci、Di及Gi是适当维数的系数矩阵。r是规则数量，Mij是模糊集，ΔAi(t)，ΔBi(t)是系统矩阵中的不确定时变参数，满足如下形式：

[ΔAi(t)ΔBi(t)]=[HF(t)(E1iE2i)]

i=1，2，…，r

(3)

其中：H，E1i，E2i，i=1，2，…，r是已知的具有适当维数的常数实矩阵，F(t)是满足F(t)F(t)T≤I的非线性时变矩阵函数，其中I表示适当位数的单位矩阵。则该T-S模糊系统的整体模型为：

(4)

不同于事件触发控制，自触发控制提供了一种灵活的周期调整方式。如图1所示，该机制根据系统动力学知识和当前触发时刻的状态信息在自触发机制中计算下一触发时刻，并且状态反馈控制器只与当前触发时刻的系统信息x(tk)有关。也就是说，只有在触发时刻控制律才会更新，从而产生比事件触发控制更长的任务周期。

图1 自触发机制原理图

因此，利用并行分布补偿方法，设计具有如下规则的状态反馈控制器：

Plant rulei：

ifξ1(t) isMj1and … andξn(t) isMjn，

thenu(t)=Kjx(tk)，∀t∈ [tk，tk+1)

(5)

式中，Kj为局部反馈控制增益矩阵，tk是当前触发时刻，tk+1是下一触发时刻，x(tk)是当前触发时刻的系统状态。模糊控制器的总体模型为：

(6)

定义e(t)为误差，且

e(t)=x(tk)-x(t)

(7)

(8)

本文所涉及定义及引理较多，为方便下文讨论，在此先给出介绍。

定义1 ：对于给定的常数c1，c2，T(c1

xT(0)Rx(0)≤c1⟹xT(t)Rx(t)≤c2，∀t∈[0，T]

(9)

则自触发闭环系统(8)是(c1，c2，T，R，W)有限时间稳定的。

定义2 ：对于给定的常数c1，c2，T(c1

xT(0)Rx(0)≤c1⟹xT(t)Rx(t)≤c2，∀t∈[0，T]

(10)

则自触发闭环系统(8)是(c1，c2，T，R，W)有限时间有界。

定义3：给定参数00，W>0及正定矩阵R，若系统(8)有限时间有界且满足零初始条件下：

(11)

则系统(8)关于(c1，c2，T，R，W)有限时间有界且同时满足所期望的干扰抑制水平γ。

引理1：对给定的适当维数的矩阵Y，H，E，其中Y是对称矩阵，F满足FTF≤I，当且仅当存在一个常数β>0，使得Y+βHHT+β-1EET<0成立时，有Y+HFE+ETFTHT<0。

引理2 ：对于任意适维实矩阵X，Y和任意正标量λ>0，下列不等式成立：

XTY+YTX≤λXTX+λ-1YTY

注：前文提到的有限时间稳定与通常意义下李雅普诺夫稳定是截然不同的概念。有限时间稳定是指在一个有限的时间区间范围，系统的状态轨迹始终能保持在预先给定的界限，它注重研究的是系统的暂态性能。

2 主要成果

自触发控制系统的核心通常包括一个反馈控制器和一个预测何时传输数据和更新控制信号的触发器。触发器决定传输数据之前，两个触发间隔之间的控制信号沿用上一触发时刻的控制信号保持不变，即在此期间不进行数据传输和控制信号的更新以达到节约通信资源的目的。然而由于触发器的存在，使自触发控制下的闭环系统是一个同时具有连续和离散特征的混合系统，这势必会增大对系统稳定性分析的难度。

本文主要针对不确定T-S模糊系统进行基于自触发机制下有限时间的干扰鲁棒控制研究，研究主要分为两步：

1) 针对不确定T-S模糊系统(4)引入自触发机制，主要任务为设计并推导自触发间隔函数，使其仅根据系统当前采样信息决定下一个执行时刻以减少通讯及计算资源的占用。并针对不同的模糊子系统设计不同的触发阈值、触发矩阵，显著提高了设计的灵活性，有效地减轻了通信负担，直接反映了模糊模型的结构特征。

2) 设计模糊反馈控制器，结合H∞理论、有限时间有界思想，使得自触发闭环控制系统(8) 具有一个给定的有限时间H∞性能，且保证系统运动轨迹不会超过一定的界限。

2.1 自触发机制

在事件触发控制策略中，常常定义一个事件触发函数，当且仅当事件触发函数满足一定条件时事件触发/发生，此时更新采样值。但是对于此条件的检测往往是需要额外硬件设备进行持续检测的。

与事件触发控制相比，自触发控制是指系统或设备通过内部机制来执行某些操作，不需要外部的触发信号或指令。此控制方式的一个基本要求是如何设计触发间隔函数τ(x(tk))。通过表达式tk+1=τ(x(tk))+tk预测下一触发时刻，从而降低控制的实现成本。

