基于层间邻域信息熵的时序网络节点重要性评估方法

洪成　蒋沅　严玉为　余荣斌　杨松青

摘要： 为识别时序网络中的重要节点，提出基于层间邻域信息熵的时序网络节点重要性评估方法。受明显路径流网络模型的启发，该方法通过引入参数ω，融合节点在相邻时间快照的层间邻域拓扑信息，使用信息熵来刻画网络结构的复杂性，并且兼顾了相邻时间快照的全局拓扑信息。通过使用SIR传播模型、Kendall相关系数、以及Top-k指标来验证该方法的有效性与适用性，在6个真实数据集上与其他6种评估方法进行比较。实验结果表明，提出的方法能够更为有效的识别出时序网络中的重要节点，同时对重要性排名靠前的节点的识别更为准确；可根据时序网络的拓扑结构调整ω从而提升该方法的评估效果；该方法的时间复杂度仅为O（mn），适用于大型时序网络。

关键词： 时序网络；层间邻域；节点重要性；信息熵

中图分类号： TP39;N94      文献标识码： A

A Method of Evaluating Importance of Nodes in Temporal Networks Based on Inter-layer Neighborhood Information Entropy

HONG Cheng， JIANG Yuan， YAN Yuwei， YU Rongbin， YANG Songqing

（Institute of Information Engineering， Nanchang Hangkong University， Nanchang 330063， China）

Abstract：In order to identify important nodes in temporal networks， a node importance evaluation method is proposed in based on inter-layer neighborhood information entropy. Inspired by the directed flows model of temporal networks， the method introduces the parameter ω to fuse the inter-layer neighborhood topology information of node at adjacent snapshots， uses information entropy to describe the complexity of network structure， and also takes into account the global topological information. The effectiveness and applicability of the method is proved by using the SIR propagation model， Kendall correlation coefficient， Top-k metrics， and the proposed method is compared with six evaluation methods on six real datasets. The experimental results demonstrate that the method can more effectively identify the important nodes in the temporal network. Meanwhile， the identification of the nodes of with high importance is more accurate. In addition， the parameter ω can be adjusted to improve the evaluation effect of this method according to the topology of the temporal network. Last but not least， the time complexity of this method is O（mn）， which is suitable for large-scale temporal networks.

Keywords： temporal network; inter-layer neighborhood; node importance; information entropy

0 引言

网络科学作为一门交叉学科，对许多领域的发展起着促进作用，如物理、生物、金融，以及社交等 [13]。节点重要度识别作为复杂网络研究的核心课题之一，有着广泛的应用前景，如市场营销，流行病控制等[4]。最近关于静态网络重要节点识别的研究取得了一定的进展[5]。然而，固定状态的连边与节点并不能表示动态复杂系统，而时序网络包含时间维度信息，其拓扑结构随着时间发生变化，能够更好地表征动态复杂系统[6]。因此，时序网络节点重要性的评估方法具有重要的研究意义。

时序网络关键节点识别相对静态网络更具有挑战，因为其拓扑结构随着时间变化，每个节点的重要性也随时间而变化。在静态网络中，度中心性[7]是识别重要节点的一种直观方法，Wang等[8]将之延伸至时序网络，考虑各个网络快照中节点的度中心的变化情况，提出度值偏差中心性对节点进行排序，该方法计算复杂度低，但无法识别度值在快照中变化较小的重要节点。由于加入了时间维度，Kim与Anderson在文献[9]中创建了路径流时序网络模型，定义了时序网络的最短路径，基于最短路径提出接近中心性和介数中心性，用以识别时序网络的关键节点。此类方法计算时间复杂度高，对大型时序网络不适用。Taylor等[10]将静态网络的特征向量[11]识别推广到时序网络，通过结合多层网络的思想构建超中心矩阵，超中心矩阵的主特征向量对应各时间层节点的重要程度。胡刚等[12]在此基礎上考虑时序网络跨层间的耦合系数，对识别层内重要节点都具有一定的提升。Jiang等[13]提出新的耦合系数计算方式并引入衰减因子来刻画层间耦合关系的变化。基于特征向量识别的方法能够展现时间层内微观重要性排序，而局限是不能对时序网络整体的重要节点进行识别。Qu等[14]基于节点重要性依赖于其邻居节点重要性的观点，提出了时序信息收集过程（TIC-process），对时序网络中的关键节点进行识别，该方法考虑了信息收集深度、距离矩阵、初始信息以及权重函数4个指标，发现相对于时序最短路径距离矩阵，最快到达路径作为距离矩阵性能更好。该方法将时序节点重要度识别转换为一个更一般的过程，能够获取最优的指标组合方式以识别重要节点，但对于不同的网络，最优的组合亦不一致。

