中学生数学问题解决能力的发展轨迹

张思雨 韩继伟 赵倩

摘   要： 培养中学生数学问题解决能力是中学数学课程与教学的重要目标之一。该研究采用认知网络分析法探索中学生数学问题解决能力的发展轨迹，表现为：首先具备问题转化能力与解题方案执行能力，进而具备问题转化能力、解题方案执行能力与问题结构化能力，最终具备解题方案制订能力在内的数学问题解决各维度能力。其中，问题结构化能力是促使中学生数学问题解决能力从低水平到中水平的关键，解题方案制订能力是促使中学生数学问题解决能力从中水平到高水平的关键。

关键词： 数学问题解决能力；发展轨迹；认知网络分析法

一、问题的提出

培养学生的问题解决能力始终是数学教育的一大重心。在我国早期的数学课程文本（教学大纲、课程标准等）中，就显现出对学生数学问题解决能力的要求，例如，要让学生通过学习算数、几何等知识，掌握基本的谋生技能。1 目前，数学问题解决能力的内涵进一步丰富，指学生将他们所学的数学知识与技能综合应用于新的问题情境的能力。2 无论是早期以“谋生之计”和“运算”为内核的解应用题能力，还是现在强调综合运用多种知识与技能来解决问题，培养学生的数学问题解决能力一直是基础教育数学课程的目标之一。不仅如此，数学问题解决能力还是国际学生评估项目（如PISA）的重要测评内容，以及国际数学教育大会（ICME）的专项研讨课题之一。3 尽管数学问题解决能力的研究已取得了很大的进展，但多是重视对解题策略的训练与思想方法的渗透，或对学生水平表现的调查，缺少对数学问题解决能力发展过程的思考。事实上，若要有效提高学生的数学问题解决能力，不仅需要了解相关的教学策略，评估学生现阶段的表现，还有必要理解学生数学问题解决能力是如何随着学习而发展变化的。随着教育大数据与学习分析的快速发展，认知网络分析法逐渐应用于建构复杂问题领域的思维发展过程。1 这为本研究提供了重要参考。因此，本研究运用认知网络分析法，通过可视化表征中学生数学问题解决能力结构，分析其结构特征，探究中学生数学问题解决能力的发展轨迹，以期为数学课程、数学教学与评价提供研究基础和参考依据。

二、文献综述

1.数学问题解決能力相关研究

数学问题解决能力是一种高级认知能力2，与数学核心素养的多个成分密切相关。关于数学问题解决能力的构成要素，迈耶（Mayer）认为，数学问题解决能力包括转换能力、整合能力、计划与监控能力、实施解决方案能力；3 后来，舍恩菲尔德（Schoenfeld）在前人的理论基础上，增加和突出了元认知和情意因素。4 关于数学问题解决能力的影响因素研究，大多聚焦于数学信念、自我效能感等非认知因素和教学因素等，如马克·普伦德加斯特（Mark Prendergast）等人发现，学生积极的数学信念是影响其数学问题解决能力的重要因素；5 綦春霞等人发现，初中生的自我效能感对数学问题解决能力有正向预测作用，数学焦虑起反向预测作用；6 郑太年等人提出，教师在课程教学的积极态度以及计算机辅助教学对于学生问题解决能力有正向影响，讲授教学法对学生问题解决能力有负向影响。7

综上可知，已有关于数学问题解决能力的研究，大多是重视对解题策略的训练与思想方法的渗透，或对学生数学问题解决能力水平进行评价。然而，若要有效提高学生的数学问题解决能力，不仅需要厘清数学问题解决能力的结构及影响因素、调查学生数学问题解决能力的水平高低，更需要从学生自身的角度来思考，其数学问题解决能力是如何随着不断地学习而发展变化的。这不仅是数学教育研究发展的趋势，也是数学教育实践发展的诉求。知识或能力之间的联系会随着人们学习的进步而越来越紧密，最终形成一个更加完善的认知框架。8 但目前相关的实证研究并不丰富，因此，本研究将继续分析学生数学问题解决能力中各元素间的内在关联和结构，以探究如何发展学生数学问题解决能力。

2.认知网络分析法及其应用研究

认知网络分析法（Epistemic Network Analysis，以下简称ENA）是由谢弗（Shaffer）等人提出的一种建构复杂问题领域的思维发展的分析方法。9 其主要优势在于能够通过网络图，可视化表征被试各能力之间的联系及发展趋势。具体来说，ENA以“节点”表示研究框架所包含的元素，再利用二进制编码方式计算这些“节点”之间关联的强弱，并用网络图的形式呈现元素之间的结构特征，横向组间或纵向组内对比不同的元素结构，从而实现差异化分析或发展趋势研究。

