深度调研 有效迁移 细化与比较——以“商中间有0 小数除法”为例

甘肃省陇南市文县东坝中学小学部 梁学勤

小学生数学学习中有两类问题需要注意，一是由于旧知巩固不扎实出现的老问题， 称之为“老病根”； 二是经验迁移不得力出现的新问题，这些可统称为“并发症”。 两类问题互有联系，并且在学生的练习中反复出现。“老病根”根除不了，“并发症”就会连续出现。 深刻调查学生出错的原因并对症下药很有必要，教师要准确把握学生的学情，预判可能出现的思维障碍，抓住学困点，辨清出错类型，并探究出针对性强的方法、策略和路径，提高学生的数学学习力[1]。

一、问题和困惑

人教版小学数学四年级下册的小数除法中涉及到商中间有0 的问题。 与商末尾有0 的问题相比，学生更容易在商中间有0 的计算中出错，有的弄不清算理，有的糊涂于算法，有的是整数除法中遗留下来的问题。 还有的学生因为多了个小数点，碰到“商中间有0 小数除法”就头疼，过往的经验无法有效迁移， 数位上稍不注意就会出错，就会引发新问题。

二、调查与分析

没有调查，就没有发言权。整体解决“老病根”与“并发症”，必须建立在学生真实学情的前测上，以便后续对策有依据，有针对性。我们选择四年一班与四年二班共90 名学生进行前测。商中间有0 整数除法的正确率远远大于商中间有0 的小数除法（见表1）。

表1 商中间有0 的整数除法与小数除法前测表统计

那么，出现如此明显差异的现象根源是什么呢？ 是学生粗心大意，还是算理与算法的迁移不够呢？ 为此我们进一步深入到一些细节之中进行调研，抽取了部分学生的竖式计算草稿，发现商中间漏0 的学生比比皆是。

探究学生如此竖式计算背后的原因很有必要。 于是，我们从问卷测试过渡到深入访谈，从更细微的层面梳理学生出错的原因。 访谈分三步走（见表2）。

表2 “商中间有0 小数除法”访谈一览表

访谈中得知， 优等生的想法中最重要的一个概念是“除法平均分”。他们做过太多“把算式按商的位数分一分”的试题。 这样的试题实际上就是强调商是几位数的问题，即商是几位数是有规律可循的，不能因为小数点的介入而少一位或者多一位。相比较而言，学困生的想法是错误的。显然，“够了才能分”不是除法（包括整数除法与小数除法）的本质属性。事实上，除法的本质是平均分，每次把余数的计数单位变小合并到下一个数位继续分，“商中为什么会有0” 是与平均分有关系的。 对于那些本身对除法核心概念理解不透彻的学困生而言，“老病根”自然会延续到“并发症”中。“够了才能分”这种观念导致的就是“被除数一定要大于除数”。 这样的惯性思维“害人不浅”——学生碰到“被除数比除数小”时就觉得茫然无措，很容易做出错误的判断或计算。

我们还访谈了那些喜欢估算的学生。商中间有0 的整数除法与小数除法，之所以前者正确率高，是因为整数除法中学生将估算运用得特别熟稔，但在小数除法中，估算不顶用了，稍不小心就会出错。比如面对2568÷24，估算能力较强的学生一眼可以看出最高位在百位，如果学生忘记了中间补0，那么17 这样的结果与估算相差太大，学生肯定会回头检查， 最终通过补0 形成正确答案。 但是面对16.2÷15 这道题， 理所应当添加0 也罢， 粗心大意漏掉0也罢，不影响估算的结果，由此出现大面积的错题成为常态。 可见，小数点的出现，对学生的惯性思维形成冲击，增加了运算的复杂性，引发了新问题，“老病根”与“并发症”同时存在。

在分析学情的基础上，我们进一步分析教材。 教材的编排蕴涵着极强的结构性和逻辑性，它由一个个知识点按照一定的知识序列排列组成[2]。但是教材毕竟是静态的，而且因为篇幅限制，诸多逻辑空白并未呈现出来，而这需要教师去发掘并填补。 如果教师疏于这方面的探究，也有可能会给学生造成误解及负面影响。

比如，下图中的内容就需要教师左右勾连，进行细微意义上的甄别及引领。 很多学生看到12.6÷12 的竖式后，误以为第二步中的60 是一次性移下来的，这也是“不够就移”思维定势的体现。如果教师不用心强调，不通过更多的练习进行举一反三或者举三反一，那么学生就会把这种误解迁移到其他试题的计算之中，由此错题的出现也就不足为怪了。

三、策略与思考

既然造成错误的根源是多方面的，那么，重新审视学生与教材以及重构教学的新框架就是大有必要的； 既然“老病根”是因为整数除法学得不扎实所导致，那么以跨单元与整体教学的姿态回到过去重温旧知，进行有意义的迁移、细化与比较，剔除学生思维中僵化与定势因子，就更是必要的。

（一）迁移：算理、算法一脉相承

所谓“迁移”，即在新旧知识联接点对学生加以点拨，即培养学生的知识迁移能力[3]。 学生迁移力的提升不是一蹴而就的，需要由此及彼的追问、换位思考的逆问，需要前后贯通、勾连，进行更深处的沿径探源。真正高质量的迁移必须是“有根”的，即把已有的方法、经验运用到未知的学习中，正所谓：“由根生干，由干生枝。 ”

就除法的本质属性而言，所谓的平均分，就是竖式中分到哪一位，商就写在哪一位上面，哪一位不够商1，就在那位上商0。 这一点，无论是整数除法还是小数除法，都是不变的，这样的算理、算法是一脉相承的。 所以，如果学生对此理解不透彻，教师就应该通过复习旧知，通过一些试题的训练再次强化除法的意义。

