差比复合型数列的六种解法及其应用

张 宇

(桂平市第一中学,广西 桂平 537200)

差比复合型数列的求和在高考中频繁出现,如2020年全国Ⅰ卷、Ⅲ卷等.教师课堂上给的方法一般都是“错位相减”,这种方法比较直观,学生也好理解,但我们会发现学生经常算错,很难得到正确答案.那怎样解决这一问题呢?除了多训练运算能力外,笔者认为以下两点也很重要:(1)找出“错位相减”法的易错环节,并进行优化;(2)尝试从其他运算量较小或处理方式更简洁或更容易理解的角度来解决.

1 差比复合型数列的定义

定义:设数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,cn=anbn,则称{cn}为差比复合型数列.

2 差比复合型数列的解法

引例已知an=(2n-1)×3n,n∈N*,求数列{an}的前n项和Sn.

分析1根据Sn的结构,将Sn乘以3,以获得更多的“同类项”,然后错开一位,两式相减.“错位”的目的是方便同类项合并.

解法1(错位相减法)

Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n.

①

3Sn=1×32+3×33+…+(2n-3)·3n+(2n-1)·3n+1.

②

①-②,得

-2Sn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)·3n+1

=2(3+32+33+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1

=3n+1-6-(2n-1)·3n+1.

所以2Sn=(2n-2)·3n+1+6.

所以Sn=(n-1)·3n+1+3.

解法2(裂项相消法)把an裂项为an=bn+1-bn,可设bn=(pn+q)×3n(因常数c抵消了),则

[p(n+1)+q]×3n+1-(pn+q)×3n=(2n-1)×3n.

即(2pn+3p+2q)×3n=(2n-1)×3n.

所以bn=(n-2)·3n,

an=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

分析3因为an=Sn-Sn-1(n≥2),设an=bn+1-bn(bn的求法同分析2),则Sn-Sn-1=bn+1-bn.即Sn-bn+1=Sn-1-bn(n≥2).故{Sn-bn+1}是常数列.所以Sn-bn+1=S1-b2.即Sn=bn+1+a1-b2.此处起到调节作用的是bn,而因为bn和Sn的结构相似,故可设bn=(pn+q)×3n[2].

解法3(构造常数列)设an=bn+1-bn,bn=(pn+q)×3n,同解法2,可得bn=(n-2)·3n.

所以an=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

又an=Sn-Sn-1,

故Sn-Sn-1=(n-1)×3n+1-(n-2)×3n.

即Sn-(n-1)×3n+1=Sn-1-(n-2)×3n.

所以{Sn-(n-1)×3n+1}是常数列.

故Sn-(n-1)×3n+1=S1-(1-1)×32=3.

所以Sn=(n-1)×3n+1+3.

分析4阿贝尔公式为

解法4(利用阿贝尔公式)

分析5不妨设an=(pn+q)xn,p,q,x为常数,x≠0,1.根据an的结构,将Sn分拆为两组,得

Sn=(p+q)x+(2p+q)x2+(3p+q)x3+…+(np+q)xn=(px+2px2+3px3+…+npxn)+q(x+x2+x3+…+xn)=px(1+2x+3x2+…+nxn-1)+q(x+x2+x3+…+xn).

解法5 (微分法)将数列的和分拆为两部分:

Sn=(2-1)×3+(4-1)×32+(6-1)×33+…+(2n-1)×3n=(2×3+4×32+6×33+…+2n×3n)-(3+32+33+…+3n)=2×3(1+2×3+3×32+…+n×3n-1)-(3+32+33+…+3n),

引入变量x(x≠0,1),则

两边对x求导得

令x=3代入Sn,得

=(n-1)×3n+1+3.

分析6设an=(an+b)qn,则其前n项和Sn=(Bn-A)qn+A.证明过程留给读者完成.

解法6(公式法)设Sn=(Bn-A)qn+A,由题意,S1=3,S2=3+33=30.

解得A=3,B=3.

所以Sn=(n-1)·3n+1+3.

3 在高考中的应用

例1(2020年全国Ⅲ卷) 设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)猜想{an}的通项公式并加以证明;

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.

解析(1)an=2n+1.

(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n.

Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n,

③

2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)×2n+(2n+1)×2n+1,

④

由③-④,得

-Sn=6+2×(22+23+…+2n)-(2n+1)×2n+1

=(1-2n)×2n+1-2.

即Sn=(2n-1)×2n+1+2.

例2(2020年全国Ⅰ卷)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.

(1)求{an}的公比;

(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.

解析(1)公比q=-2.

(2)设{nan}的前n项和为Sn,a1=1,an=(-2)n-1,

Sn=1×1+2×(-2)+…+n(-2)n-1,

⑤

-2Sn=1×(-2)+2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n-1)(-2)n-1+n(-2)n.

⑥

⑤-⑥,得

3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n(-2)n

4 结束语

给一线教师和高中生一点建议:对于差比型复合数列的求和问题,平时要多练习,做到熟能生巧.考场上,时间紧,任务重,最好的方法往往就是最常规的方法,也是你平时熟悉的解法.做完以后,记得把数列的第一项和第二项代入所得到的前n项和公式检验一下,只要正确,说明你的答案应该是正确的.