三边固支一边自由矩形薄板挠度计算研究

郭翔咏

摘  要：为求解受均布荷载作用下三边固支一边自由矩形薄板的挠度函数，在弹性理论的基础上，建立薄板力学模型。结合三边固支一边自由的边界条件，并采用Rayleigh-Ritz法计算挠度函数中的未知系数k，从而推导挠度函数。最后，通过ANSYS对2个算例进行模拟，得到矩形薄板在z轴方向上的变形云图，并对比理论计算与模拟的结果。结果的一致性为计算三边固支一边自由等复杂边界条件的矩形薄板的挠度提供科学依据。

关键词：三边固支一边自由；矩形薄板；挠度；Rayleigh-Ritz法；ANSYS

中图分类号：TB122       文献标志码：A          文章编号：2095-2945（2024）10-0079-04

Abstract： In order to obtain the deflection function of the rectangular thin plate with three fixed sides and one free side under the uniformly distributed load， the mechanical model for the thin plate was established based on the theory of elasticity. By considering the boundary conditions of three fixed sides and one free side， and employing the Rayleigh-Ritz method， the unknown coefficient k in the deflection function was calculated， thus deriving the deflection function. Finally， two cases were simulated using ANSYS to obtain the deformation contour plot of the rectangular thin plate in the z-axis direction， and the comparison was made between the theoretical calculations and the simulation results. The consistency of the results provides a scientific basis for calculating the deflection of the rectangular thin plate under complex boundary conditions， such as three fixed sides and one free side.

Keywords： three fixed sides and one free side; rectangular thin plate; deflection; Rayleigh-Ritz method; ANSYS

弹性薄板在工程中有广泛的应用，例如实体板和板梁等，而矩形薄板是其中较为常见的一种应用形式[1-2]。边界条件对薄板的稳定性和整体行为起着关键作用。通过适当选择和施加边界条件，可以预防薄板在受载情况下出现不稳定、失稳或振动等问题。目前，对于边界条件相对简单的矩形薄板挠度函数已经有了有效的求解方法，例如四边固支和四边简支矩形薄板的挠度函数。马文强等[3]建立了综放采场顶煤与顶板在均布载荷作用下的薄板模型，并利用Matlab编译了薄板的挠曲面公式。马仁香[4]基于利维解和叠加法推导出了均布载荷作用下的四边固支矩形薄板的挠度表达式，并结合有限元模拟验证了该表达式的正确性。然而，对于求解具有复杂边界条件的矩形薄板挠度函数而言，由于求解的困难和复杂性，此类研究还较为有限。因此，根据已有的薄板复杂边界条件，假设薄板的挠度函数并选择有效的方法对其进行求解，是工程领域亟待解决的问题。

Rayleigh-Ritz法[5]用于求解薄板的挠度函数时，只需预先假设的挠度函数满足薄板的位移边界条件，无须满足内力边界条件，这极大地简化了求解复杂边界条件下薄板挠度函数的过程。基于此，本文建立了薄板力学模型，使用Rayleigh-Ritz法求解三边固支一边自由矩形薄板的挠度函数，并利用ANSYS有限元軟件验证了理论计算结果的正确性。

1  三边固支一边自由矩形薄板挠度函数求解

1.1  薄板力学模型建立

一般说来，当矩形板的厚度与板中面最小尺寸比值在1/80和1/5之间时，称为薄板[6]。以o为中心建立三维直角坐标系，薄板长度为a，宽度为b，厚度为h，作用在其上表面的均布荷载为q，薄板力学模型如图1（a）所示。三边固支一边自由边界条件如图1（b）所示。

（b）  三边固支一边自由边界条件

图1  薄板力学模型建立

1.2  薄板挠度函数求解

薄板的弹性曲面微分方程为[7]