ENA方法的优势使其在探究认知发展方面发挥了重要作用。12 例如，吴忭等人通过ENA方法分析学生在协作编程活动过程中，计算思维能力不同维度之间的关联特征，探究了不同能力水平的小组在计算思维能力水平上的差异及其发展轨迹，指出学生计算思维结构存在双向的思维特征；3 冷静等人通过ENA方法编码反思日志，揭示了教师反思能力发展轨迹，即教师逐渐向对话反思、批判性反思等高水平能力发展过渡；4 乔新虹通过认知网络分析法来研究教学设计能力、添加的教学设计能力、辨分的教学设计能力和反思的教学设计能力之间的关联，及其在实验前后的变化，验证了KI课程对职前科学教师教学设计能力发展的促进作用；5 张思等人依据TPACK框架，应用ENA分析了对话反思教师的认知网络结构特征，发现教师对话的知识类型主要是学科教学法知识和一般教学法知识。6 综上，虽然ENA方法在教育研究领域得到了广泛的应用，但少见关于问题解决方面的应用。因此，本研究拟运用认知网络分析法，构建不同水平学生数学问题解决能力的认知网络图，可视化表征数学问题解决能力各维度间的关联和发展全貌，以实现对学生数学问题解决能力发展轨迹的刻画。

三、研究设计

1.研究问题

本研究基于迈耶提出的学生解决数学问题的四阶段理论，以问题转换能力、问题结构化能力、解题方案制订能力及解题方案执行能力为四维度，表征学生的数学问题解决能力。核心问题是中学生数学问题解决能力的发展轨迹是怎样的？

2.研究对象

研究對象为吉林省三个地级城市中的10所初中的三年级学生。研究采取分层抽样和整群抽样相结合的方法，以确保研究对象具有一定的代表性。具体而言，首先根据管理水平、硬件设施、生源和师资力量等，将学校分成从优质到一般的三个层次水平；然后分别在不同层次水平的学校中随机选取三所作为样本学校，将被确定为样本学校的全体初中三年级学生作为研究对象。最终，参与测试的学生人数共计421名，回收的有效数据样本共计350份。

3.研究工具

研究编制《中学生数学问题解决能力测评卷》，测量中学生数学问题解决能力。通过对测试卷进行预测、调整，最终测评题的内容效度指数为0.96，大于0.78，即试题具有较好的效度；测评题在项目反应理论下的标准误差值均接近于0，试题对考生能力水平的估计较稳定，即试题具备良好的信度；难度参数的拟合指标MNSQ值均在[0.5，1.5]的可接受范围内，拟合指标ZSTD值也在[-2，2]的可接受范围内；试题的区分度参数均大于0.3，即试题具有良好的区分度。

4.研究方法

本研究主要采用调查法中的测试法探究中学生数学问题解决能力的发展轨迹。数据分析方法主要包括描述性统计分析、聚类分析、Rasch模型、认知网络分析。具体而言，首先采用聚类分析、Rasch模型对回收的350份有效测试卷进行数据分析，将参试学生划分成低、中、高三个水平。其次，采用描述性统计的方法刻画各个水平学生数学问题解决能力的整体状况。最后，采用认知网络分析法来描述中学生数学问题解决能力的发展轨迹。

四、研究结果

1.中学生数学问题解决能力的整体状况

首先，对中学生数学问题解决能力做出如下水平划分：先根据Rasch模型计算中学生数学问题解决能力值；进而对中学生数学问题解决能力进行系统聚类分析，由系谱图可知，将学生水平划分为3类最合适；最后采用K-均值聚类方法，对350名中学生的数据进行聚类分析，选择聚类的集群数量为3，得到最终的分类结果。分类结果表明，低、中与高水平学生人数，分别占总人数的27%、44%与29%（见表1）。

整体上，中学生的问题转换能力最强，问题结构化能力与解题方案制订能力较弱。从低水平到高水平，中学生数学问题解决能力各维度能力均有明显提升，但不同水平的中学数学问题解决能力结构存在一定的差异，如低水平学生主要是问题转化能力最强，其次是解题方案执行能力；中水平学生也是如此，但问题结构化能力也有了明显提升；高水平学生各维度能力均值均较高。这些描述性分析帮助我们了解中学生数学问题解决能力的整体状况。然而想要落实对学生数学问题解决能力的培养，我们还需深入理解中学生的数学问题解决能力是如何随着学习而发展变化的。

