计及边端效应的直线式移相变压器等效电路分析

赵镜红 周长朵 王涵铭 严思念 严冬傲

计及边端效应的直线式移相变压器等效电路分析

赵镜红 周长朵 王涵铭 严思念 严冬傲

（海军工程大学电气工程学院 武汉 430033）

直线式移相变压器是一种新型移相变压器，具有绕组结构简单、易于模块化和可任意角度移相的优点。其直线型结构导致变压器存在边端效应，进而导致气隙磁场产生畸变。为了计算出边端效应产生的影响，该文从直线式移相变压器的磁场进行深入分析，并建立计及边端效应的等效电路模型。首先，基于一维场理论对直线式移相变压器进行数学分析，根据场路复功率相等的原则，推导出等效电路二次侧参数，并计算出边端效应修正系数；然后，根据边端效应的分析结果和直线感应电机的等效电路拓扑建立计及边端效应的等效电路模型；最后，通过直线式移相变压器的二维有限元仿真模型和小功率样机的实验，验证了建模方法的合理性和等效电路模型的准确性。

直线式移相变压器 边端效应 等效电路 有限元

0 引言

移相变压器在多重化逆变装置与多脉波整流装置中发挥重要作用，能够有效减少大容量电能变换系统的谐波含量，优化输出性能[1]。按铁心结构分类，传统移相变压器可分为心柱式和圆形两类[2-3]。传统型的心柱式移相变压器加工制作过程较为简单，但存在因自身结构导致的磁场不对称、匝数比设计复杂等问题；圆形移相变压器气隙磁场对称性好，但加工制作过程困难，不易拓展。直线式移相变压器（Linear Phase-Shifting Transformer, LPST）是基于直线电机结构所设计的新型移相变压器，具有绕组结构简单、易于模块化和可任意角度移相的优点，可应用于舰船供电、高铁和电动汽车等微电网中[4]。实际应用中，LPST不仅能够满足电气隔离，还能消除低次谐波，改善输出侧波形的品质，在较为恶劣严苛的环境也可以稳定运行[5]。

LPST作为一种新型移相变压器，其基本原理与直线感应电机类似，结构上近似等同于转差率为1的直线感应电机[6-7]。受到自身结构的影响，LPST存在两类纵向边端效应：第一类纵向边端效应是由于LPST的磁路不对称所导致，具体表现为一次绕组阻抗不对称引起励磁电流不平衡，进而导致气隙磁场产生畸变；第二类纵向边端效应是由于LPST铁心两端开断引起磁通开断[8]，进而导致气隙磁场发生畸变。由于LPST的一、二次侧铁心完全对称且气隙极小，因此不考虑横向边端效应[9]。对于LPST两类纵向边端效应中绕组分布不对称和磁路开断的问题，直接进行理论分析和特性计算较为复杂。近年来，国内学者根据磁链电压方程计算得出LPST的数学模型[10]，但该方法需要计算出一、二次侧各相绕组的自感矩阵和互感矩阵，计算量较大，建模较为复杂。

针对上述问题，等效电路模型可以直观地用“路”的方式表示出LPST各个区域“场”的关系。LPST等效电路模型的建立可以参考直线感应电机，目前直线感应电机等效电路的推导方法有两种： ①基于气隙磁通密度分布模型推导等效电路[11-12]；②基于电磁场理论推导等效电路[13-16]。第一种方法计算精度较低，且气隙磁场的解析式只有在一次电流已知的基础上才能够计算得来，实际上通常只已知一次侧的输入电压；第二种方法基于电磁场理论及实际变压器模型，结合边界条件可以解出各个区域场量的解析表达式，计算精度较高，且通常已知一次侧的输入电压，便于计算[17]。

本文对LPST的边端效应问题进行深入分析，并提出计及边端效应的等效电路模型。首先，介绍了LPST的基本结构和工作原理。然后，基于一维场对LPST的边端效应进行了分析，根据场路复功率相等的原则，计算出了一次侧行波电流层传递到二次侧和气隙的总复功率。其次，根据欧姆定律求出了支路中的元件等效参数，进而计算出了边端效应的修正系数。再次，根据边端效应分析结果和直线感应电机的等效电路拓扑建立了计及边端效应的等效电路模型[18]。最后，建立了基于有限元场路耦合仿真的LPST系统模型，设计了小功率实验样机，搭建了LPST多重叠加逆变系统平台，通过有限元仿真和小功率样机的实验，验证了等效电路模型的准确性。

