蛋糕中的玄机

华芸嘉

竖着切蛋糕时，我们都有这样的经历，切1刀可以把蛋糕分成2块，切2刀最多可以分成4块，切3刀最多可以分成7块……

我继续研究，发现切4刀最多可以分成11块，切5刀最多可以分成16块，不切的时候是一整块，我观察数1、2、4、7、11、16，发现它们之间的差依次为1、2、3、4、5，猜想规律：切n（n≥1）刀最多分成［（1+2+3+4+…+n）+1］块。

带着这个猜想，我又研究起来：如果一个圆上有n（n≥1）个点，每两个点相连，这n个点之间的所有连线最多可以将圆分成多少部分呢？

通过动手画图（图1—图5），我发现：

如果圆上有1个点，最多把圓分成1份；如果圆上有2个点，最多把圆分成2份；如果圆上有3个点，最多把圆分成4份；如果圆上有4个点，最多把圆分成8份；如果圆上有5个点，最多把圆分成16份。

按照我猜想的规律，若圆上有6个点，最多可以把圆分成32份。但是，我画图一数，怎么只有31份？若圆上有7个点，我数了数，居然是57份？我数错了？还是规律不对？真正的规律是什么？

我又思考了起来。从数的角度看，我仔细观察了这些数据1、2、4、8、16、31、57。首先，我观察这些数的基本特征，1、2、4、8、16有很明显的倍数关系，但是之后的31、57没有这样的关系，因此，排除了这些数是倍数关系。再看这些数的递增趋势，变化得较为明显，但是也不算增长太多。因此，我又观察它们之间的差。

第一次作差时，我得到一串数据1、2、4、8、15、26，初看没有明显的规律。因此，我对这些新数据进行第二次作差，得到1、2、4、7、11，依然没有规律。当第三次作差后，我得到1、2、3、4，如图6。这次终于有了重大发现，它暗藏的规律浮出水面了。

然后，我再从最后一行逐行倒推：5，5+11=16，16+26=42，42+57=99，如图7。

通过画图，我发现圆上有8个点时，确实最多能把圆分成99份。

从形的角度来看，圆被分割成几份的问题，可以转化成圆上的点数、点连成的线段数量和份数之间的关系。那我为何不从线段的条数入手呢？

如果一个圆中没有线段，就是1份。如果有1条线段的话，就会被分成2份。如果有2条线段：这2条线不相交，就分成3份；相交，就分成4份。圆内交点的数量怎么确定呢？众所周知，两点确定一条直线，一个交点需要两条线，所以圆边上任意4个点之间的连线会出现一个交点。以此类推，我总结出如下规律，如表1，并猜想：份数=1+线段的数量+圆内交点数量。

那么，当圆上有n个点时，每个点连接（n-1）条线，所以线段的数量为n（n-1）。因为一条线段的两个端点都算了一遍，所以还要除以2，也就是说线段的数量为[n（n-1）2]；4个点确定1个圆内交点，在n个点中选4个点，第一个点有n个可能，第二个点有（n-1）个可能，第三个点有（n-2）个可能，第四个点有（n-3）个可能，所以总共有n（n-1）（n-2）（n-3）个圆内交点。但是这里面会有重复的情况。比如用1、2、3、4这4个数字任意组合，可以组合成24个四位数，在n个点中任选4个点，在产生交点的过程中，重复数了24次，所以要再除以24。故圆内交点的数量就为[n（n-1）（n-2）（n-3）24]。所以，在圆上取n个点时，所有点之间的连线最多可以把圆分成1+[n（n-1）2]+[n（n-1）（n-2）（n-3）24]份，我的猜想得到了验证。

小伙伴们，我们都切过蛋糕，在这个看似很平常的操作背后，你有没有发现蕴含在里面的玄机？我想，只要我们平时留心观察，深入思考，就一定能感受到数学的无穷魅力。

教师点评

都说数学来源于生活，又服务于生活。生活中的切蛋糕现象引发了小作者的思考，从而把生活问题转化成数学问题，从“数”与“形”两个维度对这个数学问题进行了深度探究与思考。其思考的深度远远超过了一个七年级学生该有的水平。是什么让他如此执着地思考呢？相信这源于数学无穷的魅力，也源于他对数学的兴趣与热爱，更源于他善于用数学的眼光来观察世界。罗丹说：“生活中从不缺少美，只是缺少发现美的眼睛。” 希望同学们都能拥有一双发现数学之美的眼睛，去探索更多的数学奥妙。

（指导教师：章薇薇）