教师出示两道整数除法算式：①912÷3，②1260÷2，组织学生自主完成计算， 并说说商中间的0 是怎么来的。优等生可能会很快回答出来，但学困生则知其然而不知所以然。 因此，教师直接出示以下竖式图帮助学生理解之所以写0 的原因。

上图既有较为细致的过程，又有简化后的过程，简洁明了。通过对比，学生厘清了其算理与算法，明白了商中间0 的来历。这为学生学习小数除法起到承上作用。接下来，出示算式12.6÷12，从整数除法过渡到小数除法，形成承上启下——学生自然而然地迁移运用整除除法的方法去解决小数除法问题。 这里迁移发挥的是正迁移作用，而非负迁移，因为学生做到了两者之间算理、算法上的一脉相承。

但仅仅这样是不够的。 完成12.6÷12 一题后，教师进一步追问：“假如把小数点继续往左移一位， 结果会如何呢？ ”请仔细观察下图中的三个竖式。

通过更为细微的对比，大部分学生已经发现了三个算式的相同之处，那就是不论什么“位”上的0，哪怕计数单位不同，但其产生的过程和方法是永远不变的——凡是某个数位上的数不够商时就补0。 这是除法的本质意义， 是解决任何题型都绕不开的。 这样的举一反三，促使学生完成了有意义的迁移，其效果事半功倍。

（二）细化：改变“不够就移”的做法

1.细化板书，消除负面影响

上文中那个学生误以为第二步中的60 是一次性移下来的。教材竖式过于简单，对于学困生而言，会造成理解障碍。 为此，我们“由粗到细”，进一步细化板书，将原来简单的一个竖式变为能够充分显示其细微过程的三个竖式。可以利用大屏幕动态演示其细微的过程。

教师引领学生用醒目的颜色划出其中关键的步骤及重点， 尤其表示出哪个数移下来了， 厘清哪个地方是商0还是移0。 当学生理解到这两点后，对所谓的“先商0 而后移0”的理解就显得水到渠成。

2.细化过程，破除思维定势

数学学习中的思维定势既有好处，又有坏处。 尤其是学生对数学核心概念理解不透的情况下， 其负面作用更大。“不够就移”这样的思维定势就是这样，就是造成学生漏0 现象的原因。因此，想方设法破除定势，帮助学生形成理性与科学思维， 应该成为解决小数除法中“老病根”与“并发症”的一个重点。 我们的做法是细化教学环节，引领学生针对最后一个竖式对如下三个问题进行充分讨论，最终达成共识。

一是“商中0 来自何方又去向何处”的讨论。教师鼓励学生自由表达，在此基础上，剔除不成熟的说法。以下是两种比较理想的说法：

生1： 我认为商中0 是这样来的：6 移下来是为了细分，分成6 个0.1，而这是不够分成12 份的。 既然不够分，那么其分的结果就应该为0。

生2：关于0 将去向何处，我是这么理解的：既然6 个0.1 平均分成12 份最后的结果是0 个0.1， 按照0 乘以任何数都是0 的法则，我们只能理解为没分走，所以这里的0可以省略。

二是“竖式中的60 可以一起移下来吗”的讨论。 针对“可以移下来”与“不能移下来”，教师组织两方学生进行辩论。 一种意见认为既然结果是不变的，那么完全可以移下来；另一种意见认为不能一起移下来，应该先移6，接着移0。其理由是十分位与百分位不同，直接移动的结果会造成中间的0 没有补上，少了平均分0.6 的这一步。 毕竟，商中的0 意味着十分位而非百分位。 一位一位向下平均分，看似啰嗦，但必须遵守，这正是数学学科必须讲究严谨精神的象征。

三是“如果商中这个0 不补会造成何种影响”的讨论。通过讨论，学生理解到仅仅漏了一个0，5 个0.01 就变成5个0.1，1.05 与1.5 可是完全不一样的结果。 可见，0 所引起的数位之差，不可小觑。

如此，通过上述三个问题的讨论，学生对“不够就移”有了更深刻的认识：不是随意就移，而是在补0 的基础上才移；学生也理解到，有些竖式省略了分0.6 的过程，但头脑中不能省略，做题时不能怕麻烦，尽量写清每一步，关注到每步先后顺利，这样就能够避免错误，有效杜绝作业中的失误现象。

（三）比较：明晰“加与不加”的区别

比较中寻方法，比较中找规律。 以比较为手段的思维方式，既是打破思维定势的需要，又是解决“老病根”与“并发症”的需要。商中间有0 的小数除法教学中，教师有意识地把漏掉0 或者不应有0 却补上了0 的错题呈现出来，同时呈现正确竖式，两两比较，引领学生明晰“加与不加”的区别，必能更好地帮助学生厘清相关概念，加深正确解题步骤的印象，提高学生的整体解题能力。

分析中，教师发问：“这个竖式的商中间为什么不能补0？”引领学生看一看商中的数位与下面的数位是不是有错位，是否有对应分的过程，学生自然而然明白问题出在哪里。教师应该多多出示这样的比较题型，通过细微的捕捉，“比”出问题的根源所在，“比”出正确的步骤，顺利地解决“老病根”与“并发症”。

通过上述三环节，学生在“商中间有0 小数除法”的练习中提高了正确率。 实践证明，商中间有0 小数除法的学习中，必须找准问题，分析根源，紧扣学情，采取针对性较强的对策，如整体把握，结构性迁移，真正厘清其中的内在机理，既防止“老病根”复发，又把“并发症”解决在萌芽状态。