熵可用于量化系统内在混乱程度，被广泛运用于复杂网络研究[15]。也有学者将熵从静态网络扩展到时序网络，如Luo等[16]考虑了不同节点之间的时空联系，提出了结构熵的中心性识别方法以保护计算机免受病毒攻击，同时也考虑了病毒传播的时间顺序。Michalski 等[17]运用熵来度量节点邻居随时间的变化，认为节点邻居随时间变化越大的节点影响力越大，相较于其他启发式算法，此方法时间复杂度更低。

受到上述研究工作的启发，本文提出基于层间邻域信息熵的时序网络节点重要性评估方法（INE）。以明显路径流网络模型的视角引入参数ω，融合节点在相邻快照的层间邻域拓扑信息，使用信息熵来刻画网络结构的复杂性，最后以全局的视角对不同的层间节点的邻域信息熵进行赋权得出各节点的重要性。通过时间复杂度分析得该方法的时间复杂度仅为O（mn），适用于大型时序网络。为证实本文所提出方法的有效性与适用性，本文在6个真实数据集上采用时序SIR模型作为评价模型，将INE与6个基准评估方法作比较。利用Kendall相关系数与Top-k指标证实了本文所提出方法的优越性。最后探讨了ω对该方法的影响，发现可根据时序网络的拓扑结构调整ω以提升INE的评估效果。

1 理论基础

1.1 时序网络定义

设GT=（V，ET）为在时间窗口［1，T］上观测到的时序网络，T=S/δ，S为总的交互时间时长，δ为时间窗口的大小，V为节点集，ET为时序交互事件集。每个交互et∈ET用四元组 （u，v，t，λ）表示，其中u，v∈V，t为起始时间，λ为持续时间，t+λ为结束时间，本文中令λ=0，即只考虑瞬时交互。对于每个时刻t∈［1，T］，用Gt表示t时间窗口下的图，At为对应的邻接矩阵，若节点u与v在t时刻发生交互，Atu，v=1，否则Atu，v=0。即时序网络可用离散有序的快照网络G1，G2，…，GT表示。

1.2 时序接近中心性

时序接近中心性（TC）[9]是基于时序最短路径的识别方法，TC越大表示与网络其他节点越接近，节点越重要，其中Δt，T（v，u）为在时间间隔［t，T］内从v到u的时序最短距离。

1.3 时序介数中心性

时序介数中心性（TB）[9]同样是基于时序最短路径的识别方法，表示作为“桥接”节点对网络信息流的控制能力，TB越大表示通过该节点的时序最短路径越多，式（2）中，σt，T（s，d）表示在时间间隔［t，T］内从源节点s到目的节点d的时序最短路径数目，σt，T（s，d，v）为在时间间隔［t，T］内从源节点s到目的节点d的时序最短路径中通过节点v的路径数目。

1.4 时序度值偏差中心性

时序度值偏差中心性（TDD）[8]认为节点在各个时间快照上度值变化越大，该节点就越重要，其中Dt（v）表示在时间快照t节点v的度，D（v）表示在所有时间快照的平均度。

1.5 时序k-核中心性

时序k-核中心性（TK）[18]将k-核引入时序网络，同时考虑自身与邻居节点的k-核值，kts（v）为节点v在时间快照t的k-核值，Γv为节点v的邻居集。

1.6 时序动力学敏感中心性

时序动力学敏感中心性（TDC）[19]考虑了时序网络的动态特性，式（5）中，S为表示所有节点传播影响力的向量，A（t）为在时间快照t的邻接矩阵，I为单位矩阵，V0T表示元素全为1的列向量，β0和γ分别为感染概率与恢复概率。