1 直线式移相变压器基本结构与工作原理

1.1 基本结构

LPST结构如图1所示，分为一次侧与二次侧，两侧铁心结构上呈直线型，铁心之间存在较小的气隙（0.3 mm）。每侧铁心上开有十二个槽，绕组采用双层叠绕组结构。一次侧采用整距的绕组结构，共有十二相；二次侧采用长短距配合的绕组结构，共有三相。一、二次侧的铁心完全对称且固定不动，在工作原理上近似等于转差率为1的直线感应电机。

图1 LPST结构

1.2 工作原理

LPST一次侧由多重叠加逆变系统供电，逆变系统由控制电路和逆变电路两部分组成。控制电路对逆变电路中IGBT开通与关断的顺序进行控制，以此来实现电压移相的目的。逆变电路包括四组三相全桥逆变电路，每组依次滞后15°，以此达到电压相叠加的效果。LPST二次侧与负载电路连接。LPST多重叠加逆变系统结构如图2所示。

图2 LPST多重叠加逆变系统结构

单组逆变电路与每相输出电压如图3所示，其基本工作方式为180°导电方式，同一相上、下两个桥臂交替导电，各相之间导电角度相差120°。由于每组逆变电路可以输出三相六脉波交流电，则四组逆变器共输出十二相六脉波交流电。

图3 单组逆变电路与每相输出电压

十二相6脉波交流电经多重叠加后可等效为三相24脉波的交流电，高度近似为三相正弦交流电，如图4a所示。将合成的三相24阶梯波交流电输入LPST的一次侧，从气隙中感应形成一个有固定速度移动的行波磁场，如图4b所示，根据二次侧不同的绕组结构和绕组匝数，可得到不同移相效果和幅值的三相交流电。

图4 24阶梯波产生行波磁场示意图

2 等效电路中边端效应的作用机理

LPST气隙磁场的端部因受到边端效应的影响而产生畸变，边端效应在“场”中引起的变化在“路”中体现为功率的损耗。

边端效应波在LPST二次侧中引起的无功功率和有功功率，在等效电路上具体表现为增加一个附加支路并联在励磁支路上[19]。根据场路复功率相等的原则，可以求得计及边端效应影响的LPST等效电路如图5所示。图中，1为一次侧输入电压；1为一次侧输入电流；1为气隙相电动势有效值；m为励磁电流；2为二次侧输出电压；1为一次绕组的电阻；1为一次绕组的漏抗；m为励磁电抗；e为边端效应对应的电阻；e为边端效应对应的电抗；2为二次绕组的电阻；2为二次绕组的漏抗。

图5 LPST计及边端效应附加支路型等效电路

一次侧相电流有效值与一次侧行波电流层幅值的关系为

式中，为极对数；为极距；1为行波电流层的幅值；1为一次绕组每相串联匝数；w1为一次绕组系数。

一次侧传递到气隙和二次侧的能量包括正常行波磁场产生的复功率和边端效应波产生的复功率，因此，可求出计及纵向边端效应的复功率e1为

其中

式中，e0为不计边端效应时的复功率；ee为边端效应产生的复功率；20、20分别为正常行波在二次侧产生的有功功率和无功功率；2e、2e分别为边端效应波在二次侧产生的有功功率和无功功率；30、3e分别为正常行波、边端效应波在气隙中产生的无功功率。

3 基于一维场分析计及边端效应的T型等效电路

LPST等效电路中较多参数计算的精度与场的维数有关，随着场的维数越高，计算精度越高，但分析计算也越复杂。由于LPST两侧的铁心完全对称且气隙极小，可以忽略横向边端效应产生的影响，变压器的气隙磁场可由三维简化为二维。LPST气隙长度为0.3 mm，气隙与极距之比为0.002 78，因此可以忽略气隙磁场沿坐标的变化，从而将二维场简化为一维场[16]。在精度满足要求的条件下，本文选择在一维场中分析并计算出计及边端效应影响的等效电路。

