数形结合视角下教学活动的开展

张媛

“二次函数的图象和性质”是人教版九年级上册第二十二章第一节的内容。该节内容包含二次函数的概念以及y=ax2、y=a（x-h）2+k、y=ax2+bx+c（其中，a均不为0）函数的图象和性质等内容。以下将重点放在对二次函数图象和性质的探寻上，且探寻过程均在a≠0的情况下进行。

一、二次函数y=ax2的图象和性质

（一）图象和性质的探寻

教学中明确y=ax2图象和性质的探寻方向，可以保证教学活动有序、高效推进，因此，教师可以预告教学内容，从抛物线的开口大小、对称轴与顶点特点、y随x的变化趋势方面进行探讨。

对于抛物线开口大小的教学，课堂上教师分别展示a＞0和a＜0时的多个二次函数图象，要求学生分析a的大小对函数图象开口大小的影响。这里a分别取值±、±1、±2绘制对应函数的图象，如图1所示。

观察图1，在a＞0的情况下，a越大，图象的开口越小；在a＜0的情况下，a越大，图象的开口越大。同时，要求学生从图形对称的角度观察函数图象，确定其对称轴，分析图象的特征。观察、归纳可以得出不考虑a的正负，函数图象均关于y轴对称。其中当a＞0时有最低点，即顶点（0，0）；当a＜0时，函数有最高点，顶点也为（0，0）。

探究任务：当a＞0时，沿着x轴的正方向观察函数图象是怎样变化的，分析对应y值的变化规律，而后与学生一起进行探寻。沿着x轴的正方向观察对应着x的值逐渐变大，容易看到函数图象先下降至顶点而后上升。由于函数图象由无数个点构成，图象的下降对应函数的值减小，图象上升對应函数值增大。用数学语言描述为：当x＜0时，y随着x值的增大而减小；当x＞0时，y随着x值的增大而增大。

课堂上要求学生参考上述分析思路，分析a＜0时函数图象的性质，并完成如下填空内容。

当a＜0时，抛物线的开口____；当x＜0时，y随x值的增大而___；当x＞0时，y随x值的增大而___。

（二）应用讲解

例1.已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，若y1＜y2，则下列说法正确的是（  ）

A.0≤x2＜x1    B.x1＜x2≤0

C.x1＜x2≤0或0≤x2＜x1 D.以上均不对

由二次函数y=ax2的图象和性质可知，A、B两点的位置并不确定，需要进行分类讨论，考虑A、B处在y轴左侧、右侧、两侧三种情况。借助图象，通过数形结合进行分类讨论，可以直观地看到A、B两点的位置，得出x1，x2的大小关系，如图2所示：

对于图2（a）可得x1＜x2≤0；对于图2（b）可得0≤x2＜x1；对于图2（c）可得x2＜0≤x1，且x2＜x1；对于图2（d）可得x1＜0≤x2，且x2＜x1。综上分析可知，正确答案为D。

二、二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质

（一）知识讲解

二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质教学中，根据学生的认知规律，先通过函数图象的平移研究抛物线y=ax2和抛物线y=ax2+k的关系。为方便理解，将这两个抛物线实例化为抛物线y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1，并展示三个图象。

要求学生观察函数图象，自主完成表格内容。（见表1）

而后提出问题：将抛物线y=2x2进行怎样的平移才能得到抛物线y=2x2+1和y=2x2-1？在此基础上你能总结出抛物线y=ax2和抛物线y=ax2+k的关系吗？

由函数图象可以清晰地看到，将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到抛物线y=2x2+1；向下平移1个单位得到抛物线y=2x2-1。推广开来，抛物线y=ax2可以通过上下平移k个单位得到抛物线y=ax2±k，其中k的符号为正则向上平移，为负则向下平移，简记为“上加下减”。

待学生掌握抛物线上下平移的规律后，教师要求学生讨论在平面直角坐标系中还可以怎样平移抛物线？显然，还可以左右平移抛物线，为此引出问题：抛物线y=a（x-h）2和抛物线y=ax2存在何种关系？该探究过程，可以要求学生从探寻抛物线y=-（x+1）2、y=-（x-1）2、y=-x2三者的关系入手。在平面直角坐标系中，三个抛物线的位置如图3所示。

