从“量”开始，理解分数含义

韩亮 刘贤虎

［摘  要］ “认识几分之一”教学的核心目标是理解“几分之一”的含义，具体表现为：能对整体“1”进行平均分，会表达其中1份与整体关系，能初步感受几分之一的大小。教师应紧紧围绕教学目标进行教学设计和实施，抓住分数“量”的属性进行教学，让学生从自然数迁移到分数，真正实现对“几分之一”的理解。

［关键词］ 平均分；思维可视化；理解；联系

一、课前慎思

分数源于“分”，立于分数单位。现行各个版本的教材认识分数“几分之一”都是从分物情境导入，让学生先感受分数产生的必要性，然后学习几分之一的写法、读法，最后感受部分与整体的关系这一分数意义的本质。“数的认识”既包括数数、读写、顺序、大小、组成等，还包括数的产生与发展过程、数在不同情境中的多种含义等。对于以具体形象思维为主的三年级学生来说，既要利用具体实物，开展动手操作、合作交流等学习方式来认识分数，还要从分的数量中抽象出分数。

从数的认识的一致性来看，教师要构建以“计数单位”为核心的知识结构教学，并进行适当的迁移变形让学生吸纳新的知识，减轻理解难度，不用“死记硬背”。借助“计数单位”可以让学生将多个知识点、多个数域的“数的认识”串联在一起，形成知识体系。“几分之一”是“分数域”的“计数单位”，学生在初步认识分数时，需要将量、率分开认识，以量为基础，充分借助认识自然数的学习经验来促进迁移，从而理解分数概念。

二、课中实践

1. 情境引入，思维激发

教师先创设分物情境，通过分4个苹果、2颗糖果、1块饼干，让学生感受平均分较为公平；然后，让学生思考：怎么把1个圆平均分成2份，每份刚好是一半？能用学过的自然数表示吗？分的结果从能用自然数表示到不能用自然数表示，制造认知冲突，激发学生学习的兴趣。

2. 问题探究，思维可视

（1）活动一：怎么表示出半个？用什么数表示这一半？折一折，写一写，并说明理由。

学生独立动手实践，完成后呈现以下作品，如图1。

5个学生先汇报各自作品，然后教师根据汇报在图1中作品折痕的地方画线。

师：上面5位同学的想法大家能看明白吗，你认为哪一种折法不一样？请与同桌讨论，时间1分钟。

生1：我认为第①种折法不一样，这种方法不是对折。因为折出来的2份不一样，不是平均分。

师：怎么折才是平均分呢？

生2：应该对折，就是两端对齐，对折后左右两边刚好一样大。所以对折就是平均分，平均分后会得到2份大小一样的半圆，每個半圆刚好就是这个圆的一半。

师：请你演示一下什么是对折。（学生演示）

师：那②③④⑤这几种想法，哪一种表示最合适？小组再次讨论。

生3：我认为第④⑤种最合适。它们不仅画了折痕的横线，还把其中的1个半圆画了斜线。但是它们的“二分之一”写得不一样，不知道哪一种正确。

生4：我觉得④⑤画得很好，不仅用线表示了平均分，还用斜线画了其中的1个半圆，表示这部分是要拿出来分的。

师：对折后画一画或者标注一下，看得更清楚，这样其他同学能更清楚你的想法。刚才说的“二分之一”的写法，你们认为哪一种正确？

生5：我认为第④种正确。2表示要平均分给2个人，拿出其中的1份，就在线下面写1个1。

生6：我认为第⑤种正确。我爸爸讲过，分给几个人的数字要写在线下面，拿出的1份要写在线上面。

师：大家的想法都是表示平均分给2个人，拿出其中的1份，只是写法各不相同。打开课本，看一看数学上是怎么规定的。

学生阅读课本后汇报。

师：你在这个圆里找到了几个个？

生7：我找到2个，画斜线的部分是个，没有画斜线的部分也是个。

师：每1份就是个圆，1个圆里有2个个圆，这里的与我们以前所学的自然数一样，也可以表示物体的数量。

设计意图：概念的学习是学生在自身经验及独立思考的基础上向科学的概念转化的。圆的“二分之一”怎么折出来、用数怎么表示，学生的认识各不相同。教师要让学生在呈现了不同水平层次的思考后，进行分类、比较，在对话中逐步形成正确的认识。