1.7 基于熵的时序中心性

基于熵的时序中心性（TEC）[14]将信息论运用到时序网络中，并考虑了病毒传播的时间特性。式（7）、（8）中Lti是t快照下节点i的邻居数，该方法首先计算RTi然后归一化为RTi，然后令 ITi= RTi，通过式（8）计算出第一个快照的I1i即为节点i的中心性大小，其中p为可调参数。

2 INE评估方法

2.1 方法构造

如图1时序网络的两种表示模型，图1a表示时间快照模型，图1b表示明显路径流模型，二者是同一时序网络的不同表现形式，时间快照模型能够清楚直观反应各个快照下拓扑情况，而明显路径流模型表现的是网络全局情况以及信息流向。

本文将两种时序网络模型对应起来，图1b中的虚线框中G1，G2，G3，G4对应时间快照模型中的快照网络。如在t∈［0～2］时段，包含两个快照即G1，G2，在t∈［0～1］时段产生了G1，在t∈［1～2］时段产生了G2。可以直观看出，在t=1时通过节点的信息流承接了G1与G2的邻域信息，而在以往的对时序网络的研究里，却未体现出时序网络这一独有的拓扑性质，即以路径流视角有效利用相邻快照的层间拓扑信息。鉴于此，结合信息熵将节点的信息输出概率定义为

其中，kt（i）為节点i在时间快照t下的度值，t∈［1～T-1］，ω是本文引入可调参数，取值范围为0，1，表示节点下一快照的邻域拓扑信息与层间邻域拓扑信息的占比。pti表示信息从t快照流向t+1快照时通过节点i的概率，本文用该指标表征节点在相邻快照间的桥接作用。考虑到节点邻居对节点的重要性影响，本文引入信息熵刻画节点邻域的拓扑结构的复杂性，将节点信息熵定义为

其中，Γti表示节点i在时间快照t下的邻居节点集，Hti的值越大，表示节点i在t快照与t+1快照间的拓扑结构越复杂，重要性也越高。考虑到时序网络是由一系列时间快照构成，而相邻快照间的交互次数越多，说明该相邻快照影响力越大。故将节点i的全局重要性定义为

式（11）INE的计算利用了时序网络中的全局拓扑信息，其中Et为快照t中网络连边的交互次数。

2.2 计算流程及复杂性分析

本文所提出INE算法具体计算流程：

步骤1：输入时序网络G=G1，G2，…，GT，可调参数ω，初始化各节点INEi=0；

步骤2：根据式（7）计算信息输出概率；

步骤3：根据式（8）计算节点信息熵；

步骤4：根据式（9）赋权节点信息熵，并将其累加至对应的INEi；

步骤5：重复步骤2至步骤4，直至遍历完所有的相邻时间快照，输出INEi。

该算法遍历了所有的相邻时间快照求出层间邻域信息熵，故整个算法遍历2*（m-1）个时间快照，m为时序网络总的快照数，本文中m=T，在计算节点信息熵时，需要考虑邻居节点信息，时间复杂度为O（n*k-），n为网络节点数，k-为所有时间快照中节点的平均度。可知本文提出的算法复杂度为O（2*m-1*n*k-），对一般网络可化为O（m*n）。此外，表1列出了其他几种评估方法的时间复杂度，可见本文提出的INE时间复杂度较低，适用于大型时序网络。

2.3 有效性分析

为验证本文提出的INE方法的有效性，用对照方法与INE对图1中所表示的时序网络进行重要性排序。该时序网络包含4个时间快照与6个节点，TDC中β0=0.01，γ=0.1；INE中ω=0.5；TEC中p=0.5；排序结果如表2所示。

结合表2与图1分析可知，INE具有较高分辨率，能够区分所有节点的重要性。INE方法和其他方法排序的主要不同是对节点v5的排序，不难发现v5的影响力集中在最后一个时间快照G4，而从时间轴上来看，先前时段活跃的节点对后续节点影响更大，而INE方法考虑到层间邻域的拓扑信息，能够将这种时序特征体现。即在第3个时间快照中，v1获得了邻居节点v5在最后一个时间快照的重要性，故v1节点排名第一。从明显路径流网络模型的视角，节点层间邻域的信息还能反应节点的层间的桥接能力，v1在图1a中t=1，t=2时层间桥接能力较强，在TB排序结果中也可以得出。v2与v4在G1与v1存在交互，v1作为邻居节点，v1在层间的桥接能力也会影响邻居节点的重要性，v2与v4同获v1影响力，v2在第2个时间快照上影响力较大，v4在第3个时间快照上影响力较大，但G2与G3的网络规模相对G3与G4小（连边数为判断），故INE将节点v4排第2，v2排第3。值的一提的是基准方法TEC也运用了信息熵理论，但其只在最后一个时间快照应用信息熵理论，且未考虑到邻域节点重要性带来的影响，计算出的节点中心性仅为节点在初始快照的传播能力，在此方法下v2的初始传播能力最强。

