基于混沌系统和动态DNA编码的彩色图像加密算法

赵 桥，李 博，项融融

(中北大学 仪器与动态测试教育部重点实验室，太原 030051)

0 引言

信息技术的飞速发展推动了社会各个领域的发展，改变了人们的工作和学习方式，社会生产力也得到极大的提升。在享受这个时代带来种种便利的同时，人们自身的信息安全也会受到威胁[1]。

在这种背景下，图像加密技术开始出现。图像加密是一门融合了图像处理和密码学等领域的新型交叉学科，它可以保护图像中的敏感数据，避免非授权访问或窃取、篡改图像。通过加密，只有授权的用户才能访问受保护的图像。此外，随着信息技术的不断发展，不法分子破译的手段也在不断提升。在此背景下，研究新的图像加密技术刻不容缓[2]。

混沌系统因为其初值敏感性、有界性、不可预测性等优点，刚好被运用在图像加密领域。近几年基因工程也在飞速发展，使人们的目光同样聚焦到生物学上。科学家们将DNA数据链可以携带大量信息的特征与二进制数据链的特点相比较[3]，将生物学和计算机科学进行了特殊的结合，凭借DNA序列的一些优点，如具有很高的并行性和存储空间大等优点，研究出了基于DNA序列的图像加密方法。同时，研究者们将目光聚焦于混沌系统和DNA编码技术相结合的图像加密技术，事实也证明了基于混沌系统和DNA的图像加密技术是大有可为的。

针对混沌系统和DNA的图像加密技术，一些文献中已经提供了不同的思路和方法。文献[4]中研究者们初步将混沌系统和DNA序列相结合，提出一种新的图像加密技术，该算法虽然一定程度上可以保证加密图像的安全，但是没有对抗噪声和抗剪切性的分析，同时也不能很好地抵御外来攻击。文献[5]中研究者们将Logistic混沌系统和DNA编码相结合，得到了一种图像加密方案，该方案可以将8种DNA加密算法规则混合到一起，很明显地提高了算法的置乱和扩散效率，可以较好的抵御外部的明文攻击。文献[6]中研究出一种基于分块置乱和混沌系统的加密算法，该算法中的分块、分区域思想可以很好地应用到DNA的碱基运算过程中。文献[7]则是研究出一种同步排列扩散技术，可以在DNA序列的基础上对像素进行置乱和扩散。文献[8]中研究者们提出了一种基于混沌系统和DNA编码的图像加密算法，该算法将混沌系统和DNA很好的结合在一起，但是在实现过程中，DNA编码过程不是动态编码，碱基运算的复杂程度和混沌系统的稳定性都不够高。文献[9]中利用变步长约瑟夫遍历的方法，结合动态DNA编码规则，提出了一种全新的算法，该算法碱基运算规则复杂，有较好的安全性。文献[10]在混沌系统和DNA编码结合的基础上，引入了一种哈希函数，得到一种新的算法，该算法具有很好的抗差分攻击的能力，但其缺少相关的鲁棒性能。文献[11]将超混沌系统引入图像加密领域中，该算法一定程度上提高了算法的安全性，但其密钥空间不够大，不能很好地抵御穷举攻击。文献[12]将logistic混沌系统和动态DNA编码相结合，且拓展到了彩色图像加密领域，该算法的加密效果良好，但是该算法缺少相关鲁棒性能的分析。

由上述可知，虽然目前混沌系统结合DNA的加密算法已经取得了一些研究成果，但是依然存在一些问题，比如密钥空间较小、密文的熵值较低、抗攻击能力弱等，本文针对上述问题进行设计算法和深入研究。本文的主要贡献如下：

1)将普通的一维和多维混沌系统升级为Chen超混沌系统，同时结合了分段Logistic混沌映射，使系统可以更快进入混沌状态的同时，也变得更加稳定，加密效果更好。采用DNA编码规则进行编码，且动态DNA编码进一步增加了编码运算的多样性，让加密过程更安全。

