制导武器命中精度估计方法与检验方法一致性研究

刘文超，李大伟，郑小兵，李 曦

（解放军91550 部队，辽宁 大连 116084）

0 引言

命中精度直接决定了制导武器的精确打击能力，是武器试验鉴定中重点考核的技术指标之一。命中精度技术指标通常采用圆概率误差Cep（circle error probable）来表示，命中精度评定就是考核制导武器实际CEP 值是否满足技术指标要求［1］。但是受政治、经济、试验条件等因素的影响，制导武器试验样本有限，一般为小子样［2］。在小子样条件下对命中精度指标进行评定，通常有两种方法：一是命中精度估计方法，即在试验结束后，对试验样本进行统计分析，采用参数估计方法计算出CEP 值，常用的参数估计方法有点估计［3］、区间估计［4］等；二是命中精度检验方法，即在试验开始前，依据指标要求，利用假设检验方法预先确定合格判据，比如常见的“n 发m 中”方案［5］。两种评定方法在较多文献中均有应用，针对不同的考核对象，基于估计或检验方法，提出了与之适应的精度评定方法。文献［6］采用命中精度估计方法，设计了命中精度评估系统，解决了空地导弹命中精度评估问题；文献［7］采用命中检验方法，提出了一种概率圆检验方案，解决了制导武器命中精度的试验鉴定问题。命中精度估计方法和检验方法在工程中有着不同程度的应用，均能较好地解决命中精度评定问题。从工程应用来看，两种方法之间必然会存在一定的关联性，而从理论基础来看，两种方法也存在固有的差异。目前，两种评定方法往往独立开展用于命中精度评定工作，很少对两种评定方法之间的联系和区别开展比对研究，一定程度上限制了命中精度评定方法的合理选择和优化设计。为此，本文在对小样本条件下命中精度估计方法和检验方法进行分析的基础上，从双方风险一致性层面对两种评定方法的一致性进行系统研究，以发现两种评定方法内在的联系与区别，为命中精度评定方案的合理选择和优化设计提供理论依据。

1 命中精度指标评定分析

1.1 命中精度CEP 指标

命中精度的指标通常采用圆概率误差CEP 描述，具体定义：以目标点为圆心，落点分布概率为50%的圆域对应的半径。CEP 受系统误差和随机误差的综合影响，反映了落点相对目标点的的总体偏离程度［8］。

CEP 可以用概率密度函数来表示，即以目标点为原点建立二维平面直角坐标系，假设落点纵向偏差X 和横向偏差Z 服从二维正态分布，则CEP 满足如下圆概率误差一般方程。

式中，μX、μZ分别为纵、横向偏差的均值；σX、σZ分别为纵、横向偏差的标准差；ρ 为纵、横向偏差相关系数；RCEP为圆概率误差CEP 值。

式（1）为考虑纵、横向偏差相关情况下的圆概率误差一般方程。为简化计算，通常将其转换为纵、横向偏差独立情况下的圆概率误差方程［9］，具体变换方法如下。

经过上述变化，式（1）可变换为

1.2 CEP 指标评定方法

制导武器命中精度评定是指对各类试验的结果进行分析处理，以此来评价命中精度水平是否满足指标要求。由于试验子样通常为小子样，会影响评定结论的准确性，因此，给使用方和研制方均带来风险，即存在命中精度实际性能满足要求而评定结论不合格的研制方风险，和命中精度实际性能不满足要求而评定结论合格的使用方风险。目前，命中精度评定方法主要思路分为两类。

1）命中精度估计方法。试验结束后根据试验样本数据，按照命中精度CEP 的数学定义进行评估计算，得出制导武器的CEP 估计值，将估计值与指标要求进行比较，给出评定结论。该方法的优点是能够给出命中精度具体数值，缺点是对试验子样数有一定要求，且在试验过程中如果提前出现精度较差的情况，无法提前终止试验，造成试验资源浪费。

2）命中精度检验方法。试验开始前利用假设检验的思想确定“n 发m 中”方案设计，试验过程中当结果满足方案要求时，终止试验。该方法的优点是可节省试验样本数量，缺点是无法给出命中精度具体数值。

2 命中精度估计方法分析

命中精度估计方法依据的是数理统计参数估计理论，可分为点估计和区间估计方法。点估计通常采用代入型点估计方法，考虑到实际评定时更关注命中精度上界是否满足指标要求，区间估计可采用参数自助法进行区间上界估计。