2.中学生数学问题解决能力的发展轨迹

首先，以三种水平的中学生数学问题解决能力作为三个分析单元，绘制不同水平的中学生认知网络二维质心分布图，以获得不同水平的中学生数学问题解决能力结构特征，并采用独立样本t检验比较中学生数学问题解决能力的结构差异；其次，以中学生的问题转换能力、问题结构化能力、解题方案制订能力及解题方案执行能力为四个节点，构建不同水平的中学生数学问题解决能力认知网络模型，并计算认知网络连接系数值，以了解中学生数学问题解决能力各维度间的关联，获得中学生数学问题解决能力发展轨迹。

（1）不同水平的中学生数学问题解决能力结构特征分析

为了探究不同水平的中学生数学问题解决能力结构特征，本研究对中学生数学问题解决能力测评数据进行预处理及编码，建立了三个水平学生的认知网络二维质心分布图（如图1所示）。数据结果显示，二维质心分布图投影中第一维度（MR1，即X轴）占数据总体方差的47.1%，第二维度（SVD2，即Y轴）占数据总体方差的18.4%。因此，该模型在统计意义上能够反映原始数据的信息。此外，三个水平学生的数学问题解决能力数据投影到二维空间中的三个质心位置（图1中的三个正方形），分别处于不同位置：低水平学生的质心位置距离数学问题解决能力各维度均较远，中水平学生的质心位置主要靠近问题结构化能力、问题转化能力和解题方案执行能力，高水平学生的质心位置距离数学问题解决能力各维度能力均较近。这表明，不同水平的中学生数学问题解决能力结构存在较大的差异。

本研究采用独立样本t检验的方法，对不同水平的中学生数学问题解决能力的平均认知网络中心位置进行差异性检验。结果如表2所示：低水平与中水平的平均认知网络，在第一维度上存在显著性差异（p=0.00），而在第二维度上没有显著性差异（p=0.07）；中水平与高水平的平均认知网络，在第一维度上存在显著性差异（p=0.00）；在第二维度上也存在显著性差异（p=0.01）。

综合认知网络二维质心分布图和独立样本t检验结果可知，不同水平的中学生数学问题解决能力结构存在显著性差异：低水平与中水平的中学生在问题结构化能力上存在显著性差异，中水平学生与高水平学生在数学问题解决能力各维度上存在显著性差异。

（2）中学生数学问题解决能力的认知网络模型分析

上述分析表明，不同水平的中学生数学问题解决能力结构存在较大的差异，这也进一步说明了中学生数学问题解决能力在从低到高的发展过程中发生了明显的变化。为进一步探究中学生数学问题解决能力的发展轨迹，本研究应用ENA构建不同水平的中学生数学问题解决能力的认知网络模型，具体包括平均认知网络图及认知网络叠减图。平均认知网络图的结果显示：低水平的中学生主要在问题转化能力、问题结构化能力与解题方案执行能力之间有线段连接，但线段非常细，连接系数较弱，分别是0.01、0.02、0.04；中水平的学生数学问题解决能力各维度之间均有线段连接，但线段有粗有细，即连接系数强弱不一，其中，问题转化能力、问题结构化能力与解题方案执行能力之间的连接系数最强，分别是0.36、0.25、0.24；高水平的中学生数学问题解决能力各维度之间的连接线段较粗，连接系数均最强，其数学问题解决能力的认知网络结构最稳定、平衡。认知网络叠减图的结果显示：从低水平发展至中水平的过程中，中学生的问题结构化能力与其他各维度能力的连接系数增幅最大，分别是0.32、0.28、0.24；从中水平发展至高水平的过程中，中学生的解题方案制订能力与其他能力连接系数的增幅最大，分别是0.19、0.17、0.12。

以上数据分析结果表明，学生处于低水平时，具备一定的问题转化能力与解题方案执行能力。即在中学生数学问题解决能力的发展过程中，中学生所应具备的最基础能力是问题转化能力与解题方案执行能力。学生处于中水平时，其数学问题解决能力结构特征，表现为以问题转化能力、解题方案执行能力与问题结构化能力为主。从低水平至中水平的发展过程中，中学生的问题结构化能力提升的最为明显。学生处于高水平时，其数学问题转化能力结构特征，表现为各维度能力之间连接紧密并趋于平衡状态。从中水平至高水平的发展过程中，学生解题方案制订能力提升的最为明显。

