一类超临界Sobolev不等式的最佳常数与极值函数

陈 媛，柳彦军

（重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331）

0 引言

众所周知，Sobolev空间理论是数学家Sobolev在20世纪30年代初发展起来的，这些空间是由弱可微函数所组成的 Banach 空间，并建立一系列新的概念，例如广义解、广义导数、嵌入定理等.在Sobolev 空间理论不断发展中，人们对Sobolev 空间中的不等式也作了大量推广，Sobolev 不等式最初是由Sobolev 给出，但不包括p=1 的情形.不等式的证明依赖于Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式.1958 年，Gagliardo 与Nirenberg 对此进行了完善，得到了一般Sobolev 不等式.Sobolev 空间的核心内容是Sobolev 嵌入定理，其基本内容包含在Sobolev 的工作中，后来，Morrey及Aubin等对其进行了完善.与此同时，随着非线性弹性力学等学科的迅速发展，非标准增长条件的椭圆形偏微分方程以及相关的变分问题引起了人们的广泛兴趣，因此，大量理论和应用上的问题被提出.变指数的非线性椭圆问题是一个全新的研究课题，它反映了“逐点异性”的物理现象，其包含有p-Laplacian问题，主要介绍非线性弹性力学、电子流变流体模型和图像恢复模型，并有着十分重要的应用背景，许多重要的物理现象和几何问题都可以用椭圆方程来表示其数学模型.例如Laplace 问题、非线性扩散理论、热力学中的气体燃烧理论、量子场论和统计力学以及星体的引力平衡理论等都与此有着极大的联系.此外，p-Laplacian问题描述了物理和化学中一类稳态的反应扩散现象，并在弹性力学和电流体力学等问题中有重要的应用背景，利用广泛的物理背景来研究椭圆问题的解（或弱解）及其相关性质，具有重要的现实意义.

1 主要研究结果

变分法中对于一些非标准增长条件的方程，有时候无法对偏微分方程直接求解.因此，一些最佳先验估计显得十分重要.同时，最佳的几何不等式也一直是许多分析学家关注的主要问题，除了其内在价值外，几何不等式最佳常数的确定与底层空间几何结构密切相关，变分法中有很多经典的理论，如山路引理、环绕定理及指标理论等.20 世纪60 年代，Palais 和Smale 对泛函引入了著名的Palais-Smale（简称PS）序列，得到PS 序列后，往往希望该PS 序列有强收敛的子列（即PS 序列有紧性），为此，第一步就需要保证PS 序列的有界性，如著名的 Ambrosetti-Rabinowitz（简称A-R）条件.Ambrosetti 和Rabinowitz 建立了著名的山路引理，并且应用于半线性微分方程的多解存在性的研究，这是现在极大极小方法的开端，完全改变了研究具有变分结构的非线性问题的方法.

一些嵌入不等式的最佳常数往往是极值函数存在的关键，如等周不等式、特征值比较定理、预定曲率方程、解的存在性等，极值函数的研究可以更加丰富流形上Sobolev 空间理论，从而解决一些预定曲率问题.

当N≥3和1

其中B是RN中的单位球.Lions 等［1］研究了边界部分消失函数的Sobolev 常数，对于一般有界域，ΣN，p不能达到.对于嵌入到变指数空间Lq(x)(B)范数有

为了讨论最佳性和极值问题，定义

然后可以得到以下结果：

定理1

下边的结果提供了最佳常数ΛN，p，α可达的判断准则.

定理2

假设N>2以及ΛN，p，α>ΣN，p，那么最佳常数ΛN，p，α是可达的.

2 定理1的证明

受文献［2］的启发，基于文献［5］中给出的Bliss型函数，可以定义

于是有以下结论：

引理1

令δ，分别由（6）和（7）给出，有

定理1的证明，对于任意的ε>0，且ε足够小，可证明存在一个常数C>0，有

事实上，可以有下面的相关表达

找到足够小的C>0和ε>0.再结合（14）和（15），可完成（10）的证明.

另结合（8）和（9），有

最后，利用（10）与（16），有

由此完成了定理1的证明.

3 定理2的证明

引理2

假设‖ ∇uj‖p=1和ΛN，p，α不能达到，那么ΛN，p，α的任何最大化序列都集中在原点.

证明

从而得出矛盾，因此，有u≡0，下面还需要证明(uj)满足

当区间[r0，1]代替(0，1 ]时，对于q≥p时，可以得到下面的紧嵌入

要证明（20），首先看算子H：Lp[r0，1]→Lq[r0，1]定义为

对于1 ≤p≤q，算子H是紧的当且仅当满足下面的三个条件

（参见［7］中定理7.4）.

计算表明(i)，(ii) 和 (iii)是满足的，说明H是紧的.在（20）中的嵌入可以看作T◦H，其中是由Tu=-u′给出.T是一个连续算子，因此紧的嵌入（20）就证毕.

当p*>p，在（20）和引理2的帮助下，可得到

利用Ekeland的原理（［8］中定理3.1），由于(uj)是一个最大化序列，对于一些乘数λj有

选择一个平滑的截断函数

并在（22）中令v=ξuj，利用（21），可得到

从而，证明了（19）.

引理3

如果N>p，对于任意的0

（23）证毕.

其次，通过引理3，可得到

对于任意的r∈(δ(ε)，1)，有

当存在某个C2=C2(N，p)使得

注意，当j→∞，ζj→0时，对于足够大的j，可以得到