2.1 估计方法

2.1.1 代入型点估计法

根据落点样本（X1，X1），（X2，X2），…，（Xn，Xn）经异常值检测、正态性检验后，可计算出样本的均值、标准差和相关系数的估计值为

将上述估计值代入式（2）和式（3）替换μX、μZ、σX、σZ和ρ，通过数值积分方法［10］可求得圆概率误差的点估计值。

2.1.2 区间上界估计参数自助法

参数自助法是利用已知小样本数据统计特性进行再抽样，利用生成的再生样本进行统计分析［11-12］。具体步骤如下：

2）对每一组样本分别采用代入型点估计方法进行估计，获得M 个圆概率误差估计值，并从小到大进行排列得到序列；

经点估计和区间上界估计，当估计值均满足精度指标要求时，评估结论为合格。

2.2 小子样条件对命中精度估计方法的影响分析

考虑到制导武器试验子样数量较小，受随机性的影响，采用命中精度估计方法会影响评定结论的可信度，对研制方和使用方均产生风险［13］。因此，基于命中精度估计方法研究样本数量对命中精度评定的影响，即通过蒙特卡洛仿真方法研究样本数量对研制方风险和使用方风险的影响情况。设置仿真条件如下：假设命中精度指标CEP 为10 m；横向、纵向落点偏差均值均为0，标准差相等；实际精度CEP 在8～12 m 之间变化；试验样本数量在7 到500之间变化；置信水平为0.80；每种情况仿真次数为10 000 次。估计方法的研制方风险α1和使用方风险β1可表示为

基于上述仿真条件分别采用点估计和区间上界估计法，可得研制方风险和使用方风险变化情况，如表1 和表2 所示。

表1 点估计方法双方风险随样本数量的变化Table 1 Variation of risk for point estimation with sample number

表2 区间上界估计方法双方风险随样本数量的变化Table 2 Variation of risk for upper confidence bound estimation with sample numbe

从表1 和表2 可以看出，在武器性能一定的条件下，随着样本数量的增加，研制方风险和使用方风险均会减小；在样本数量一定的条件下，武器命中精度满足指标要求且水平越高，研制方风险越小；相反，武器命中精度不满足指标要求且水平越低，使用方风险越小。通过增加样本数量和提高武器自身精度性能水平, 可有效提升命中精度评定的准确性，降低因样本随机性产生的双方风险。特别的，当命中精度水平与技术指标相等时，如果采用点估计方法，研制方风险和使用方风险基本相当，均为50%左右，双方共同承担试验风险。如果采用区间上界估计法，研制方风险为80%左右，使用方风险则为20%左右，满足仿真设计条件，区间上限估计法对使用方更有利。一般情况下，命中精度指标由使用方提出需求，在试验子样受限的情况下，为了更好地满足制导武器使用要求，通常采用区间上界估计方法进行命中精度评定。

3 命中精度检验方法分析

在小子样条件下，可以利用数理统计假设检验理论，进行“n 发m 中”命中精度检验方案设计，实际试验时满足检验方案即可停止试验。

3.1 检验方法

检验方法采用如下的统计假设［14］：

式中，H0为原假设，H1为备择假设，λ 为检出比（一般取1.2～2），需要根据制导武器的成熟水平由研制方和使用方共同确定。

设n 为总子样数，m 为落入以R 为半径的圆域内的落点个数，则有

式中，P0为满足原假设落入半径为R 的圆中的概率；P1为满足备择假设的落入半径为R 的圆中的概率。

假设落点个数检验门限m*，则研制方和使用方风险分别为

在明确总子样数n 和命中子样数检验门限m*基础上，通过调整检出比λ 和圆域半径R 进行检验方案设计，使得使用方和研制方风险相当，生成命中精度检验方案［15-17］：当m≥m*时，接受原假设，命中精度满足指标要求；否则命中精度不满足指标要求。

3.2 假设检验与命中精度指标关系的讨论

由于命中精度指标通常以具体数值的形式给出，并未明确对应于式（6）假设检验中的原假设还是备择假设，因此，命中精度指标值是CEP0还是CEP1需要予以明确。

针对上述问题开展具体分析：假设试验样本数为7，命中精度指标CEP 为10 m，检出比λ 为1.5，分命中精度指标为原假设和备择假设两种情况进行检验方案设计。按照双方风险相等的原则，得到两种情况下命中精度检验方案，如表3 和表4 所示。

表3 精度指标为原假设的检验方案Table 3 Test scheme of accuracy index equal to original hypothesis

表4 精度指标为备择假设的检验方案Table 4 Test scheme of accuracy index equal to alternative hypothesis

从表3 和表4 可以看出，对比两种情况下的检验方案，在同一命中子样数条件下，虽然双方风险基本相同，但命中域半径差别很大，显然两种方案用于精度评定，必然会导致较大差别的评定结论。

对两种情况下评定方案的适应性进行研究。采用蒙特卡洛仿真进行精度评定模拟，分别采用两种检验方案以及点估计、区间上界两种估计方法进行精度评定。设置仿真条件：命中精度指标CEP 为10 m，实际精度CEP 分别取6 ～13 m，每次抽检样本数为7，仿真次数为10 000 次，检验方案采用“7 发5中”方案，区间上界估计置信水平为0.8，可得不同精度评定方法的评定结果如下页表5 所示。

表5 4 种命中精度评定方法模拟仿真结果Table 5 Simulation of four hit accuracy evaluation methods

从表5 可以看出，从研制方风险角度来看，精度指标为备择假设的检验方案和区间上界估计研制方风险大致相当且最大，点估计法次之，精度指标为原假设的检验方案研制方风险最小；从使用方角度来看，精度指标为原假设的检验方案使用方风险最大，点估计法次之，精度指标为备择假设的检验方案和区间上界估计使用方风险大致相当且最小。因此，考虑命中精度估计方法通常采用区间上界估计方法，从双方风险的一致性层面分析，检验方法应当选择精度指标为备择假设的检验方案。