3.1 边端效应系数及二次侧参数计算

本文采用基本的麦克斯韦方程组分析LPST的电磁场，并引入矢量磁位，即

式中，为磁通密度；为磁场强度；为电场强度；1为一次侧导体电流密度；2为二次侧导体从行波磁场中感应出来的电流密度；0为铁心磁导率；为二次侧电导率。

本文基于一维场的理论，建立并求解LPST计及纵向边端效应时的等效电路，为简化分析，做出以下假设：

（1）用等效行波电流层代替实际开槽，并且只考虑行波电流的基波分量。

（2）用气隙系数考虑一次侧齿和槽的影响。

（3）铁心饱和、磁滞损耗和二次侧导体的趋肤效应均忽略不计。

（4）电流都沿坐标方向流动。

（5）各种场量都随时间按正弦规律变化。

图6 简化的LPST二维物理模型

假设变压器一次电流层密度为

式中，=p/。

将式（5）～式（7）联立求解可得气隙中电场强度为

其中

由于LPST结构对称的特性，区域4和区域5端面磁通的分布是对称的。变压器开口两侧=0的中心线上磁通密度分布的解析式可近似地表示[16]为

式中，4y、5y为区域4端部、区域5端部气隙磁通密度的分量；40、50为待定系数。

式（8）、式（14）、式（15）中1、2、40、50由边界条件和磁通连续性定理求得：

1）由边界上磁场强度切线分量相等可得

2）由磁通连续性定理可得

联立式（16）、式（17），可求得

其中

由于LPST两侧完全对称，且气隙较小，可以忽略横向边端效应，只考虑纵向边端效应。因此气隙中电场强度的分量为

总复功率e1为方向单位长度的复功率乘上方向长度，一般忽略较小的二次侧漏抗，即2=0。则由一次侧传递到二次侧和气隙中的总复功率由式（6）和式（22）得出

式中，为铁心厚度的一半。

由式（1）、式（3）、式（23）可得

式中，r为二次绕组相电阻的纵向边端效应修正系数；K为一次侧的每相磁化电抗的纵向边端效应修正系数；20为忽略纵向边端效应时归算到一次侧的二次绕组的相电阻；m0为忽略纵向边端效应时一次侧的每相磁化电抗。r、K、20、m0表达式如式（26）～式（29）所示，1、2的求解见附录。

综上所述，边端效应导致的气隙磁场畸变可在等效电路中体现为阻抗的边端效应系数，完成“场”到“路”的转化。

3.2 一次侧参数计算

对一次绕组的相电阻进行求解，则有

一次绕组的每相总漏抗受到铁心槽部、齿部、绕组端部和谐波的影响，对此进行分析和求解。

1）铁心槽部的漏磁导，有

式中，kCu、kK为绕组短距引起的系数；as1、as2的值都为1；h1、h0、ht、b0为LPST槽型的各个尺寸，如图7所示。

2）铁心齿部的漏磁导，有

3）绕组端部漏磁导，有

式中，e为一次绕组的端部长；=1/(11)，1为一次绕组节距，1为一次侧每极每相的实际槽数；k为一次绕组短距系数。

4）谐波漏磁导，有

其中

式中，b可由旋转感应电机设计书中查得。

综上所述，一次绕组的每相漏抗可表示为

式中，为工作频率；e为等效极对数。

至此，LPST等效电路中一次绕组的每相电阻和漏抗，每相励磁电抗和二次绕组每相电阻的表达式均已求出，并且考虑了边端效应的影响，T型等效电路如图8所示。

图8 LPST计及边端效应的T型等效电路

本文通过建立的T型等效电路模型，可以方便、快速地计算出不同输入电压下的一次电流、励磁电流、励磁电压、二次电流及输出电压等参数。

4 有限元仿真

4.1 样机主要结构参数

基于Ansys Maxwell有限元仿真软件搭建LPST样机的二维模型，主要参数见表1。样机工作频率为50 Hz，额定功率为800 W。

在额定负载工况下，气隙磁场三维示意图如图9所示，从图中可以看出，一个周期内LPST气隙磁场的畸变程度较低，仍然可以等同于沿气隙方向运动的正弦行波磁场。气隙两端存在衰减的行波磁场，衰减常数小且衰减速度快，只在气隙两端较短距离存在。

表1 样机主要结构参数

Tab.1 Structure parameters of the prototype machine

图9 气隙磁场三维示意图

当LPST带有额定负载运行时，一个周期内多个时刻的气隙磁场二维示意图如图10所示。从图中可以看出，由于受到纵向边端效应的影响，LPST铁心两端开断处的气隙磁场发生一定程度的畸变。

图10 一个周期内气隙磁场二维示意图

二次侧空载时输出电压波形及A相电压谐波分析如图11所示。空载情况下输出电压三相不平衡度较低，仅为0.168%，对电压波形进行傅里叶分析，可得到各相电压的谐波含量分别为9.31%、9.18%、9.33%。

