基于自适应平方根容积卡尔曼滤波算法的分布式驱动车辆状态估计

张 策,张 涛,葛平淑

(大连民族大学 机电工程学院,辽宁 大连116650)

汽车节能、环保和安全技术是世界汽车技术创新的核心环节[1]。作为新能源汽车中的一种,分布式驱动电动汽车具有独特优势和巨大发展潜力[2]。然而,分布式驱动电动汽车的车辆状态难以实时获取,因此要利用车载传感器结合适当算法进行车辆状态的估计和识别[3]。基于线性估计方法的车辆状态观测研究多采用最小二乘估计和卡尔曼滤波等[4]。Hu等人基于扩展卡尔曼滤波(EKF)引入限定记忆滤波和随机加权理论,实现了算法的自适应设计[5]。Wan等通过对无迹卡尔曼滤波(UKF)算法引入Huber代价函数实时校正测量噪声,实验表明该算法有效抑制了异常噪声的影响[6]。Zhang X等人提出了基于高阶容积规则的CKF (HCKF),但是复杂冗长的高阶准则会影响算法的实时性[7]。近年来通过学者们的研究发现CKF具有较强的适应性,但是在类似分布式驱动电动汽车等强非线性系统环境下其估计精度较低甚至发散,为了解决这一问题,本文采用基于奇异值分解的平方根容积卡尔曼滤波(SSRCKF)避免开平方运算并且保证矩阵的正定性。本文结合分布式驱动电动汽车,建立非线性7自由度动力学车辆模型,提出基于SSRCKF的分布式驱动车辆状态估计算法。

1 车辆状态估计系统模型

1.1 车辆状态方程

本文以分布式驱动电动汽车为研究对象,对车辆模型进行合理简化,考虑纵向、侧向、横摆、四个车轮的旋转自由度。本文搭建了如图1的七自由度车辆动力学模型,并做出如下假设:

图1 七自由度车辆动力学模型

(1)车辆坐标系原点和车辆模型的质心重合;

(2)忽略车辆俯仰、侧倾和垂直方向的自由度;

(3)悬架简化为一个刚体,传动系统为线性系统,在方向盘控制下两个前轮转角相同。

七自由度车辆动力学方程如下:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:vx、vy为汽车纵向速度和侧向速度;r为横摆角速度;β为质心侧偏角;m为汽车整车质量;a、b分别为质心到汽车前后轴的距离;Bf、Br分别为汽车前后轮轮距;Iz表示车体绕Z轴的转动惯量,Iω表示每个车轮的转动惯量;R为车轮转动半径;ωij为车轮转动角速度;δ为前轮转角;Fxij、Fyij分别为轮胎纵向力、侧向力;Tbij、Tdij分别为轮胎制动力矩和驱动力矩。其中,ij分别为fl、fr、rl、rr。

根据上述方程将状态估计器的状态和测量方程表达为标准形式,如式(8)所示:

Xk+1=f(Xk)+wk,
Yk=h(Xk)+vk。

(8)

式中:系统的状态量为X=[vx、β、r]T;观测量为Y=[ax、ay、r、ωfl、ωfr、ωrl、ωrr]T;wk∈N(0,Qk)、vk∈N(0,Rk)分别为系统观测噪声和测量噪声。

1.2 非线性Dugoff轮胎模型

本文选用的Dugoff非线性轮胎模型不依赖经验参数[8],忽略轮胎外倾角,仅考虑纵、侧向轮胎力。对模型进行合理简化后的计算方程如下:

(9)

(10)

式中,

(11)

(12)

式中:μ为路面附着系数;Cxij、Cyij为轮胎纵、侧向刚度;αij、λij分别为轮胎侧偏角和纵向滑移率,其中,ij分别为fl、fr、rl、rr。边界值L用于判断当前各轮胎处于线性或非线性状态。

2 基于奇异值分解的平方根容积卡尔曼滤波算法

在CKF的迭代计算中,对矩阵开平方、求逆和转置等操作会破坏协方差矩阵的对称性和正定性,此时运算无法继续进行,导致估计结果准确度降低甚至发散。因此,本文采用QR分解代替Cholesky分解,通过求协方差矩阵的三角平方根因子来代替平方根运算,避免对矩阵求逆和开平方运算,保证了估计系统的稳定性。