2)将传统灰度数字图像的加密算法扩展至彩色数字图像，使得算法的应用范围更广泛。

1 基本理论

1.1 密钥系统

密码学是一门研究信息保密的学科，涉及到加密、数字证书和其他安全计算技术等。它使用密码、密钥和数学算法等对数据进行特殊加密，以达到保护数据的目的。

现代密码学的核心思想是通过使用特定的加密算法来加密明文序列，接收者再通过特定的解密密钥对加密文件进行解密，得到最初的明文序列。具体的工作流程如图1所示。

图1 加密流程图

1.2 加密算法的性能分析

加密算法的好坏可以用不同的指标来进行衡量和比较。密钥空间越大，破解的难度就会呈几何倍的提升，抵御外来攻击的能力就会越强。直方图是否均匀分布也可以体现出加密算法的好坏，加密后的直方图分布越均匀，加密算法的效果越好。其他的一些性能指标，如相邻像素相关性、信息熵、抗差分攻击、密钥敏感性、抗噪声性能和抗剪切性能等也都可以分析出加密算法的好坏。

1.3 混沌系统

混沌理论是一个在复杂性科学领域里非常本质的理论。混沌是一种非常特殊的现象，它具有对初值的高度敏感性，有一定的边界，没有周期性。像被人们所熟知的“蝴蝶效应”理论，即“南美洲的一只蝴蝶扇一扇翅膀，就可能在佛罗里达州引起一场飓风”，这句话描述的就是一种典型的混沌现象。

混沌系统在图像加密领域中，根据不同的维度可以将其分为低维和高维混沌系统；根据混沌系统的Lyapunov指数是否有一个正数，可以将其分为普通混沌系统和超混沌系统。下面对一些常用的混沌系统进行介绍。

1.3.1 Logistic混沌系统

Logistic混沌映射[13]是一种一元二次的单峰映射，是生态学中的虫口模型，又叫Logistic迭代，可以用下式进行表示：

xk+1=μxk(1-xk)

(1)

图2为Logistic的映射分叉图，从图中可以看到，当μ=3 时，系统开始出现分叉；当μ增大到3.569 9时，系统开始出现混沌状态；当μ=4时，映射达到满映射，进入全混沌的状态。

图2 Logistic的映射分叉图

对Logistic混沌映射进行分段，具体公式如下：

(2)

式中，x0∈(-1，1)，μ∈[0，2]，且分段后增加了初始值的范围，减小了映射参数，使该系统可以更快的进入混沌系统。

1.3.2 Chen混沌系统

1999年，我国的陈关荣教授，在Lorenz系统的基础上进行了改进设计，提出了结构更为复杂的Chen系统[14]。

(3)

根据上式可得，当α=35，β=3，γ=28时，Chen系统进入混沌状态。

1.3.3 Chen超混沌状态

将Chen混沌状态作为基础，对其进行升级改造得到了四维的Chen超混沌状态，其密钥空间更大，系统复杂程度更高，加密效果也更好[15]。系统的动态方程如下：

(4)

上式中：a、b、c、d、e表示该系统的参数，x、y、z、q表示该系统的变量。当系统参数值a=35，b=7，c=12，d=3，e∈(0.085，0.798]时，可以计算出该系统的Lyapunov指数存在两个正值，此时的Chen混沌满足了超混沌的定义，即该系统是超混沌系统。

超混沌系统相比于高维和低维系统的内部更加复杂，因此其具有更好的加密效果。

1.4 DNA编码

DNA编码技术是一种将分子生物技术和计算机技术结合在一起的新学科。该技术利用DNA的伪运算进行信息隐藏和加密。

DNA的全称是脱氧核苷酸，是一种双链结构的高分子化合物[16]，其由4种脱氧核苷酸组成，分别为：腺嘌呤(A)、鸟嘌呤(G)、胞嘧啶(C)、胸腺嘧啶(T)。其中A和T互补，G和C互补。因为计算机只有二进制0和1，而0和1是互补的，01和10互补，00和11也是互补的。因此，A、G、C、T可以用于计算机的编码，共有24种方案。但是由于互补原则，其中只有8种方案可使用，如表1所示。

表1 DNA编码和解码规则

如对一像素值为228的像素点进行编码时，先将其变为二进制编码“11100100”，对应8种不同的编码规则，即：AGCT，ACGT，GTAC，GATC，CTAG，CATG，TGCA，TCGA。当对一图像进行加密时，加密算法采用一种DNA编码规则，解密算法采用另一种DNA解码规则时，像素值可以被有效的加密，无法恢复原来的图像。DNA编码的多样特性可以使图像的加密过程更加安全。还是对像素值为228的图像进行加密，用规则2对其进行编码得到DNA序列为TGCA，再使用规则8对其进行解码得到二级制数00100111，其对应像素值为39，与原图像的像素值差距很大，因此DNA编码可以很好的保护图像信息的安全。