（2）活动二：你还想用图形表示几分之一个？（折一折、画一画、写一写，并说明理由）

①你想把圆平均分成几份，表示几分之一个？

学生完成后展示作品，汇报自己的想法，如图2。

生1：我把1个圆对折2次，平均分成了4份，涂色的1份就是这个圆的个。

师：你还能找出几个个？

生2：还能找出3个个。1个圆里一共有4个个。

生3：我是把1个圆平均分成了8份，每份就是这个圆的个。

师：你还能找出几个个？

生4：还能找出其他7个个。我发现1个圆里一共有8个个。

师：像、、……这样的数，都是分数。中间的这条横线叫作分数线；平均分成2份，这里的2叫作分母；每份也就是1叫作分子。今天我们就来认识分子是1的分数——“几分之一”。（板书课题：认识几分之一）

②你还想表示哪些图形的几分之一个？（用不同的纸片表示出来，并说明理由）

学生完成后进行展示、汇报各自的作品，如图3。

师：请同学们看这里，同样都是正方形，他们涂色的部分形状不同，为什么都用来表示呢？

生5：它们的折法不同。

师：折法不同会是什么结果？

生6：折法不同，平均分后每1份的形状就不同。

生7：折法虽然不同，但是都表示把1个正方形平均分成4份，涂色的占其中的1份。

师：只要是把正方形平均分成4份，其中每1份都表示这个正方形的，也就是个，和每1份的形状无关。

师：如图4，这里有正方形、长方形、圆形，平均分的图形不同，为什么涂色部分都可以用个来表示呢？

生8：因为都是平均分成4份。

师：是的，以前我们学习过2头牛、2支铅笔、2张纸都可以用2这个数表示。分数和自然数一样，虽然这几个图形都不一样，但只要是平均分成4份，其中的1份都可以用这个数来表示。你知道生活中哪里也可以用表示？

生9：妈妈把1个比萨平均分成4份，我们家每人分得1份，这1份就是……

设计意图：数的认识要脱离具体对象的物理属性，要对其数量进行抽象。学生通过独立思考、动手实践、自主探索、合作交流，逐步剥离折法、形状等研究对象的物理属性，能感悟“几分之一”表示部分与整体的关系，理解其本质属性。

3. 问题解决，思维产出

（1）判断：如图5，下面的分数能表示各图中的涂色部分吗？能表示的画“√”，不能表示的画“×”，并说说理由。

（2）填空：如图6，用分数表示图形涂色部分。

（   ）   （   ）    （   ） （   ）

（3）比较：教师先出示图形（如图7），让学生猜一猜右边3个图形各是多少，课件演示验证；然后出示问题：米、米、米和1米比，谁大？谁小？

生1：米、米、米都比1米小。

师：说说你的理由是什么？

生2：米是1米长方形纸条的，需要两个这么多才能拼成一整张，所以我觉得米比1米小。

生3：1米的长方形纸条需要4个米才能拼成，所以我觉得米比1米小。

生4：我发现米＞米＞米。长方形纸条平均分成的份数越多，每1份就越少。

……

師：几分之一米只是1米中的一部分，这一部分肯定没有1米长，所以几分之一米肯定比1米小。如图7，、、分别在数线图上的哪个位置呢？（课件演示纸条变成数线图）

学生尝试指出各个分数的位置，课件进行验证。

设计意图：第（1）题通过正例、反例的判断说理，加深学生对平均分的理解；第（2）题看图写分数，让学生关注整体与等分的关系，尤其是小题呈现动态过程，其中1份被剪下来，让学生感受分数的本质；第（3）题先猜一猜，让学生感受几分之一米每一个量的大小，然后通过比一比发现平均分的份数越多则每1份就越少，最后将数量抽象为数，进一步发展学生数感。