引入下列触发条件(12)，Φi为第i条模糊规则下待求的触发参数矩阵，0<εi≤1为第i条模糊规则下对应的触发系数。

eT(t)Φie(t)≥εixT(t)Φix(t)

(12)

定理1：对于给定参数β及触发系数εi，且满足1-εi(1-β-1)>0，则自触发控制系统的触发间隔函数表达式如下：

(13)

其中：

(14)

(15)

若在时间间隔 [tk，tk+1) 系统没有触发，由事件触发条件(12)结合式(7)可知下式成立：

eT(t)Φie(t)<εixT(t)Φix(t)<

εi[xT(tk)-eT(t)]Φi[x(tk)-e(t)]<

εixT(tk)Φix(tk)+εieT(t)Φie(t)-

εieT(tk)Φix(tk)-εixT(tk)Φie(tk)

(16)

结合引理2，有：

eT(t)Φie(t)<εi(1-β-1)eT(tk)Φie(tk)+

εi(1-β)xT(tk)Φix(tk)

(17)

不等式(17)可以写为：

故系统触发时应该满足以下条件：

(18)

结合不等式(15)、(18)，可得：

(19)

(20)

对不等式(20)两边取对数，则可得到自触发间隔函数关系式(13)，证毕。

此外，从自触发间隔函数关系式(13)可以得出：

(21)

Zeno行为是事件驱动函数-段时间内被无限次数触发，排除芝诺行为是事件驱动机制可以使用的重要前提条件。

2.2 自触发有限时间H∞性能分析

在实际工业过程中，除了系统在无限时间内的稳态性能外，有时暂态性能尤其重要。实际上，如果一个稳定的系统具有较坏的暂态性能，比如震荡剧烈、反应迟缓等，将会造成很坏的影响，从而无法满足工业过程的应用要求。基于这种情况的存在使得在有限时间内约束系统的状态轨迹成为必要。

本节将自触发条件与H∞理论相结合，同时考虑有限时间稳定。对自触发闭环系统(8)进行H∞性能分析，经过严格数学推导，得到定理2、定理3。

定理2：如果对于给定参数0<εi≤1，00，W>0，T>0和适维矩阵R，存在实对称矩阵P>0，自触发参数矩阵Φi>0，以及控制器增益Kj使下列线性矩阵不等式成立，则自触发控制系统(8)关于(c1，c2，T，R，W)有限时间有界且满足期望的H∞性能。

(22a)

(22b)

(22c)

证明：取李亚普诺夫函数为：

(23)

ζ=[xT(t)eT(t)ωT(t)]不等式(23)可以写为：

ζT+αV(x(t))+eT(t)Φie(t)-

εixT(t)Φix(t)+γ2ωT(t)ω(t)

(24)

利用引理4对不等式(22a)进行变形，可得：

(25)

由不等式(22)、(23)，可得如下条件：

(26)

对上式两边同乘e-αt，则有：

d(e-αtV)/dt

(27)

对于∀t∈[0，T]，如下不等式成立：

(28)

同时我们有：

(29)

结合(28)、(29)两式，可得：

(30)

显然，由式(30)可看出，对于∀t∈[0，T]，xT(t)Rx(t)

定义ξ=[xT(t)eT(t)ωT(t)zT(t)]

εixT(t)Φix(t)-γ2ωT(t)ω(t)+zT(t)z(t)

(31)

结合式(22a)、式(31)以及触发条件(13)，可以得到：

对上式左右两边同乘e-αt，并取0到T积分，得到如下不等式：

则有：

(32)

由定义3可知，上述不等式成立可确保自触发控制系统(8)关于(c1，c2，T，R，W)有限时间有界且满足所期望的H∞性能。

定理2给出的矩阵不等式(22a)～(22c)并不是严格意义上的线性矩阵不等式，在编程工具中无法直接求解。

线性矩阵不等式的求解可转化为凸优化问题的求解，自1988 年Nesterov和Nemirovski提出内点法，并直接用以求解具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，使得求解线性矩阵不等式成为处理控制问题的一种有效手段。将上述不等式进行处理，得到定理3。

Ψii<0，i=1，2，…，r

(33a)

Ψij+Ψji<0，i

(33b)

(33c)

(33d)

(β1+β2)HHT

证明：

(34)

结合(2)式及引理1，不等式(34)等价于下式：

上式等价于：

(35)

同理，利用引理1对参数不确定项进行上述处理，结合引理2。令Yj=KjQ可得：

显然，上式等价于下式

(36)

从而式(33a)、(33b)成立。由前述李亚普诺夫函数的定义可知：

λmaxxT(t)Rx(t)≤V(x(t))≤λminxT(t)Rx(t)

(37)

(38)

即式(33c)成立，条件(22c)舒尔补化简可得式(33d)成立，证毕。

3 仿真实验

为了验证所建立的模糊控制器以及所设计的自触发方案的有效性，通过数值仿真说明了该方法的可行性，单连杆刚性机器人系统验证自触发机制及控制器在实践中的有效性。

数值仿真：

考虑以下具有状态量化的T-S模糊系统：

两条模糊规则下的系统参数矩阵如下：

不确定参数ΔAi(t)ΔBi(t)满足(3)式定义，选取

求解把不等式(33a)～(33d)，可以得到一系列可行解：

K1=[-6.849 -5.856]K2=[-7.883 -5.518]