本文所考虑的非线性动态系统由以下状态方程和测量方程描述:

x(k)=f(k-1,x(k-1))+q(k-1)

(13)

y(k)=h(k,x(k))+r(k)。

(14)

2.1 预测过程

传统的SCKF在进行初始化时,假设在k时刻,

P(k-1│k-1)=S(k-1│k-1)ST(k-1│k-1)。

(15)

然而实际测量环境中的噪声干扰和CKF的迭代计算会影响式(15)中协方差矩阵P(k-1│k-1)的正定性,因此采用SVD分解进行初始化可以得到:

P(k-1│k-1)=A(k-1│k-1)Λ(k-1│k-1)AT(k-1│k-1)。

(16)

计算状态容积点集χi(k-1│k-1):

(17)

其中n为系统维数。

传播状态容积点:

χi*(k│k-1)=f(χi(k-1│k-1))。

(18)

(19)

S_P(k│k-1)=Tria([X*(k│k-1),SQ(k-1)])。

(20)

式中,Tria(·)表示对矩阵进行QR分解,S_P表示分解后的上三角矩阵。其中,

2.2 更新过程

计算观测容积点集χi(k│k-1):

(21)

传播观测容积点:

χi**(k│k-1)=h(χi(k│k-1))。

(22)

(23)

Syy(k│k-1)=Tria([Y(k│k-1),SR(k)])。

(24)

式中,

Sxy(k│k-1)=X(k│k-1)YT(k│k-1)。

(25)

式中,

(26)

(27)

S(k│k)=Tria([X(k│k-1)-K(k)Y(k│k-1),K(k)SR(k)])。

(28)

2.3 算法复杂度分析

计算资源对于实时的应用程序是至关重要的。为了分析计算成本与状态向量和观测向量的大小之间的关系,本节依据等效浮点操作数对CKF和SSCKF的复杂度进行分析[10]。方程计算复杂度见表1。其中n和m分别表示状态量和观测量的维度。

表1 方程的计算复杂度

文献[10]给出了CKF的算法复杂度:

(29)

SSCKF的基本方程包括公式(15)～(25),(26)～(28),其算法复杂度由表1给出:

(30)

由式(29)～(30)可以分析出,状态向量和观测向量的维数越高会导致算法越复杂,并且涉及到更多矩阵运算的SSRCKF算法复杂度更高。

3 仿真验证

3.1 实验环境设置

本文选择CarSim内置的C级掀背车作为整车模型,在MATLAB/Simulink中建立车辆动力学模型、电机模型和轮胎模型。电机模型和CarSim车辆模型构成分布式驱动电动汽车整车仿真模型,Dugoff 轮胎模型利用车载传感器测得的输入和测量信号估计轮胎力,根据需要设计非线性系统方程,采用一阶欧拉法离散化处理式(8)得到本文所采用模型的状态方程和观测方程,分别如式(31)和(32)所示。

(31)

(32)

假设车辆传感器的采样频率为100 Hz,基于SSRCKF算法的分布式驱动电动汽车状态估计的技术流程图如图2。电机模型根据期望车速vx和转速nij输出期望转矩Tij,Carsim仿真车辆上的车载传感器测量方向盘转角δ、加速度ax、ay、横摆角速度r和轮速ωij,并根据本文研究背景给传感器信号添加非高斯噪声,同时提供给Dugoff轮胎模型估计轮胎力。最后将传感器测量信号作为yk代入到MCSRCKF算法流程中。在两种经典工况下,以相同参数对CKF、UKF、SSRCKF的性能进行了比较。所用车辆的基本参数如见表2。

表2 车辆的基本参数设置

图2 SSRCKF技术流程图

在仿真试验前,根据传感器噪声特性设置过程噪声矩阵和测量噪声矩阵的初始值。本文通过大量仿真实验确定了系统噪声和观测噪声最优值为

Q=0.001×eye(7),

(33)

R=1×eye(7)。

(34)

3.2 实验结果与分析

在本节中,采用双移线和蛇形两个典型工况验证所提出算法的有效性。将本文采用的SSRCKF与传统的CKF和UKF进行相同工况下的仿真对比分析,采用最大误差、平均误差及均方根误差指标来表示不同方法的估计性能。其中均方根误差(RMSE)公式为