2 加密算法设计

2.1 加密算法整体框架

本文所提出的新算法大致包括了以下内容：Chen超混沌系统、DNA的编码解码和运算、区域分块运算、分段Logistic混沌映射和三通道红、绿、蓝彩色图像等几部分。

首先将彩色数字图像根据红、绿、蓝3个通道分为三个二维矩阵，并对3个矩阵进行DNA分区域编码处理；其次由Chen超混沌系统生成的序列决定了每个二维矩阵的DNA编码解码规则和运算规则，按照相应规则进行加密，加密后由分段Logistic生成相应的序列再次进行行、列置换，分段的Logistic混沌映射可以让系统更快的进入混沌状态；合并红、绿、蓝3个通道的3个矩阵，生成三维矩阵，最终得到相应的彩色加密图像。

DNA碱基之间的区域分块运算规则增加了编码运算的多样性，使得加密过程更加安全。分段Logistic混沌映射迭代得到的3个不同的混沌序列，一个用于与原始图像进行DNA运算，一个用于行置换，一个用于列置换，在增强密文图像的置乱效果的同时可以获得抗裁剪的特性，同时分段的Logistic混沌映射可以使系统更快进入混沌系统，更好地保证图像在传输过程中的安全性。具体加密流程如图3所示。

图3 具体加密流程图

2.2 加密算法具体步骤

1)读取一张大小为M×N的原始图像P，将其按照红(R)、绿(G)、蓝(B)3个通道分为三个二维矩阵，分别为P1、P2、P3。分离方式如下：

(5)

2)设置分块大小t，使1)中的P1、P2、P3矩阵都能分成t2个大小的块。

3)设定参数μ和初值x0作为加密的密钥，使μ为3.999，初始值x0进行如下处理：

(6)

其中：sum表示像素的总和，x0为P1和P2的灰度平均值。

4)对分段Logistic混沌映射迭代得到序列K，将K转换为M×N的二维矩阵，其范围规定在0到255。

(7)

X0、Y0、Z0、H04个值在算法中也可以作为密钥使用。

6)DNA共有8种编码方式，记为规则1到规则8。由Chen超混沌系统产生了4个序列X、Y、Z和H，将4个序列进行如式(8)处理。序列X决定三个二维矩阵编码的方式，序列Y决定R矩阵的DNA编码方式，序列Z决定三个二维矩阵和R的运算规则，序列H决定DNA的解码规则。序列Z决定4种DNA运算规则，序列X、Y、Z则是对应有8种DNA编码解码方式。

(8)

7)运算规则由序列Z决定，当Z=0时，采用加法运算；Z=1时，采用减法运算；Z=2时，采用异或运算；Z=3时，采用同或运算。

8)采用分区域分块运算，将当前的加密结果和前一块的再次进行DNA运算。DNA解码运算时DNA编码运算的逆过程，由序列H决定，把A、G、C、T解码成对应的数值。

9)获得两个Logistic混沌序列K1和K2，过程与3)类似。两个初值x01和x02根据式9产生。X01表示R通道和B通道的平均灰度值，x02表示G通道和B通道的平均灰度值，两个值可以作为本加密算法的密钥。

(9)

10)对9)中的序列K1和K2进行降序操作。对R、G、B这3个通道的矩阵进行置换，获得更好的置乱效果。

11)将三个二维矩阵进行合并成一个三维矩阵，得到加密后的图像。

2.3 解密算法设计

2.3.1 解密算法整体框架

解密过程就是加密过程的逆过程，即解密过程中采取和加密过程的相反操作。解密过程要注意：1)要使用和加密时完全相同的密钥；2)DNA的解码是加密过程中DNA的编码，DNA的编码是加密过程中的解码。正确地进行解码操作才能得到和原图完全相同的解密图像。

2.3.2 解密过程具体步骤

解密过程的步骤即为加密过程的反过程。图4是解密算法的具体流程图。

图4 解密算法的具体流程图

3 仿真结果

本次的仿真过程借助Matlab 2018a平台，8 GB内存计算机，Win7 操作系统上实现。此实验中使用了经典的Lena和Peppers两种彩色图像，像素大小均为512 ×512 ，原图像如图5(a)所示。经过本章算法加密后的图像如图5(b)所示，从图像(b)我们可以清晰的看出，经过加密后的图像呈现出一种雪花状的噪声状态，完全隐藏了原始图像的信息，且通过和原图(a)的对比，看不到任何的相关信息，有很好的加密效果。解密后的图像如图5(c)所示，和原始彩色图像完全相同。由此可以得出结论，仅从仿真角度来看，本章算法可以达到很好的加密和解密效果。

