运用“几何画板”辅助数学核心素养的教学

文/山东省东营市胜利第三中学 马 勇

一、问题提出

几何画板被誉为“21 世纪的动态几何”，它能够动态展示几何图形的变化过程，在数学教学中有非常广泛的用途。但如今大部分的年轻数学教师忽略甚至不知道该软件的存在，在教授几何图形或者函数图像时，难以保证作图的准确性，与其说根据老师所绘的图像或者教材上的图像去推测、总结性质，不如说是让学生直接记忆，这样一来，学生不能对图像有一个整体严谨的把握，也使得课堂难免偏向于照本宣科，填鸭灌输。利用几何画板，可以360°全方位动态展示图像的变化，让学生有清晰的理解。在《普通高中数学课程标准（2017 年版）》中提出六大核心素养，在核心素养培育目标的指导下，高中数学教学应把握数学本质，重视学生的主动探究思考，充分发挥教育信息技术手段，有效落实学生数学学科核心素养的形成。下面，我以人教B 版（2019）必修三第七章《正弦型函数的性质与图像》教学片段为例进行说明。

二、教学片段

1.情境导入，提出问题

师：同学们，我们在生活中肯定有这样的体验，如果把小球安在弹簧的一端，拉动弹簧，小球会来回跳跃，但是越跳越短，最后就静止不动了，这说明什么？如果给出小球运动的时间和位移两个量，这两个量之间有关系吗？想一想必修一讲的内容。

生：有函数关系，因为给定一个时间量，又会有唯一一个位移值与其对应。

师：非常棒，如果记t s 后小球的位移是x cm，等我们继续学习物理就会认识的，它们之间的关系可以写为x=Asin（ωt+φ），其中A，ω，φ都是常数。除此之外，我们都知道日常生活中一般的家用电器使用的电流都是交流电，我们可以了解一下交流电流i 和时间t 的关系是i=Imsin（ωt+φ），其中Im，ω，φ 都是常数。

我们观察一下，这两个式子和我们上一节讲的正弦函数很像，多了三个“配件”，如此一来会对我们熟悉的正弦函数性质和图像产生什么影响呢？我们来一起探究一下。

2.互动探究，理解新知

在物理、工程等学科会经常接触类似的式子，为了方便研究，在数学上一般把形如y=Asin（ωx+φ）的函数称为正弦型函数，其中A，ω，φ 都是常数，且A≠0，ω≠0。接下来我们探究一下正弦型函数的性质和图像。

师：同学们，作图之前我们先猜想一下，这两个常数会对谁产生影响，又会怎样影响呢？

生：按照以前学习的内容，应该是对图像位置产生影响，例如sin应该是y=sinx 的每一个x值都向左平移个单位。

老师利用几何画板给同学们动态展示一下整个函数图像的变化过程，通过实现对曲线的追踪功能，可以清晰地看出y=sinx 到y=sin（x+）的变化过程，y=sinx 图像在移动的过程中扫过的阴影便是移动路径，函数图像较原来相比，确实是向左移动的个单位，同理可得y=的移动规律。不仅仅是，在几何画板中不断地改变φ值，可以更清晰地总结函数图像的变化，不再局限于手绘的繁琐和课堂时间的控制。

师：通过对函数图像整体动态的演示，同学们能否总结结论：φ 对正弦函数的图像有什么影响？

生：通过多次改变φ 值，观察图像，发现当φ＞0 时，y=sinx 的函数图像向左平移φ 个单位，当φ＜0时，y=sinx 的函数图像向右平移│φ│个单位。

设计意图：多次改变φ 值，让学生观察图像，鼓励学生发现问题并提出问题，进行归纳总结，体会从特殊到一般的推理过程，在此过程中建构起知识的框架，形成条理，有逻辑的思维过程，提高数学表达能力，以提升学生的逻辑推理的核心素养。

师：同学们，例1 中已经探讨了x±φ 对正弦函数的图像的影响，现在x 变成2x，猜想一下，会对y=sin图像有什么影响？在这里，仍是采用“整体换元”的数学方法，例如函数，令t=2x+，对函数y=sint 列熟悉的五点，求出x 的值，描出（x，y）的坐标，但是这里要求作出一个周期内的函数图像，请同学们观察的图像，周期是否有变化？

用几何画板给同学们动态展示一下整个函数图像的变化过程：

由x 逐渐扩大到2x 的过程中，纵坐标没有变化，而横坐标左右两端的图像都向中间“靠拢”，通过比较两个函数图像会发现，对函数y=来讲，自变量x 每增加2π，的值就会重复出现，而对函数来讲，自变量x 只需增加π，的值就会重复出现，按照周期函数的定义，y=sin的周期变成了π。

师：通过对函数图像整体动态的演示，同学们能否总结结论：ω 对正弦函数的图像有什么影响？

生：通过多次改变ω 值，观察图像，发现当ω＞1 时，y=sinx 的函数图像纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，当0＜ω＜1 时，y=sinx 的函数图像纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍。

设计意图：通过几何画板曲线移动过程中的追踪功能，动态展示图像的移动轨迹，多次操作，不断改变A，ω，φ 的值，观察图像的变化，借助几何直观感知函数图像的形态变化和运动规律，从而建立起数与形的联系，构建数学函数的直观模型，以提升学生的直观想象核心素养。

在数学教学中，运用几何画板可以让图形的变化过程更直观更简洁，建构起学生的空间想象，不再是单纯的记忆性质，而是把图像与性质二者融合贯通，有助于学习的通话和顺应。