五、结论与建议

本研究基于认知网络分析方法，得出了符合中学生认知发展规律的数学问题解决能力发展轨迹，希望能够为培养中学生数学问题解决能力，提供一定的理论依据与实证经验。

1.研究结论

通过对中学生数学问题解决能力各维度能力均值的描述性统计分析，以及不同水平的中学生数学问题解决能力结构的认知网络分析，研究发现，中学生數学问题解决能力的发展轨迹为：问题转化能力与解题方案执行能力——问题转化能力、解题方案执行能力与问题结构化能力——数学问题解决能力各维度能力。其中，结构化能力是促使中学生数学问题解决能力从低水平发展到中水平的关键，解题方案制订能力是促使中学生数学问题解决能力从中水平发展到高水平的关键。

（1）问题转化能力与解题方案执行能力是中学生数学问题解决的基础能力

在中学生数学问题解决能力的发展过程中，问题转化能力与解题方案执行能力首先在低水平阶段得以表现。该水平的中学生能够用所学的数学知识对现实问题进行思考，将外部情境信息转化成数学符号语言的内在表征，并能使用数学符号进行推理或运算。这表明，问题转化能力与解题方案执行能力是中学生数学问题解决的基础能力。这是因为，中学生的问题转化能力在很大程度上与其该领域的知识储备量相关。当学生习得问题领域的知识后，学生往往能够根据自己的基础知识将问题中的陈述句转换为相应的数学符号语言。同时，运算能力或使用数学符号执行推理过程的能力贯穿学生数学学习的全过程，因此学生能具备一定的运算和推理经验。

（2）问题结构化能力是促使中学生数学问题解决能力从低水平发展至中水平的关键

在中学生数学问题解决能力的发展过程中，虽然中学生问题结构化能力在低水平阶段也有所体现，但非常薄弱，而在中水平阶段的表现最强，且相比其他维度能力，中学生数学问题解决能力从低水平发展至中水平的过程中，其问题结构化能力的提升幅度最为明显。这表明，问题结构化能力是促使中学生数学问题解决能力从低水平发展至中水平的关键。这是因为，学生的问题结构化能力主要表现为学生将转译的各个陈述句整合在一起，形成一个熟悉的问题模型的能力。学生需要先从转移的信息中选择与问题相关的信息，删除无关的信息，同时推论题目中没有的隐藏信息，才能建构一个问题模型。1 这往往需要学生具备较为完善的知识结构以及对数学逻辑与数学意义的深刻理解。亦即，问题结构化能力是造成熟手与新手解题差异的主要原因之一。较高水平的学生在解决数学问题时通常能够将问题背后的知识点有机地联系在一起，整合成熟悉的问题模式，从而能把握问题的实质。

（3）解题方案制订能力是促使中学生数学问题解决能力从中水平发展至高水平的关键

在中学生数学问题解决能力的发展过程中，高水平学生的解题方案制订能力值远大于中水平学生，且从中水平发展到高水平的过程中，中学生解题方案制订能力的提升幅度最大。这表明，解题方案制订能力是促使中学生数学问题解决能力从中水平发展至高水平的关键。这是因为，学生的解题方案制订能力主要表现为学生从长时记忆中寻找与该问题相关的解决方法，并监测自己的解题思路，从而产生对问题的理解与应对策略。而在制订解题方案时，完备的基础知识是学生选择恰当的解决方案的前提1； 准确把握问题的实质有利于学生找到合适的解决方法。那么，在培养解题方案制订能力之前，学生不仅需要具备基本的问题转化能力，还要具备一定的问题结构化能力。

（4）中学生数学问题解决能力各维度协同发展

研究发现，中学生数学问题解决能力各维度不是孤立产生、发展的，而是协同提升、共同强化的。具体来看，当学生问题转化能力与解题方案执行能力发展到学生能够基本理解的程度时，问题结构化能力逐渐产生了，进而学生的问题转化能力、解题方案执行能力、问题结构化能力开始共同发展，在达到简单应用的程度时，其逐渐产生解题方案制订能力，最终学生各维度能力协同发展。这是因为，在低水平阶段，中学生的知识储备量较少、知识结构较为松散，对数学符号语言意义的理解较浅、对基本数量关系的推理与运算的感性经验的积累也较少。2 因此，低水平学生的问题转化能力和解题方案的执行能力较弱，只能达到基本理解的程度。随着学习的深化和解题经验的积累，中学生问题转化能力和解题方案的执行能力会有所提升，与此同时，学生深度理解问题的实质，能够准确地将信息整合成熟悉的模式，其问题结构化能力也得到了发展，整体上可以达到基本应用的中水平阶段。最后随着学习的不断进步，学生具备更完善的知识基础和熟练的解题运算技巧，能够正确理解问题，这样便更易于找到解决方法，并监测自己的解题思路3，从而达到数学问题解决能力各维度能力近乎平衡的高水平阶段。

