居家实验: 硬币弹跳

董佳豪　王槿　李文华　文小青　惠王伟

摘 要 本文给出了居家环境下基于智能手机研究硬币弹跳的声学频率和产生的共振模式一种方案。理论上首先根据圆板的振动方程，给出了硬币固有振动频率的表达式。之后结合特定边界条件，利用有限元的方法分析了三种类型硬币的固有振动模式及对应频率。实验上利用智能手机测量了不同硬币在自由振动时产生的声音频率，并与模拟计算结果进行比较，给出了合理的误差分析。该居家实验方案简单有趣，物理原理丰富，易于在基础物理实验教学中推广。

关键词 硬币;声学频率;智能手机;居家实验

探究式学习通过以学生为中心的探索、反思和讨论，深入了解自然现象和背后原理，有效培养本科生严谨求实的科学态度、自主学习能力和实践创新能力等。由于疫情影响，居家实验已经成为了中外诸多高校的实验教学替代方案[1-3]。居家实验要求实验取材简单广泛， 源于生活，同时具有可定量测量、可探究、物理思想和原理丰富的特点。智能手机的普及以及其集成的高精度传感器，为居家开展探究式实验学习提供了可能。

1904年，瑞利获得诺贝尔奖，他对现代声学理论基础做出了开创性的工作。其撰写的两卷本《声学原理》为近代声学奠定了基础[4]。物体振动模式研究一直是基础物理实验教学中的重要内容，主要包括弦振动、板振动、膜振动等形式，如利用弦振动实验测量驻波波长[5]、通过频率共振测量动态杨氏模量[6]、2017年IYPT第十四题ResonatingGlass、2022年IYPT第十四题Ball on Membrane实验[7]等。物体振动会产生一定频率的声波，因此可以利用智能手机收集声音信号并进行频谱分析，探究物体振动频率。Rakestraw 等利用智能手机测量了若干种不同的实心硬币的振动，并从硬币材质、历史等方面进行了比较与探讨[8]。Manas等利用声音振动来鉴别硬币真伪[9]。

本文介绍了一种居家环境下基于声学特性研究硬币弹跳的方法。实验中使用了日常生活中常见的实心硬币、外圆中空的日本硬币、乾隆通宝和面积较大的银元。通过智能手机的上的声学软件探测硬币撞到坚硬的表面时产生本征振动声音的频率，进行建模和实验验证。该居家实验可以让同学们了解平板振动的规律，即平板振动的频率与平板的物理性质相关，包括其质量分布、形状、尺寸、弹性模量和泊松比等。

1 实验方法与原理

本实验中采用了智能手机（Redmi K20，小米科技有限责任公司）的Spectroid软件进行声音的频谱分析。实验可以选择在不同材质桌面（例如地板、木桌、实验台等）进行，本实验中选用的是宿舍的木质桌面。实验操作如图2所示，在安静的环境中打开手机测量软件。为了满足自由空间振动的条件，硬币被两手指夹持在桌面上方约1厘米处，垂直释放银币并记录其在桌面弹跳的声音频谱。

在进行从时域到频域的转换时，有几个重要参数将影响频域的测量效果。Spectroid软件参数设置界面如图3所示，需要设置的参数Samplingrate、FFT size、Desired transform interval分别对应于采样率、傅里叶变换采样点规模、期待数据转换时间间隔。采样频率表示单位时间内从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数。FFT size 设置了每个傅里叶变换FFT 计算中包含的数据点的数量，通常可取256、512、1024、2048、4096、8192或16385。计算中包含的数据点越多，频域中的带宽越小。Desired transform interval参数可以反映FFT 计算的次数，求平均值以提高信噪比测量的结果。综合权衡时间分辨率和频率带宽之间的关系，本实验采样频率为48kHz，FFT采样点数参数为2048，期待数据转换时间间隔为100ms，实验中设定的显示的最高频率为24kHz。

2 理论模拟

采用COMSOL软件的特征频率模块进行模态分析和固有振动频率的理论值计算。建模步骤为，首先按照硬币的几何形状建立模型，再写入硬币金属材料的物理属性，然后采用自由四面体的方式对模型进行网格划分，划分大小为超细化，划分结果如图4所示。最后将约束条件设为自由状态，对硬币结构进行模态求解。

模拟结果如图5至图7所示，可以看出，三种类型硬币的本征振动模式具有相似性，因为它们具有如式（6）所示的相同的振动频率表达式 。由于其需要满足不同的边界方程，故λij 具有不同的取值。对于许多不同类型的板（例如圆盘、矩形、环形圆盘）和许多不同类型的边界条件（例如自由、夹紧、简支），文献中已将系数λij 制成表格[10]。

通过软件的模拟，我们得到各硬币的理论振动频率如表3所示。

3 实验结果与讨论

3.1 实心硬币实验结果

实心硬币的实验结果如表4所示，实验值为多次测量的平均值。Spectroid软件可以探测和显示的声波频率范圍是有限的，实验中设定的显示的最高频率为24kHz。和表3模拟结果相比较，只有部分模态的频率数据可以被探测到。将实验结果与理论计算的结果进行比较，我们发现，实验结果与理论模拟相对误差小于7%， 证明了实验的可靠性。

3.2 中心孔对硬币振动测量结果的影响

将四枚含孔型硬币的实验结果与理论计算结果相比较，如表5所示，实验值为多次测量的平均值。我们发现，实验结果与理论模拟的总体相对误差小于8%。其中，除铜钱3硬币的（0，1）振动模式频率，其他实验值与理论值相对误差都低于6%，其相对误差范围与实心硬币的相对误差范围是一致的，说明此实验方法对含孔型硬币的振动测量依然有效，且实验精度相当。