图5 仿真结果图

3.1 仿真结果相关性能分析

3.1.1 密钥空间分析

Chen超混沌系统中的4个初值X0、Y0、Z0、H0可以作为算法的密钥，此外运用到了三次分段Logistic混沌映射，参数μ是相同的，三次的初值则不同，分别为x0、x01和x02，共有8个值作为算法密钥。通常在64位计算机操作系统下，浮点数的精度为10-16，则此算法的密钥空间容量为1016× 1016× 1016× 1016× 1016× 1016× 1016× 1016=10128。且该算法也可以设置3种不同的Logistic混沌映射的参数μ，此时密钥空间将增大到10160。当密钥空间的大小超过2100时，说明了该算法基本满足了密钥空间的安全需求。该算法密钥空间远大于安全密钥空间的基本要求，可以很好地抵御穷举攻击，保证信息的安全性[17]。

3.1.2 直方图分析

以色彩特征更为明显的图像Peppers为例，该算法的直方图仿真结果如图6所示。原始彩色图像R(红)、G(绿)、B(蓝)3个通道的直方图曲线十分陡峭，高低分布显著不同。而加密图像的直方图中，各线条均匀分布，高低在一定的数值上下波动。因此可以得出结论，本文算法具有很好的抵御统计分析的能力，即使被攻击，也不会被攻击者得到有用的信息[18]。

图6 加密前后R、G、B三通道图像的直方图

3.1.3 信息熵分析

信息熵可以表示一个系统的复杂程度，一个系统越是有序，信息熵就越低；相反的，一个系统越是复杂混乱，信息熵就越高。信息熵越接近8，密文信息越安全[19]，信息熵的计算公式如式(10)，式中mi表示图像的灰度值。

(10)

彩色图像Peppers在加密前后的3个通道R、G、B的信息熵值，以及和其他文献算法加密图像的比较如表2所示。

表2 原始图像和密文图像信息熵对比

由表2可以看出，加密图像的信息熵相较于原始图像有很明显的增加，且都非常接近理论信息熵的最大值8，说明了密文图像的混乱程度非常高。同时本文算法加密后的信息熵值总体大于文献[20]和文献[21]的加密算法，由此可以得出结论，该算法能够很好地抵御外部攻击，能保证密文信息的安全。

3.1.4 相邻像素点的相关性

相关性分析是分析图像像素之间的关联性强弱，一般明文图像相关系数很接近1，说明该图像的相关性高，体现在相关性系数点图上为图像总体呈线性分布。而加密算法则是要打破像素点之间的强关联系性，使相关系数降低。密文相关性越接近0，加密效果越好。经过仿真实验对水平、垂直和对角线3个方向的分析，随机选取5 000对相邻像素计算其相关性，计算公式如式(11)：

(11)

式中，E(x)，E(y)表示相邻像素点之间的期望值，n表示像素点的个数，cov(x，y)表示协方差，r(x，y)表示相关系数。

表3为彩色图像Peppers原始图像和密文图像分别在R(红)、G(绿)、B(蓝)3个通道的相邻位置相关性的数据对比，即相关性系数的大小比较。

表3 相关性系数大小比较

由表3可以得出，原始图像的R(红)、G(绿)、B(蓝)3个通道的水平、垂直和对角线系数都很大，很接近于1，说明加密前的图像像素点之间的相关性都很高。而密文图像的R、G、B3个通道的水平、垂直和对角线系数都很接近0，说明加密后的图像像素间基本没有关联性，从加密图像上得不到一点关于原图像的有用信息，加密效果良好。

3.1.5 密钥敏感性分析

密钥敏感性[22]分析主要是通过对初始密钥进行一个极小的改变，最终导致图像解密失败，这样就可以说该算法密钥敏感性高，可以很好地保证加密图像的安全性。除了根据均方差MSE判断外，还可以对初始密钥进行极小的改变，观察是否能解密出清晰的图像。本章在解密过程中，让初始密钥之一的μ产生极其微小的变化，由3.999变为3.999 000 001，利用修改后的密钥对其进行解密操作，不能得到清晰的解密图像如图7(a)所示。再对另一初始密钥x0的值进行改变，由0.547 5变为0.547 499 999 9，得到错误密钥下的解密图像如图7(b)所示。

图7 密钥改变时的解密图像

从图7中可以明显看出，即使初始密钥发生了极其微小的变化，解密后得到的图像也和原始图像完全不相同，没有任何联系。说明了本章设计的算法对密钥具有极高的敏感性，同样的算法安全性也高。