2.教学建议

中学生数学问题解决能力的发展具备一定的规律，教师可根据学生的发展规律设计相应的教学活动，以使对中学生数学问题解决能力的培养达到事半功倍的效果。

（1）起始阶段，培养其问题转化与方案执行能力

首先，帮助学生丰富其知识储备量，这将有利于进行问题转化。由于数学问题的表征形式也会影响学生的数学问题转化能力，教师在讲授数学问题时，有必要通过引导学生用自己的话将问题解释一遍，特别是对数学问题情景的理解，来锻炼学生的审题意识与表征能力，或帮助学生丰富“下游命题系统”，即引导学生根据命题A推出命题B、C、D等，从而为问题解决提供更多条件信息，特别是在学生需要将问题转化成方程式时。除此之外，教师还要注意强化学生的运算能力、使用数学符号执行推理过程的能力，即注意帮助学生理解数学符号语言的深层次意义，准确把握运算规则。

（2）中间阶段，着重培养其问题结构化能力

在中间阶段，教师不仅需要培养学生有效加工和提取数学问题中单一元素信息的能力，还要注重培养他们将其整合成具有数学意义的结构、相互联系着的复合体的能力。在整合数学问题中的信息时，教师可以引导学生采用问题模型的方式将数学问题结构化。这样可以帮助学生将所遇问题与已有的知识进行联结，建构情境，重新整合为自身熟悉的问题模型。这将有利于学生把握问题的实质，从而为找到合适的解决方法奠定基础。

（3）高阶阶段，着重培养其解题方案制订能力

高阶阶段，教师应帮助学生形成自己的知识结构——解题模块，引导学生把某类数学问题的知识结构用自己的方式理解、在自己的头脑中形成一个具有内部规律的整体结构，这些结构往往可以用一些图表等形式进行表示。这就可以为学生制订解题方案提供多条思路。由于解题模块的建立还需要考虑问题背后的本質与思想，这便需要数学教师具有较强的归纳类型和模块的意识，引导学生从杂乱无章的问题中概括一般原理，使学生能够迁移、应用已有的知识和经验。这在某种程度上也解决了“学生从教师那里学会例题之后，自己课下不会解题”的教学问题。此外，我们建议数学教师在引导时，还要给学生的反思和归纳总结留有足够的时间，让学生主动产生理解与应对策略。

六、结语

如何有效地提高学生的数学问题解决能力一直是数学教育研究的重要议题。本研究应用认知网络分析法，可视化表征了中学生数学问题解决能力的发展轨迹。这是从学生自身发展的角度来思考这一问题的，符合学生认知发展规律。由于本研究主要基于迈耶提出的学生解决数学问题的四阶段理论，从问题转换能力、问题结构化能力、解题方案制订能力及解题方案执行能力四个维度表征学生的数学问题解决能力，发展变量仅有四个，因而在发展轨迹的精细度上具有一定局限性。未来研究将进一步优化、细分学生数学问题解决能力的维度表征，更精准地刻画学生数学问题解决能力的发展轨迹，为数学课程、数学教学与评价提供更精细的研究基础和参考依据。

The Developmental Trajectory of Middle School Students Mathematical

Problem Solving Ability：A Study Based on Epistemic Network Analysis

ZHANG Siyu，HAN Jiwei，ZHAO Qian

（School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun，Jilin，130024）

Abstract： Cultivating studentsmathematical problem solving ability is one of the important goals of mathematics curriculum and teaching in middle schools. This study adopts epistemic network analysis to explore the development trajectory of middle school students mathematical problem solving ability，which include the followings： firstly，students should acquire the competencies of problem transformation and problem solving scheme execution；then they will acquire the competency of problem structuring in addition to the first two competencies；and finally they will acquire the competency of mathematical problem solving ability in all dimensions，including the competendcy of problem solving scheme formulation. Among them， the competency of problem structuring is the key to promoting the development of students mathematical problem solving ability from low level to medium level，and the competency of problem solving scheme formulation is the key to promoting the development of their mathematical problem solving ability from medium level to high level.

Key words： mathematical problem solving ability，development trajectory，epistemic network analysis