仿真结果及分析：

图2为T-S模糊系统开环状态轨迹图。c1为有限时间有界的下界，c2为有限时间有界的上界，根据有限时间有界的定义，规定系统初始状态在c1界内，在一个有限的时间区间范围，系统的状态轨迹始终能够保持在预先给定的界限内。从图2可以看出，当系统无控制输入时，其运动轨迹超出所给的界限。图3为T-S模糊系统闭环状态轨迹图。对比两图可知，在控制作用下，T-S模糊系统能够达到有限时间有界，这也说明所设计的控制器的有效性。

图2 T-S模糊系统开环状态轨迹图

图3 T-S模糊系统闭环状态轨迹图

图4为自触发机制作用时所产生的触发间隔图。通常周期触发方式是以一个固定时间周期进行系统触发，这种方式就会使控制器增益按照此时间周期频繁触发。由图4可知，触发间隔均大于0，避免了芝诺行为的发生，并且可以看到t=5 s时，触发间隔达到0.25 s并保持此值进行触发。

图4 自触发时间间隔图

一方面，由图5得知，此时控制器增益u接近于0，此时系统达到稳定状态，触发时刻不变。假设以最小触发间隔为周期触发间隔，可以看到，在系统稳定后，触发间隔可以达到最初的8倍左右，所设计的自触发机制可以节约80.2%的资源。

图5 控制器增益变化图

另一方面，结合图4和图5，系统控制器增益的变化与触发频率呈现正相关趋势。这也与自触发机制自身的设计理念相吻合，模糊控制器的更新只与触发时刻的状态变量有关。可以看出，当系统频繁触发时，控制器增益数值变化率大，当控制器增益变化较小时，触发频率也相应减小，触发间隔增大。通过以上分析，可以说明所设计的自触发机制在资源利用率上更具有优势。

实例仿真：

单连杆刚性机器人系统的动态方程如下[4]：

Plant Rule 1：

ifx1is about 0， then

Plant Rule 2：

其中：

受控输出方程参数选取：

不确定参数ΔAi(t)ΔBi(t)满足(3)式定义，选取

本实验的控制目标是在系统参数不确定并且存在外部干扰的情况下，设计一个自触发机制及模糊控制器使得系统运动轨迹在有限时间内不会超过一定的界限，保证了系统的暂态性能。经过严格的数学推导，同时保证系统满足所期待的H∞性能指标。设计该机制能够使得系统无需依赖外部硬件设备对触发条件进行持续监测，节约硬件资源与计算资源。

利用Matlab软件的线性矩阵不等式工具，求解(33a)～(33d)，得到如下控制器增益及自触发参数矩阵：

K1=[-0.5830 -0.5117]

K2=[-0.6882 -0.3978]

将有限时间控制器增益和所提出的自触发策略以及求解所得的自触发参数矩阵应用到系统(8)中，来验证所提方法的有效性。

图6、图7分别为参数不确定的T-S模糊系统开环、闭环状态轨迹图。对比两图可知，在所设计的自触发机制下，施加控制作用的单连杆刚性机器人系统是满足有限时间有界且满足期望的性能水平。在一些活动范围受限、执行动作精度较高的情况下，其状态轨迹在有限时间内不超过一定的界限，这证明了该方法的可用性。而开环系统中其运动轨迹会超过所规定的界限c2。

图6 单连杆刚性机器人系统开环状态轨迹图

图7 单连杆刚性机器人系统闭环状态轨迹图

图8为系统闭环状态响应图，图9为触发间隔图。可以发现，系统在性能较差时，自触发机制频繁工作，触发间隔较小。随着系统稳定性提高，触发间隔不断增大，触发次数减少。从图5中可以看出，当时间在80 s后，触发间隔可以达到2 s以上，使得系统触发频率不断降低，假设以最初触发间隔0.7 s为恒定采样周期，可以得出此方法可以节省35%的资源占用，这也进一步证明了所设计的自触发机制能够提高资源利用率。

图8 单连杆刚性机器人系统闭环状态响应图

4 结束语

为了减少通信资源的浪费，针对不确定性T-S模糊系统设计了一种自触发机制。利用触发周期不固定的特性，在能够保障稳定性的前提下，实现控制系统的能耗优化。自触发机制装载在系统内部，无需额外硬件设备接收触发信号。同时考虑外部有界干扰的存在，设计只与触发时刻状态有关的模糊控制器，推导了保证具有期望H∞性能水平的T-S模糊系统有限时间稳定的充分条件。通过求解一组LMI，同时获得了有限时间H∞控制器的状态反馈增益及自触发参数矩阵。最后通过数值仿真及实例仿真，验证了所建立的模糊控制器以及所设计的自触发方案的有效性。