巧设Δ用微元思想解决物理问题*

徐清洪 杨 冰

(重庆市第八中学校 重庆 401120)

1 引言

微元法指将研究过程划分成多个微小单元,微小单元依然遵循物理基本规律,当对时间、位移、转角等物理量取微小单元时,部分相关物理量在微小单元内不会发生明显变化,可以将其处理成定量[1].由于数学学习的阶段性,很多需要应用到高等数学中微积分知识求解的物理问题成为高中阶段的学生最大的“难题”.但是,如果通过“微元法”把研究对象划分为无穷多个小部分,化变力为恒力,化曲线为直线,再从局部到整体就可以很好地解决学生的困难.下面我们列举了高中阶段3种类型问题,共同特点是采用微元法巧妙设置Δl、ΔT、Δθ,轻松地避开了繁杂的运算过程.

2 问题1:连接体加速度问题

【例1】如图1所示,将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为 m 的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,光滑定滑轮与直杆的距离为 d.现将小环从与定滑轮等高的 O 处由静止释放,A 处在 O 处正下方距离为 d 处,则下列说法正确的是 ( )

图1 例1题图

A.小环刚释放时轻绳中的张力一定大于 2mg

C.小环下降速度最大时,轻绳中的张力一定等于 2mg

D.小环从O处开始能够下降的最大高度为 4d

解法1：定量计算

判断选项C正误方法如下.

本题的难点在选项C判断,部分学生会根据速度关联得出小环速度最大时重物速度也最大,重物加速度为零,张力与重物重力平衡,为解决该疑惑,可设细线与杆之间夹角为θ,由关联速度可知

v环cosθ=v物

上式两边对t求导

解法2：微元法

取环速度达到最大时附近一小段运动ABC,将其平均分为两段,每段长为Δl,由于时间非常短这一小段运动可以近似处理成匀速运动,如图2所示.AB段运动使定滑轮左侧细线长度改变量Δx1=Δlcosθ1,BC段运动细线长度改变量Δx2=Δlcosθ2,由于θ1>θ2,有Δx2>Δx1,在小环匀速从A到B到C过程中,细线长度改变越来越快,物件在加速上升.

图2 例1分析图

据以上分析判断结论为:小环速度最大时,小环加速度为零,而重物在加速上升,细线拉力大于2mg.

2 问题2:判断液柱移动方向

【例2】两个容器A、B用截面均匀的水平玻璃管相通,如图3所示,A、B中所装气体温度分别为10 ℃和20 ℃,水银柱在管中央平衡,如果两边温度都升高10 ℃,则水银柱将( )

图3 例2题图

A.向左移动B.向右移动

C.不动D.无法确定

解法1：定量计算

假设温度升高过程气体体积不变,为等容变化,压强与温度成正比,有

pA=kATApB=kBTB

分析初始状态有pA0=pB0,TA0kB,当两边气体同时升高10 ℃,压强变化Δp=kΔT,所以有ΔpA>ΔpB,经升温后,末状态A压强大于B压强,力学平衡被打破,液柱向B端移动.

解法2：微元法

初始状态,水银柱在管中平衡左右两边气态压强相同均为p0,控制气体体积不变,将气体处理成理想气体,p-T图为过原点直线,如图4所示.初始态左右气体压强一样大,A温度低于B温度,A斜率大.两边都升高相同温度,在图像上以初始温度值TA0、TB0为起点取相同温度增量ΔT,A、B压强增量关系为ΔpA>ΔpB,平衡打破,液柱向B侧移动.

图4 例2分析图

3 问题3：2022年山东高考理综卷第12题

图5 例3题图

判断选项C、D的方法如下.

解法1：定量计算

图6 例3分析图

其中

对ε随夹角变化函数式求导

其中θ=ωt.

解法2：微元法

从θ=0到θ=45°过程中,将线框旋入磁场过程均分成很多连续相等小段Δθ,由于线框匀速转动,Δθ对应时间均为Δt,如图7所示,取其中第n、n+1、n+2小段旋转运动为例.

图7 微元法分析图

4 结束语

连接体加速度关联问题、判断液柱移动方向、判断感应电动势变化率变化情况,是高中学生学习过程中不可避免的几个重点难题,本文在运动及变化过程中设置Δl、ΔT、Δθ,运用了微元法的思想,结合物理图例图像解决问题,巧妙、合理地避开了繁杂的运算过程,培养了学生物理科学思维的同时,提高学生分析问题、解决问题的能力.