综合上述，本文所提出的INE方法融入层间邻域拓扑信息后，能够考虑到信息在网络中传播的时序特征，同时也考虑节点层间的桥接能力以及层间网络的规模，能够有效区分时序网络节点的重要度。

3 评估标准

3.1 SIR模型

本文使用基于传播能力的评估方法，利用SIR传播模型[20]来评价时序网络中节点的传播影响力。在SIR传播模型中有3种状态，易感状态S，感染状态 I，恢复状态R。处于I的节点通过概率β感染其处于S的邻居节点，每一个感染节点又可以通过概率μ变成恢复状态R，处于R中的节点不再被感染。不同于静态网络，在时序网络中，需要考虑到连边交互先后顺序，而每个节点可能在多个快照中产生交互，对每个节点，本文分别从其每次交互发生的时间进行SIR传播实验[14]，实验结果为1 000次取平均，将处于R中的节点数作为传播影响力标准，为不失一般性，設μ=1，传播概率β取0.01～0.20。

3.2 评估指标

3.2.1 肯德尔相关系数

得到时序网络节点传播能力σ后，本文使用Kendalls τ（肯德尔相关系数）[21]来检验INE和其余6种基准方法与传播能力的排序相关性。设x1，y1，x2，y2，…，（xn，yn）为序列X与序列Y一一对应的新序列，Kendalls τ定义如式（12），τ∈［-1，1］，若τ=+1表示X与Y排序完全正相关，τ=0表示X与Y排序不相关，τ=-1表示X与Y排序完全负相关。

3.2.2 Top-k指标

本文也使用Top-k[22]来评估7种方法对重要性排名靠前节点的识别能力。Top-k的评价指标为命中率HR（Hitting Rates），其中C和L分别为评价方法节点重要性与SIR传播模型节点传播能力排名前k的节点集，k取时序网络节点总数的20%。

4 实验结果与分析

4.1 实验数据集

为了验证INE的排序效果与适用性，本文选用了6个真实数据集进行实验，分别是Enron数据集[23]，Email-Eu-core数据集[24]，High school 2011 （2012）数据集[25]， Primary school数据集[26]，Workplace数据集[27]，表3为数据集统计特性，其中V为节点数，C为总的交互次数，E为时序网络总的连边数，T为快照数，δ为时间间隔。

4.2 实验分析

4.2.1 评估方法节点重要性与传播能力σ的排序相关性实验

本节研究INE和6种基准方法节点重要性与SIR节点传播能力σ的排序相关性。采用上述的肯德尔相关系数进行评估，若识别方法所得出的节点重要性与σ的τ越接近1，说明该方法越有效。在本小节的实验中， TDC中β0=0.01，γ=0.1，TEC中p=0.5，INE方法中的ω取值为0.5。

实验结果如图2所示，可以直观看出本文所提出的INE评估方法在多个数据集上与SIR模型得到的节点传播能力有着显著的相关性，而TEC的相关性最差。图2中也可以看出，INE方法相关性曲线的变化趋势与TC方法相关性曲线的变化趋势相似，说明INE方法也考虑到了全局的拓扑信息。对比其他几种基准评估方法，能够发现在High school 2011，Primary school以及Workplace中INE评估方法与SIR模型在β取值的整个范围相关性都是最高的。而在剩余的其他数据集中，INE评估方法只有在β较小的时候与SIR模型的相关性略低于TK方法，这是由于INE考虑的层间邻域信息熵，考虑的是两个时间快照的信息，TK方法考虑的只有单层网络即单个时间快照的k-shell，当传播概率β较小时，传播的路径很短，往往不能感染到其他较远时间快照节点，感染只在局部发生，故TK方法在β较小时相关性会略高。但随着β增大，能够明显看出，相比于其他方法，INE评估方法与SIR模型有着更好的相关性。因此INE方法能够更为准确地评估时序网络节点的重要性。