当LPST工作在额定负载工况时，有限元模型二次侧的输出电压波形及A相电压谐波分析如图12所示。可以看出，A、B、C三相输出电压存在不平衡的现象，三相不平衡度为0.529%，边端效应的存在是造成这种现象的原因之一。对三相输出电压分别进行傅里叶分析，可得到谐波含量分别为1.94%、1.84%、1.89%。

图12 额定负载输出电压波形及A相电压谐波分析

4.2 仿真证明

为验证计及边端效应等效电路模型的正确性，基于相同的结构参数，将等效电路模型与有限元模型进行对比分析。分别对空载、30%负载、50%负载、70%负载和额定负载五种工况下输出电压进行对比分析，如图13～图17所示。

图13 空载时有限元模型与等效电路模型对比

图14 30%负载时有限元模型与等效电路模型对比

图15 50%负载时有限元模型与等效电路模型对比

图16 70%负载时有限元模型与等效电路模型对比

图17 额定负载时有限元模型与等效电路模型对比

对比分析不同负载工况下的有限元模型和等效电路模型，通过对每相输出电压波形分别进行快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）分析，并提取基波幅值，可计算三相输出电压的平均误差。两种模型在不同工况下三相输出电压基波幅值及平均误差见表2。

表2 不同负载工况下有限元与等效电路模型误差分析

Tab.2 Error analysis of finite element and equivalent circuit model under different load conditions

由表2可知，在空载、30%负载、50%负载、70%负载和额定负载五种工况下，等效电路与有限元之间的误差较小。

5 实验验证

5.1 实验验证

本文按照仿真样机参数，制作了一台800 W的小功率样机。实验平台如图18所示，样机由直流电源、逆变电路、LPST和负载电路组成。控制电路由DSP核心板和驱动脉冲隔离电路组成，控制逆变电路中24个IGBT的导通与关断。

图18 LPST样机实验平台

为验证等效电路模型的正确性，将LPST等效电路模型与实验结果进行对比分析。分别对空载、30%负载、50%负载、70%负载和额定负载五种工况下输出电压进行对比，如图19～图23所示。

图19 空载时三相输出电压波形对比

图20 30%负载时三相负载电压波形对比

图21 50%负载时三相负载电压波形对比

结合各个工况下的实验波形可以看出，存在较为明显的三相不对称现象，引起LPST三相不对称的主要原因有：①铁心开断导致磁路开断，引起三相绕组互感不对称；②一定程度上，边端效应引起气隙磁场畸变；③变压器的绕组分布不对称。

图22 70%负载时三相负载电压波形对比

图23 额定负载时三相负载电压波形对比

对比分析不同工况下实验波形与等效电路的电压波形可以看出，A相和C相电压较为接近，而B相电压存在相差较大的情况，三相不平衡的现象较为明显。等效电路模型与实验结果的对比也反映出本文所提出的等效电路建模方法存在一定的局限性：等效电路模型是建立在各相平衡的基础上，因此三相输出电压波形完全对称，而有限元模型和实验结果中存在三相不对称的情况，有限元模型不对称度较小，实验结果不对称度较为明显。

本文样机所选取的极对数为1，这是引起三相不对称现象的原因之一，除此之外，LPST的实验样机在实际加工时受制作工艺的限制，气隙因加工及装配而变得不均匀，绕组绕制也存在不均匀的情况，进而导致边端效应引起的气隙磁场畸变更加明显，磁路分布不对称和阻抗分布不对称加剧，进而使得不平衡现象更加突出。可以通过以下方法解决实验样机三相不对称的问题：①增加极对数（＞3），不对称现象会减小甚至可以忽略[16]；②提升加工制作工艺；③对LPST进行优化设计，降低三相不对称度。

对实验波形进行FFT分析，提取基波幅值，并分别计算A相电压误差和三相电压平均误差见表3。

表3 不同负载工况下实验与等效电路模型误差分析

Tab.3 Error analysis of experimental and equivalent circuit models under different load conditions

由表3可知，实验结果和等效电路模型中A相电压误差较小，三相平均误差皆在10%以内，由此可以证明等效电路的合理性和有效性。

5.2 结果对比

LPST中A相电压有效值和电流有效值在不同负载下的仿真结果、等效电路模型计算结果和实验结果见表4。

表4 三种方法在不同负载电阻下计算结果

Tab.4 The results are calculated by three methods under different load resistors

图24为上述三种方法计算所获得的A相负载电压有效值和A相负载电流有效值随负载电阻变化的曲线。可以看出，仿真结果比实验结果和等效电路计算结果大，实验结果和等效电路结果较为接近。造成这种现象的原因有：