从图3中可以看出，抛物线y=-（x+1）2的顶点为（-1，0），对称轴为直线x=-1；抛物线y=-（x-1）2的顶点为（1，0），对称轴为直线x=1；以抛物线的顶点为对象，可以清晰地看到将抛物线分别向左、向右平移得到抛物线y=-（x+1）2和y=-（x-1）2。由此可以得到结论：抛物线y=ax2向左或向右平移h个单位得到抛物线y=a（x±h）2，其中h的符号为正则表示向左平移，符号为负表示向右平移，简记为“左加右减”。

课堂上展示问题：已知抛物线y=-x2，则进行怎样的平移可以得到抛物线y=-（x+1）2-1？该问题将函数上下左右平移的规律综合起来，能很好地检验学生对函数图象的理解程度。在分析该问题时有两种思路：先左右平移后上下平移；先上下平移后左右平移。

先左右平移后上下平移的具体步骤为：将抛物线y=-x2向左平移1个单位得到抛物线y=-（x+1）2，继续向下平移1个单位得到抛物线y=-（x+1）2-1。先上下平移后左右平移的具体步骤为：将抛物线y=-x2向下平移1个单位得到抛物线y= -x2-1，继续向左平移1个单位得到抛物线y=-（x+1）2-1。

通过两种平移思路可以得出抛物线进行左右平移时是对自变量x而言的，即先将二次项系数提取出来再考虑平移的单位是多少。在平移的过程中，抛物线的顶点会发生改变，如抛物线y=-x2的顶点为（0，0），抛物线y=-（x+1）2-1的顶点为（-1，-1）。其中，上下平移不改变抛物线的对称轴，左右平移改变抛物线的对称轴。抛物线y=-x2的对称轴为y轴，抛物线y=-（x+1）2-1对称轴为直线x=-1。综合起来，可以得到二次函数y=a（x-h）2+k性质，其对称轴为直线x=h，顶点为（h，k），其开口方向根据a的符号来定，为正开口向上，为负则开口向下；y随x的变化情况，需要结合a的正负以及对称轴情况进行分析。

（二）例题展示

例2.若二次函数y=a（x-4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴上方，在6＜x＜7这一段位于x轴下方，則a的值为____。

由二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质可以知道，二次函数y=a（x-4）2+4图象的顶点为（4，4），对称轴为直线x=4，根据题意其开口只能向下。画出对应的图象如图4所示：

由图4可知，图象刚好过点（2，0）和（6，0）时满足题意。由二次函数y=a（x-h）2+k的性质可知：当a＞-1时，图象开口变大，在x＞6时图象有部分在x轴上方，与题意不符；当a＜-1时，图象开口变小，x＞2时，图象有部分在x轴下方，不满足题意。综上分析可以得出a=-1。

三、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

（一）理论讲解

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教学，可以从学生已有的知识储备入手，搭建新旧知识的桥梁进行推理、总结。

以二次函数y=x2-6x+21为例，如直接采用描点法绘制图象，需要进行烦琐的计算，难度较大。因此，可以通过适当变形，寻找规律，合理取点。课堂上与学生一起对其进行配方、变形，得到y=（x-6）2+3。从中可直接看出其顶点为（6，3），对称轴为直线x=6。在对称轴左右取点，可以顺利画出其图象。结合图象可以描述出y随x的变化关系。

基于上述知识铺垫，接下来探寻二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。对二次函数y=ax2+bx+c进行配方，得到：y=a（x+）2+，对照二次函数y=a（x-h）2+k，容易得到：其对称轴为直线x=-，顶点为（-，）。对于y随x的变化关系，教学中既可以要求学生联系y=a（x-h）2+k的图象和性质进行总结，也可以结合对应的图象进行分析。由于a的正负影响二次函数图象的开口方向，因此，需要分a＞0和a＜0两种情况。

（二）课堂训练

例3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图5所示，若M=5a+4c，N=a+b+c，则M、N与0的大小关系分别是____。

由题意可知，当x=1时，y=a+b+c，由图5可知，N＞0；另外，图象的对称轴为直线x=1，即x=-=1，b=-2a。又由图可知，当x=2.5时，y=a+b+c＞0，整理得到：25a+10b+4c＞0，将b=-2a代入整理得到：5a+4c＞0，即M＞0。

四、总结

二次函数的图象和性质教学中，以数形结合为指引，和学生一起探寻，给学生带来直观的感性认识以及理性的推理分析，增强数学课堂教学趣味性的同时，使学生通过参与知识的形成过程深入理解、牢固掌握所学，有效地锻炼了学生的解题技能。

（作者单位：陕西省渭南市合阳县城关中学）

编辑：常超波