(35)

其中M为采样点的个数,k为当前时刻。

3.2.1 双移线工况

在该工况下的附着系数设置为0.85,初始车速设置为80 km·h-1。式(33)和(34)设定了噪声协方差矩阵的初始值,状态向量初始值及其对应的协方差矩阵设定为

x0=[80/3.6,0,0,80/3.6/R0,80/3.6/R0,80/3.6/R0,80/3.6/R0],

(36)

P=diag([0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1])。

(37)

估计器的输入信号和观测信号如图3,CKF、UKF和SSRCKF算法估算车辆行驶状态的仿真结果对比图如图4。

(a)前轮转角 (b)车辆行驶轨迹

(a)纵向车速

由图4可以观察到,双移线工况下SSRCKF的估计效果要优于CKF和UKF,这是因为SSRCKF采用SVD分解降低矩阵对噪声扰动的敏感度,并用QR分解代替Cholesky分解,抑制协方差矩阵非正定时产生的滤波发散问题。双移线工况下各种算法的最大误差、平均误差和RMSE见表3。

表3 双移线工况下各种算法的最大误差、平均误差和RMSE

由表3可知,SSRCKF估计纵向车速时的RMSE相较于CKF和UKF分别降低了99.22%和96.5%,与CKF估计质心侧偏角和横摆角速度时的RMSE相比分别降低了29.46%和97.78%,SSRCKF的估计曲线也最贴近真实值。因此SSRCKF更加适合噪声环境下非线性车辆系统的状态估计,具有强鲁棒性。

3.2.2 蛇形工况

为了进一步验证算法在强非线性极限工况下的适应能力,选择附着系数为0.85、初始车速为95 km·h-1的连续转弯蛇形工况。协方差矩阵由式(33)和(34)设定,状态向量初始值及其对应的协方差矩阵设置为

x0=[95/3.6,0,0,95/3.6/R0,95/3.6/R0,95/3.6/R0,95/3.6/R0] ,

(38)

P=diag([0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1])。

(39)

估计器输入信号和观测信号如图5。CKF、UKF和SSCKF估算车辆行驶状态的仿真结果对比如图6。

(a)前轮转角 (b)车辆行驶轨迹

(a)纵向车速

在蛇形工况下,图4a、4b、4c 分别为纵向车速、质心侧偏角和横摆角速度的对比曲线。由图5可知,CKF在车辆高速转弯的强非线性环境下的估计结果较差,UKF也受到一定程度的影响,破坏了矩阵的正定性。SSRCKF可以最大限度地避免因车载传感器精度下降而产生的异常值数据对正定矩阵的影响,使结果最贴合真实值。蛇形工况下各种算法的最大误差、平均误差和RMSE见表4。

表4 蛇形工况下各种算法的最大误差、平均误差和RMSE

由表4可知SSRCKF估计纵向车速时的RMSE相较于CKF和UKF分别降低了97.12%和49.35%,与CKF估计质心侧偏角和横摆角速度时的RMSE相比分别降低了62.56%和98.97%,SSRCKF的仿真结果与真实值曲线基本吻合,即使在车辆进行连续转弯操作时仍能保持跟踪一致性,表现出最高的估计精度和最强的鲁棒性,且实时性较好。

4 结 论

通过比较分析高速双移线工况和蛇形工况下的仿真实验结果,证明了本文所提出的算法可以准确估计非线性车辆系统的行驶状态。首先基于七自由度车辆动力学模型,结合电机模型和Dugoff轮胎模型搭建了分布式驱动电动汽车模型,其次基于SSRCKF算法精确观测了纵向车速、质心侧偏角和横摆角速度,并将每一时刻的估计值反馈给车辆模型进行下一时刻的计算,彼此信息交换,相互校正。从最大误差、平均误差和RMSE的数值上可以明显看出SSRCKF的估计误差相比CKF和UKF均有较大幅度的降低,从仿真曲线上可以看出在曲线峰值处SSRCKF的估计结果与真实值更加贴合。因此可以充分证实非线性环境下SSRCKF在抗干扰方面表现良好,能够在极端工况下保持较小的波动,具有较强的鲁棒性和实时性,使其快速收敛到真实值,在智能车辆领域有很大的应用价值。