4 估计方法和检验方法的一致性分析

经研究，命中精度估计方法采用区间上界估计方法，与精度指标为备择假设的检验方案在精度合格概率上具有较强的一致性，体现了两种方法在双方风险上的一致性。在制导武器性能一定和试验总样本数量确定的基础上，影响双方风险大小的因素为：

1）区间上界估计方法中使用方和研制方风险主要受置信水平设置的影响。而置信水平受制导武器研制成熟水平的影响，由使用方和研制方共同确认。在命中精度CEP 指标为10 m、试验子样为7、实际精度CEP 在6 ～13 m 之间变化条件下，不同置信水平（0.70～0.95）的双方风险如表6 所示。

表6 不同置信水平下区间上界估计方法风险Table 6 Risk of upper confidence bound estimation under different confidence levels

2）精度指标为备择假设的检验方法中使用方和研制方风险主要受检出比λ 设置的影响。同样，检出比受制导武器研制成熟水平的影响，由使用方和研制方共同确认。在命中精度CEP 指标为10 m、试验子样为7 条件下，不同检出比（1.3～1.8）的“7 发5 中”方案如表7 所示。基于设计方案，可得不同检出比、实际精度CEP 在8～13 m 之间变化条件下的双方风险如表8 所示。

表7 不同检出比“7 发5 中”检验方案Table 7 Five out of seven schemes under different detection ratios

表8 不同检出比下检验方法风险Table 8 Risk of test scheme under different detection ratios

从表6 可以看出，在各实际精度CEP 情况下，区间上界估计方法的双方风险均随置信水平1-α的变化而变化。从表7 和表8 可以看出，在各实际精度CEP 情况下，检验方法的双方风险均随检出比λ 的变化而变化。因此，在制导武器性能一定和试验总样本数量确定的前提下，两种方法双方风险的控制体现在反映研制水平的参数设置上，可通过调整置信水平1-α 和检出比λ，使得两种评定方法达到控制双方风险上的一致性。

下面结合数学仿真通过调整参数验证两种方法的一致性。在命中精度CEP 指标为10 m、试验子样为7、实际精度CEP 在8 ～13 m 之间变化条件下，固定置信水平为0.8，通过调整检出比使得估计方法和检验方法双方风险一致，结果如表9 所示。

表9 满足评定方法一致性下置信水平和检出比参数Table 9 Confidence level and detection ratio under conformity of assessment methods

从表9 可以看出，当制导武器实际性能一定时，可以通过调整置信水平和检出比，使得两种评定方法双方风险一致；当固定置信水平时，随着制导武器实际精度变化时，需要调整检出比才能实现两种方法双方风险一致；同样也可得出，当固定检出比时，随着制导武器实际精度变化时，需要调整置信水平才能实现两种方法双方风险的一致。因此，置信水平和检出比参数的对应关系可为命中精度评定方法的设计提供依据。

在两种评定方法满足双方风险一致性条件下采用蒙特卡洛仿真进行精度评定模拟仿真。在命中精度CEP 指标为10 m、试验子样为7、实际精度CEP 在6 ～13 m 之间变化条件下，置信水平和检出比满足一致性设置条件，仿真次数为10 000 次，可得精度评定结果如表10 所示。

表10 满足评定方法一致性下精度评定模拟仿真Table 10 Simulation of hit accuracy evaluation under conformity of assessment methods

从表10 可以看出，在置信水平和检出比满足一致性设置条件基础上，两种评定方法命中精度合格次数基本相当，反映了两种方法在双方风险层面上的一致性。因此，进行命中精度评定时，在研制方和使用方依据风险共同确定某一参数的基础上，根据武器性能先验信息或者命中精度指标，通过上述仿真分析方法，可以得出另一个参数的合理设置值或范围。特别的，对已经过精度评估的制导武器进行批次检验时，可以根据之前的评估结果，通过上述仿真分析方法得出合理检出比，用于制导武器的批次检验结果评定。

由于两种评定方法分别基于参数估计和假设检验的不同理论基础，对于相同试验结果进行精度评定会存在评定结论不一致的现象，不一致的概率与制导武器实际研制水平有关。因此，两种评定方法不能同时使用于命中精度评定，以避免出现结论不一致的问题，进行试验之前需结合两种评定方法的优缺点和试验设计需求选择确定评定方法。

5 结论

以制导武器命中精度估计方法和检验方法为研究对象，在详细分析小子样条件对估计方法影响，以及命中精度指标与检验方法关系基础上，明确了区间上界估计方法和精度指标为备择假设的检验方法两种典型应用方法，通过合理调整置信水平和检出比参数，可以实现两种方法双方风险的一致性，同时由于两种方法理论基础不同，进行精度评定会存在一定概率结论不一致的现象。该研究可为命中精度评定方法的合理选择和优化设计提供依据。