计数原理单元测试卷（B卷）

■河南省长葛市第一高级中学 张旭要

一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)

1.将4个6和2个8随机排成一行,则2个8不相邻的情况有( )。

A.480种 B.240种

C.15种 D.10种

2.在某城市中,A,B两地有如图1 所示的方格形道路网,甲随机沿道路网选择一条最短路径,从A地出发去往B地,途经C地,则不同的路线有( )。

图1

A.90 种 B.105 种

C.260种 D.315 种

3.甲、乙、丙、丁4 个学校将分别组织部分学生开展研学活动,现有A,B,C,D,E这5个研学基地供选择,每个学校只选择一个基地,则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数为( )。

A.420 B.460 C.480 D.520

4.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必须站在中间两个位置之一,且乙、丙2人相邻,则不同的排队方法共有( )。

A.24种 B.48种

C.72种 D.96种

5.某学校为增进学生体质,拟举办长跑比赛,该学校高一年级共有20 个班级,现将22个参赛名额分配给这20 个班级,每班至少1 个参赛名额,则不同的分配方法有( )。

A.210种 B.200种

C.150种 D.100种

6.将甲、乙等5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学3 所大学就读,则每所大学至少保送1 人的不同保送方案有( )。

A.240种 B.180种

C.150种 D.540种

7.(3x-2)(x-1)6的展开式中x3的系数为( )。

A.85 B.5 C.-5 D.-85

8.某学校准备开设4门劳动课程:“蔬菜种植”“绿植修剪”“糕点制作”“电动自行车修理”。开课之前,要安排4男2女共6名教师参加这4 门劳动课程的技术培训,要求每一项培训都要有教师参加,每位教师只能参加其中一门培训,其中“蔬菜种植”必须安排2位教师,“电动自行车修理”不安排女教师,“糕点制作”不安排男教师,则不同的安排方法有( )。

A.132种 B.112种

C.96种 D.84种

二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5 分,部分选对的得2分,有选错的得0分。)

9.2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名,在极超音速和水下无人机等23个领域中,有19个领域中国处于领先地位。某科技博主从这19个领域中选取了A,B,C,D,E,F这6个领域,准备在2024年10月1—6日对公众进行介绍,每天随机介绍其中一个领域,且每个领域只在其中一天介绍,则( )。

A.A,B在后3 天介绍的方法种数为144

B.C,D相隔一天介绍的方法种数为96

C.E不在第一天,F不在最后一天介绍的方法种数为504

D.A在B,C之前介绍的概率为

10.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且a0+a1+a2+…+an-1+an=126,则下列结论正确的是( )。

A.n=6

B.a1+a2+a3+…+an-1=119

C.(1+2x)n的展开式中二项式系数的和为729

D.a1+2a2+3a3+…+nan=321

A.所有项的二项式系数之和为32

B.所有项的系数之和为0

C.常数项为-20

D.系数最大的项为第3项

12.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大,则称这个数为“凸数”。如231、354等都是“凸数”。若用1,2,3,4,5这5个数字组成无重复数字的三位数,则( )。

A.组成的三位数的个数为30

B.在组成的三位数中,奇数的个数为36

C.在组成的三位数中,“凸数”的个数为24

D.在组成的三位数中,“凸数”的个数为20

三、填空题(本大题共4 小题,每小题5分,共20分。)

13.现有5 名同学从北京、上海、深圳三个路线中选择一个路线进行研学活动,每个路线至少1人,至多2人,其中甲同学不选深圳路线,则不同的路线选择方法共有____种。(用数字作答)

15.某校高二(1)班要举办一场晚会,有2个 歌 唱、2 个 舞 蹈、1 个 小 品、1 个 相 声 共6个节目,要求2个歌唱不相邻演出,且2个舞蹈不相邻演出,则这6 个节目共有_____种不同的演出顺序。

16.(x2+y+3)6中x4y的系数为____。(用数字作答)

四、解答题(本大题共6 小题,共70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项。

19.(本小题12 分)为弘扬我国古代的“六艺”文化,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程。

(1)若体验课连续开设六周,每周一门,求其中“射”不排在第一周,“数”不排在最后一周,求所有可能的排法种数;

(2)甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程,每名教师至少任教一门课程,求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数。

20.(本小题12分)按下列要求分配6本不同的书,求各有多少种不同的分配方法。

(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1 本,一人得2本,一人得3本;

(3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得4 本,另外两人每人得一本。

21.(本小 题12 分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*。已知=2a2a4。

(1)求n的值;

(2)若(1+ 3)n=a+b3,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值。

22.(本小题12分)现有0,1,2,3,4,5这6个数字。

(1)可组成多少个没有重复数字的偶数?

(2)在组成没有重复数字的五位数中,按从小到大排21 350是第几个数字?