3.1.6 抗差分攻击能力分析

抗差分攻击则是对原始图像的一部分特定区域进行分析和攻击，最后得到不同像素点占总体像素点的部分数。对于一个加密算法而言，像素点的变化导致加密图像发生明显的改变，对加密结果的影响大，那么它就可以有效抵御差分攻击。NPCR和UACI是定量测试分析原始图像和加密图像的方法[23]，具体计算方法如式(12)和(13)。

(12)

(13)

表4和表5为本章加密算法和与其他文献算法的对比结果，且比较对象都是Peppers图像，表对比结果可以看出本章算法具有很好的抗差分攻击能力。

表4 图像NPCR数据分析对比

表5 图像UACI数据分析对比

3.1.7 抗剪切性能分析

抗剪切能力是指在进行图片加密处理过程中，加密后的图片在遭遇剪切攻击时，可以保证加密后的形态不被歪曲或改变的功能。本次实验选取一张布满文字的数字图像，对其加密得到加密后的图像，并对加密图像进行剪切性攻击，最后对该图像进行解密操作，如图8所示。

图8 抗剪切性能效果图

从图8可以看出，虽然对密文图像的一些区域进行了剪切，但本章算法能够将对局部区域的破坏转移到整体图像上，虽然最终的解密图像没有原始图像清晰，但是本算法能确保关键信息的不丢失。如本实验的图像，经剪切后依旧能得到每个字的信息，没有被破坏遗漏，保持了整张图像的完整性。上述结果表明本章算法的抗剪切能力强，适用于包含细节关键信息图像的加密。

3.1.8 抗噪声性能分析

为了测试本章算法的抗噪声性能，分别对密文图像加入不同程度的噪声进行干扰。加入不同程度噪声后的解密图像结果示意图如图9所示。从图像中可以清楚的看到，随着噪声的程度加大，图片的质量也随着变差，越来越模糊，但是仍然能分辨出图像的主要信息，没有信息的丢失，说明了本章算法的抗噪声能力强，安全性能好。

图9 不同程度噪声下解密图像的效果图

峰值信噪比(PSNR)和均方误差(MSE)可以从抗噪声方面对图像质量进行评价。在加密后的图像中依次加入椒盐噪声密度为0到1，密度间隔为0.1的椒盐噪声得到对应的解密图像，MSE和PSNR的值分别可以由式(14)和式(15)计算，并绘制出相应的椒盐噪声密度-均方误差MSE曲线图和椒盐噪声密度-峰值信噪比PSNR曲线图如图10所示。

(14)

图10 R通道加入噪声后的MSE和PSNR曲线图

式中，用G和K分别表示原始图像和加密过后的图像的二维序列。分别可以具体表示为M={M(i，j)}和N={N(i，j)}，i=1，2，…，M；j=1，2，…，N。

(15)

由图10可以看出，当椒盐噪声值密度小于0.4时，该算法抗噪声能力强；当椒盐噪声密度达到0.4时，图像基本处于失真状态，受噪声影响很大。

4 结束语

本文所提出算法包括以下内容：首先将彩色数字图像根据红、绿、蓝3个通道分为3个二维矩阵；其次由混沌系统生成的序列决定了每个二维矩阵的DNA编码解码规则和运算规则；合并红、绿、蓝3个通道的3个矩阵，生成三维矩阵，最终得到相应的彩色加密图像。通过仿真结果以及和其他算法的比较分析，可以得出结论：该算法和其他的算法相比，密钥空间更大，相关性系数极小，有良好的抗噪声和抗剪切性能，还能适用于彩色图像的加密，可以满足用户很高的加密需求。

未来的图像加密领域仍会有极大的发展空间，本文算法虽然能够有效保证图像加密的安全性，但是也存在着一些缺陷。该算法密钥空间很大，加密效果良好，且可以应用于彩色图像的加密设计，有良好的抗噪声和抗剪切性能，但是加密速度较慢，算法也更加复杂。以后的研究方向可以从下列几个方面进行入手：1)对算法的复杂度、安全性和加密速度之间要做出一定的平衡，做到最大程度的兼顾。2)与不同领域进行结合研究，如本文的所用到的DNA编码就是生物学领域的方法，还可以考虑与生态学、化学等领域相结合。3)将图像加密延伸到视频加密，图像加密是视频加密的基础，在算法方面可以朝着视频加密的方向去研究。