D？荦4w=q， （1）

式中：w为薄板的挠度函数；？荦4为双调和算子，？荦4=■+2■+■；D为薄板的弯曲刚度，D=■，其中，E为薄板的弹性模量，v为薄板的泊松比。

三边固支一边自由薄板的边界条件为

。（2）

取满足位移边界条件的挠度函数

式中：k为挠度函数的未知系数。

等厚度薄板的应变能V？着为

依据Rayleigh-Ritz法，有

由式（5）可求得薄板挠度函数的未知系数k

将式（6）代入式（3）中可得薄板挠度函数w为

2  模拟验证

2.1  算例1

取三边固支一边自由矩形薄板的长度a为60 m，宽度b为10 m，厚度h为1 m，作用在其上表面的均布荷载q为2 MPa，弹性模量E为20 GPa，泊松比v为0.3。由式（7）可得薄板的挠度函数图，如图2所示。

挠度的正负号代表方向。从图2中可以看出，受均布荷载作用的三边固支一边自由矩形薄板的最大挠度出现在薄板自由边的中点处，其值为37.194 19 mm。利用ANSYS有限元软件建立矩形薄板弹性模型，薄板的弹性模量E为20 GPa，泊松比v为0.3。模拟计算的z轴定向变形云图如图3所示。

从图3中可以看出，受均布荷载作用的三边固支一边自由矩形薄板的最大挠度同样出现在薄板自由边的中点处，与理论分析一致，其值为36.349 08 mm。本文的理论计算结果与模拟结果的相对误差仅为2.324 9%。通常情况下，理论计算结果与模拟结果的相对误差可以允许在5%以内[8]，因此在算例1中，理论计算得到的矩形薄板挠度函数与ANSYS的模拟结果是相符的。

2.2  算例2

取三边固支一边自由矩形薄板的长度a为50 m，宽度b为20 m，厚度h为2 m，作用在其上表面的均布荷载q为3 MPa，弹性模量E为20 GPa，泊松比v为0.3。由式（7）可得薄板的挠度函数图，如图4所示。

从图4中可以看出，受均布荷载作用的三边固支一边自由矩形薄板的最大挠度出现在薄板自由边的中点处，其值为109.022 8 mm。利用ANSYS有限元软件建立矩形薄板弹性模型，薄板的弹性模量E为20 GPa，泊松比v为0.3。模拟计算的z轴定向变形云图如图5所示。

从图5中可以看出，受均布荷载作用的三边固支一边自由矩形薄板的最大挠度值为109.039 2 mm。本文的理论计算结果与模拟结果的相对误差仅为0.015 0%。对于算例2，理论计算得到的矩形薄板挠度函数同样与ANSYS的模拟结果相吻合。这两个算例的计算结果与模拟结果的相对误差均在5%以内，满足工程需求。

3  结论

本文通过建立薄板力学模型，利用Rayleigh-Ritz法求解了三边固支一边自由矩形薄板的挠度函数。同时，利用ANSYS有限元软件建立了矩形薄板的弹性模型。算例1和算例2的理论计算结果与模拟结果的相对误差分别为2.324 9%和0.015 0%，均在5%以内，满足工程实际要求，验证了理论公式的正确性。Rayleigh-Ritz法在求解具有复杂边界条件的矩形薄板挠度函数方面具有良好的适用性。此外，该方法具有公式简单、便于工程实践的特点，对工程实际具有借鉴和指导意义。

参考文献：

[1] 孙建，胡洋.均布和静水压力作用下固支矩形薄板力学特性[J].应用力学报，2015，32（6）：908-914，1096-1097.

[2] 王霂，王洪波.矩形薄板受横向均布载荷作用弹性小挠度解[J].科技创新与应用，2021（3）：82-84.

[3] 马文强，王同旭，曲孔典.基于薄板模型的高韧性煤层难冒放机理分析[J].采矿与安全工程学报，2017，34（4）：644-649.

[4] 马仁香.均布载荷下四边固支矩形薄板的挠度[J].计算机辅助工程，2021，30（4）：22-25，31.

[5] 徐芝纶.弹性力学（上册）[M].5版.北京：高等教育出版社，2016.

[6] 李锐.矩形板问题的Hamilton求解方法[D].大连：大连理工大学，2012.

[7] 徐芝纶.弹性力学（下册）[M].5版.北京：高等教育出版社，2016.

[8] 谢中敏，胡超，沈朝萍，等.基于ANSYS软件均布载荷作用下方板挠度分析[J].數字技术与应用，2018，36（9）：40-41.