图24 三种结果对比

（1）LPST实验样机中端部绕组产生的影响是不可忽视的实际问题，有限元仿真是二维模型，无法考虑端部绕组产生的影响，与实验结果相比误差较大；而等效电路模型在计算过程中考虑了端部绕组的影响。

（2）等效电路在计算时考虑实际情况中会存在齿部漏抗、槽部漏抗、绕组端部漏抗和谐波漏抗等因素，与实验情况较为接近。

6 结论

本文基于一维场提出了一种考虑边端效应的LPST等效电路模型，详细分析了边端效应的产生原因及作用机理，并通过有限元仿真和实验验证了相关分析的合理性和准确性。LPST的边端效应主要包括磁路不对称引起的气隙磁场畸变和磁路开断引起的气隙磁场畸变，边端效应产生的影响在等效电路模型上体现为等效阻抗发生变化。

针对边端效应在等效电路模型中引起的变化，本文对LPST的磁场进行建模和详细计算，通过理论分析的方法将阻抗变化的大小用等效电路中支路的修正系数进行了描述，建立了LPST的T型等效电路模型。通过有限元仿真和实验对等效电路模型负载电压和负载电流进行验证证明其合理性和准确性。

与通过磁链电压方程计算而得的LPST数学模型相比，等效电路模型的结构更为简单，计算更为方便，更利于后续的优化设计，但等效电路模型建立在各相电压平衡的基础上，具有一定的局限性。

本文的研究工作及方法可有效地分析LPST边端效应产生的影响，并能够提供等效电路模型的建立方法，为LPST的磁场分析、损耗计算、控制策略及优化设计提供参考，在实际计算分析中也较为方便，实用价值高。

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Equivalent Circuit Analysis of Linear Phase-Shifting Transformer Considering End Effect

（School of Electrical Engineering Naval University of Engineering Wuhan 430033 China）

The linear phase-shifting transformer is a new type with the advantages of a simple winding structure, easy modularity, and shift phase ability at any angle. However, the linear structure can cause the end effect, distorting the air gap magnetic field of the linear phase-shifting transformer. Therefore, this paper analyzes the magnetic field of the linear phase-shifting transformer, establishes an equivalent circuit model to account for the end effect, and calculates the correction factor when the end effect is considered.

Firstly, the end effect of the linear phase-shifting transformer is mainly considered: magnetic distortion in the air gap due to magnetic circuit asymmetry and magnetic circuit breaking. The end effect mainly affects the compound power transferred from the primary side to the air gap and the secondary side of the linear phase-shifting transformer, which can be reflected as a change in the equivalent impedance in the equivalent circuit model.

Then, this paper calculates such end effect. Besides, the primary side of the T-type equivalent circuit is unaffected by the end effect, and the primary side’s equivalent resistance and equivalent reactance can be calculated according to the transformer's parameters. Based on the solved expressions for each parameter, the equivalent circuit model of the linear phase-shifting transformer, considering the end effect, can be established.

Finally, a two-dimensional model of the linear phase-shifting transformer prototype is built based on Ansys Maxwell finite element simulation software, and an experimental platform with the same parameters as the simulation model is established. The accuracy of the equivalent circuit model is verified under five operating conditions: no load, 30% load, 50% load, 70% load, and rated load.

Compared with the mathematical model calculated by the voltage equation of a magnetic chain, the equivalent circuit model has a simpler structure and is easier to calculate, which is more conducive to the subsequent optimization design. However, the equivalent circuit model based on the voltage balance of each phase has certain limitations.

The method of the equivalent circuit model is proposed by analyzing the end effect of the linear phase-shifting transformer. This paper provides a reference for the magnetic field analysis, loss calculation, control strategy, and optimization design of the linear phase-shifting transformer. In addition, it is more convenient in the actual calculation and analysis.

Linear phase-shifting transformer, end effect, equivalent circuit, finite element

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222308

TM401

国家自然科学基金项目（52007195）和大学自主立项项目（2022504040）资助。

2022-12-12

2023-05-22

赵镜红 男，1975年生，教授，博士生导师，研究方向为直线电机。E-mail: zhaojinghong@163.com

严思念 女，1994年生，讲师，研究方向为超导电力与电机。E-mail: ysnian0504@126.com（通信作者）

（编辑 陈 诚）