为进一步探究中心孔对硬币振动模式的影响，我们根据四枚带孔硬币的尺寸和材料特性重新建模（去除中心孔），将方孔和圆孔的理论结果与实心模型相比，如表6所示。

经过比较，可以发现：由于中心孔边界条件的限制，会使得相应模式的振动频率降低。例如日本五元圆孔型硬币，在含圆孔时（2，0）模式的振动频率为8.3kHz，要比不含圆孔时的振动频率低0.5kHz。这与文献[12]的分析结果是一致的。

3.3 实验的可重复测量

由表7可知，本实验有很好的可重复性。

3.4 模式分裂现象探究

在实验过程中，观察到多枚硬币（一角硬币、一元硬币、5美分硬币、25美分硬币、日本五元硬币、铜钱1硬币）在（2，0）振动模态的共振声学频率明显分为两个可分辨频率。如图8（a）所示，一角硬币a的两个频率分别为：20789Hz和21961Hz;如图8（b）所示，25美分的两个频率分别为：9258Hz和9352Hz;如图8（c）所示，日本五元的两个频率分别为：8109Hz和8227Hz。同时，在第一枚铜钱的（1，1）振动模态处也观察到了两个模式分裂现象，如图8（d）所示，在（2，0）模式下的两个相近频率分别为6422Hz和6539Hz，在（1，1）模式下的两个相近频率分别为22570Hz和22805Hz。Manas[9]指出，这些硬币不是简单的扁平圆盘，由于造币过程的不对称，可能是造成分裂的原因。

3.5 材质对于测量结果的影响

硬币制造所用的材料会根据实用性和成本而更改变[13]。硬币的材料成分变化会导致杨氏模量和泊松比发生变化，进而导致物理尺寸接近的硬币的振动频率发生显著差异。如我国的第五套兰花一角硬币共有两种材质，一种是铝材质（1999年发行，杨氏模量70.6Gpa），一种是钢材质（2005年发行，200Gpa），其物理尺寸几乎完全一致[14]。如表8所示，在（2，0）模式的共振频率处，钢材质硬币的共振频率要高于铝材质硬币的共振频率。尽管铝和铁的杨氏模量明显不同，但由于铝和铁密度的显著差异，分别为2.102g/cm3 和7.810g/cm3，使得它们在（2，0）模式的振动频率相近。同时，它们在模式（2，0）处都发生了频率分裂现象。

3.6 面积和硬币边缘的影响

在所有的样品中，只有表面积较大的银元可以在实验中探测到清晰的6种模式的共振频率，实验值为多次测量的结果（表9）。由理论计算可知，银元的共振模式中，共振频率低于24 kHz的共有8种。通过实验测量共观测到其中的6种共振频率，其中有一种共振频率的相对误差为6.7%，三种共振频率的相对误差为10%左右，一种共振频率的相对误差为20%左右，相对误差值要高于上述硬币的实验结果。

经分析，误差主要来源可能是硬币成分和边缘影响。由于历史和政治原因，所用的民国三年银元曾发行过多个版本，先后在天津、江苏、湖北、浙江、安徽、沈阳等各省造币厂铸造。在新中国建国初期（1949—1951），随着解放军向西北、西南等地挺进及解放西藏等，沈阳造币厂和四川省分行等也铸造过不同形态的该版本银元[15]。不同时期鑄造的硬币其成分和尺寸或略有差异，共振频率也会有所改变。我们使用的银元质量为19.32g，与一般所说的七钱二分（合26.8g）有差异[15]，不排除伪造或者磨损严重的因素。

另外，银元硬币的侧边为齿状分布，而非光滑的圆面，导致其边界方程发生改变，进而使理论值计算产生一定误差，如图9所示。

3.7 实验中的其他误差分析

硬币振动将会产生声波，可以使用智能手机的麦克风精确测量。其他物体与硬币的任何接触都会影响其边界条件，从而影响其振动模式和振动频率，因此应当测量硬币在自由空间振动时的共振声学频率。

对于本实验所产生的误差，还可能产生于以下方面：（1）硬币的表面并不是平整光滑的，而是有图案的凹凸形表面。建模时简化为表面平整光滑的平板，会造成一定的误差。（2）硬币的材料大多为合金材料，其杨氏模量和泊松比等物理参数较为复杂。建模中，我们选择硬币中主要金属成分的杨氏模量和泊松比进行模拟计算，会造成一定误差。（3）硬币在长期使用过程中会造成一定的磨损，从而对硬币的厚度、边缘光滑性造成影响，进而影响硬币的振动频率。（4）硬币在使用过程中会粘上一些非金属材质的污垢，其物理属性与金属的物理属性相差较大，对硬币的振动频率会造成影响。

4 结语

本文通过对不同种类的硬币弹跳的共振声学频率的探究，提供了一个生动有趣的居家实验方案。通过此项实验，可以培养学生以下方面的能力：（1）探索平板振动中的力、表面波和能量等物理概念与原理。（2）研究表征本征振动的频率模式如何取决于样品的形状尺寸和材料特性。（3）培养提出问题和解决方案的能力，将实验结果与模型进行比较，构建解释并发现新问题。在这个实验学习过程中，可以通过货币探究来学习历史。

由于篇幅限制，其他多边形硬币（例如六边形和十二边形的英国硬币，十二边形的香港紫荆花硬币）、不同桌面弹跳结果对比、模式分裂现象等还有待继续研究。此外，玻璃、瓷器、保温杯等更复杂物体的本征振动声学问题也可以逐步在基础物理教学中开展。

致谢： 本文部分实验测量在南开大学物理科学学院公能创新实验室完成，感谢提供实验室开放的老师和助教同学。

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