4.2.2 各评估方法Top 20%重要节点命中率HR实验

除了研究各方法与SIR排序的相关关系外，本文考虑到实际应用中常常关注的是排名靠前的节点，故本小节运用Top-k的实验评价方法来检验INE评估方法的有效性，其中INE方法的ω取值为0.5，TDC中β0=0.01，γ=0.1。

图3为不同β下，7种评估方法的HR，从图3可以看出，TEC虽然在上一节的实验中相关性都低于其他方法，但在HR实验中其效果并不是最差的，侧面说明了本实验的必要性。本文提出的INE方法依然有着较高的命中率，在6个数据集中表现最差也能排到第3，且与另两种方法之间差距很小，说明该方法能够识别不同传播概率β下的重要节点。对于TDC方法，在图2c、f中具有不错的表现，但在d、f表现一般，说明TDC识别效果受网络拓扑结构影响较大，而INE方法的识别效果较为稳定。在图2a、d中可以看出在传播概率β较小的情况下，TK方法与SIR的相关性是略高于INE方法与SIR的相关性的，但对于前20%重要节点的命中率HR，INE方法却不低于TK，说明INE不仅能够有效对所有节点进行排序而且也能准确识别出较为重要的节点。

4.2.3 INE方法中ω对评估性能的影响实验

为探索下一快照的邻域信息与层间邻域信息的占比ω对节点重要性评估的影响，本节研究INE方法的ω在0.1～0.9取值范围内与SIR模型的相关性，SIR模型的传播概率β取值为0.04，0.08，0.12，0.16，0.20。

实验结果如图4所示，从中可以看出对于同一数据集，传播概率β不影响曲线的变化趋势，其中相关系数τ随ω变化趋势比较典型的数据集为Email-Eu-core，High school 2012以及Primary school，变化趋势分别为τ随ω增大上升，τ随ω先增大再减小，τ随ω增大變化不明显。对于Email-Eu-core网络，该网络的时间快照较多，且每个时间快照中连边相对其他网络密集，时序网络中节点之间的可达性较高，故下一快照邻域信息占比增加会使得相关性提高。对于High school 2012以及Primary school网络，影响τ随ω变化的也是时序网络的拓扑结构，当时间快照中连边稀疏，节点之间可达性低，ω的增加并不能提高与SIR的相关性，而时间快照中连边介于稀疏与密集之间，ω只能对相关性τ产生很小的影响。值的一提的是，上述疏密性是指时序网络的所有快照，而当单个时间快照过于稀疏或密集时，τ随ω变化的影响较小。由此可以根据时序网络拓扑结构适当调整INE方法中的ω以获得更佳的识别效果。

5 结论

本文针对时序网络中关键节点的识别问题，提出了INE方法，该方法能够有效地对时序网络中的节点重要性进行评估和排序。INE方法结合了节点层间邻域的拓扑信息与各个时间快照的全局拓扑信息，利用了信息熵度量网络结构的复杂性。同时该方法以时序网络明显路径流网络模型视角将拓扑信息最大化挖掘，弥补以往研究中只包含单个时间快照拓扑信息的不足。另外本文使用SIR传播模型来评估INE方法对节点重要性排序的结果。在6个真实数据的实验结果表明，相较于其他基准方法，INE能够更为准确地评估节点的重要性，对排名靠前节点的识别也更为有效，同时根据时序网络的拓扑结构改变INE中的ω还能提高该方法的评估准确性。此外，INE的时间复杂度仅为O（mn）适用于大型时序网络。

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（責任编辑 李 进）

收稿日期： 2022－04－28；修回日期：2022－06－06

基金项目： 国家自然科学基金（61663030， 61663032）；南昌航空大学研究生创新专项基金（YC2021-043）

第一作者： 洪成（1997－），男，贵州毕节人，硕士研究生，主要研究方向为网络动力学。

通信作者： 蒋沅（1982－），男，浙江金华人，博士，副教授，主要研究方向复杂网络的建模与优化算法。