4. 全课回顾，思维建构

教师引导学生回顾这节课研究的主要问题：①二分之一怎么表示？怎么读？怎么写？②还可以表示几分之一？几分之一和什么有关？③几分之一有多大？关于几分之一，你们还想研究哪些知识？学生的回答较为开放，比如想研究几分之一的加法、减法、有没有几分之几、它们谁大一些……

设计意图：回顾本节课研究的主要问题，进一步加深学生印象，使学生在整体上对分数有较为系统的认识，让学生带着问题在课后继续去思考、学习和发现。

三、课后反思

分数的初步认识是学生第一次建立分数的概念，指向的核心素养是培养学生的数感，其教学核心目标是理解几分之一的含义，具体表现为：能对整体“1”进行平均分，会表达其中1份与整体关系，能感受几分之一的大小。小学阶段分数主要有“量”和“率”两方面的含义。史宁中教授指出，分数的基本意义是表示整体和等分的关系，所以分数作为数是一个整体，分数本身是数而不是运算［１］。

1. 思维可视，澄清迷思概念

学生对几分之一的含义、读法、写法，有较为粗浅的认知：有的学生凭借已有的认知经验进行迁移，有的学生通过阅读教材获得等。学生的日常概念不同于数学所认可的科学概念，仅凭教师的告诉无法让学生获得真正的理解。面对学生对一个物体的平均分及二分之一写法的“迷思”，教师要创设认知冲突，暴露学生思维，让学生独立思考、对话辨析，才能澄清学生的迷思概念，初步感受平均分以及如何表示1份与整体的关系，为后面进一步理解几分之一打好基础。

2. 凸显本质，理解分数含义

学生对分数的认识和整数一样，需要经历由数量到数的形成过程，学会用抽象的符号和计数单位表达分数［２］，进而理解和掌握分数的概念。“几分之一”是分数，也是分数的计数单位，它是度量分数大小、描述分数组成、计算分数加减乘除的重要基础。学生在表示饼干的一半时，不仅感受到部分与整体的关系，即把整体平均分成2份，其中1份就是整体的；而且自然地将平均分的结果与“1个”联系在一起，“半个”是1个的，也就是“个”。学生通过进一步感受相同图形不同折法及不同图形的，能不断体验分数“量”的属性。同时，学生会发现不同物体的个都可以用表示，初步体会分数是对数量的抽象，感悟分数与自然数在概念本质上的一致性，形成初步的数感和符号意识［３］。

3. 联系比较，构建数系网络

自然数（0除外）是以“1”为标准，不断累加的结果，通过“1”的累加学生初步感受自然数的离散性；分数也是以“1”为标准，不同等分的结果，通过对“1”的等分初步感受分数连续量的特性。学生需要将新学习的几分之一与已学的自然数建立联系，在原有的旧知识结构基础上建立新的结构，实现数概念的第一次扩充。学生在练习中借助直观的长方形纸条图和形象的数线图进行几分之一与“1”大小的比较，同时把“1”不断均分，得到不同的几分之一，分的份数越多就越接近0，感悟0和1之间有无数个分数，初步感受不同的几分之一的大小关系。学生借助数线图直观将几分之一和自然数进行关联比较，初步建立起整体化、系统化、逻辑化的知识结构。

史宁中教授指出：“教概念的同时，应当教它们的性质、关系和规律，或者其中的一样，因此概念需要螺旋式上升。例如从数量中抽象出自然数，那么一并从数量的多少关系中抽象出数的大小关系。给出了分数的定义，就要比较分数的大小。”由此可见，在教学几分之一的意义时，教师要让学生初步感受几分之一的大小关系以及与整数之间的大小关系，这对于分数概念的理解十分必要。

参考文献：

［１］ 史宁中. 基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题［Ｍ］. 北京：高等教育出版社，２０１３.

［２］ 马云鹏. 聚焦核心概念 落实核心素养——《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》内容结构化分析［Ｊ］.课程·教材·教法，２０２２，４２（０６）：３５－４４.

［３］ 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（２０２２年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，２０２２.