物体脱离轨道瞬间的速度分析

摘 要：轨道运动一直是高中物理教学中的重点内容.本文将从有、无约束作用下的固定轨道、动态的轨道三种不同的模型对物体脱离轨道的运动进行分析，寻找解题的一般规律，并且将对动态轨道的典型问题进行重点研究.

关键词：轨道运动；模型建构；相对运动；速度分量

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0108-03

高中物理对于动力学中关于力和运动、功能关系的研究，通常会在有预设轨道中来进行运动的分析和讨论.而且预设轨道中，往往会涉及固定轨道和动态轨道两种情况.对于不同的模型，讨论的方向会有所不同.本文重点研究物体在不同条件下脱离轨道瞬间的速度问题.

1 有约束作用下的固定轨道脱离分析

有约束作用下的固定轨道，即物体的运动轨迹只能沿轨道，通常研究的为小环套嵌于轨道上或小球在有内外轨的轨道中的运动模型.下面将对小环在轨道上的运动脱离速度问题进行分析.

例1 如图1，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点.已知R=0.5 m，h＝2 m，s＝2m.取重力加速度大小g＝10 m/s2.若环从a点静止释放，求环到达c点时速度的水平分量和竖直分量的大小[1].

1.1 模型分析法

如图2，bc段为以b为顶点的抛物线，显然bc段轨道对应某一平抛运动的轨迹.下面先求出bc段轨道对应的平抛运动.设初速度为v0，c点速度方向与水平方向夹角为θ.由平抛运动知识可得：

小结 物体在有、无约束条件下的固定轨道运动脱离时，物体的速度方向始终沿切线方向，分析脱离速度的过程中可以从运动原型入手，也可以借助数学方法寻找切线，同时还可以结合受力的特点研究物体的速度.对于固定轨道而言，物体脱离速度沿切线方向.那么是不是意味着所有的轨道运动的脱离速度都是沿切线方向呢？答案显然是否定的.物体脱离动态轨道的运动中，脱离速度的方向一般不沿切线方向，而是相对速度的方向沿切线方向.接下来重点探究物体脱离动态轨道的速度问题.

3 运动轨道脱离分析

3.1 物体与轨道发生相对运动时的脱离速度研究

例3 如图6所示，质量为m的凹槽置于水平面

上，凹槽弧形是半径为R的圆轨道的一部分，图中θ=60°.一质量为m的小球在A点正上方高度为R处由静止释放，所有接触面均光滑，不计空气阻力，求小球飞离凹槽瞬间的水平速度和竖直速度.

点评 在动态轨道上运动的物体，由于轨道速度不为零，物体的脱离速度方向不沿切线方向，而是相对轨道的速度沿切线方向.动态轨道问题往往会与动量守恒的问题相结合，轨道速度为水平方向.所以处理此类问题时，一般会设定物体的速度的水平分量和竖直分量，通过相对速度与竖直速度的合速度沿轨道切线方向来解决问题.

3.2 物体与轨道发生相对运动时的脱离速度应用

变式1 如图7所示，质量为m的小球从凹槽上方h的高度自由释放，凹槽的质量也为m.求小球飞离凹槽瞬间的速度.所有接触面均光滑，不计空气阻力.

答案：2gh

变式2 如图8所示，光滑的水平面上固定平行导轨PQ、MN，两导轨之间的距离为2R.一质量为m光滑凹槽置于平行导轨之间，凹槽弧形部分为半圆形，且半径为R.现一质量为m小球以v0向左运动，所有接触面均光滑，不计空气阻力，求小球运动到凹槽b点时的速度.

答案：小球的速度大小为3/2v0，方向与水平方向成θ（θ=arctan2）角斜向左下.

变式3 如图9，曲边形abcd由两段半径为R，圆心角为60°的扇形和线段bc构成，其质量为m，一质量也为m小球以v0=3 m/s的速度向右运动，冲上曲面体abcd，试分析小球从b点飞离后能否落在bc段.若能，求出落点到b的距离，若不能，分析原因.已知R=0.1 m，xbc=0.4 m.所有接触面均光滑，不计空气阻力.

答案：小球从b点飞离后能落在bc段，且离b点的距离为x=3/5m.

4 结束语

物体在有、无约束的固定轨道上运动时，脱离瞬间的速度沿切线方向.在运动轨道上的脱离速度则是相对速度的方向为切线方向，所以在研究脱离速度的问题时，首先要确定的是轨道是否固定.

不论是固定軌道还是动态轨道，物体脱离速度相对于轨道都是沿切线方向，在这点上，不同类型的轨道运动脱离速度都是统一的.

参考文献：

［1］ 杨成柱.高考热点及分类突破训练（一）[J].试题与研究，2015（22）：77-78.

[2] 冯海燕.借助圆锥曲线知识和求导方法解决抛体运动问题[J].物理通报，2016（5）：37-38.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者简介：蔡飞（1980.10-），湖北省鄂州人，本科，中学二级教师，从事高中物理教学研究.