巧用数理结合思想 妙解电荷平衡问题——以2023年高考物理海南卷第8题为例

王 正 王伟民

(1.安徽省阜阳师范大学附属中学,安徽 阜阳 236037; 2.安徽省太和县宫集镇中心学校,安徽 阜阳 236652)

数理结合是解决中学物理问题的重要方法,也是提升学生物理核心素养的主要途径.所以,采用数理结合的方法求解物理问题一直是高考物理的热点问题.通过此类问题的解答,可以有效考查学生应用数学工具解决相关物理问题的能力.

1 原题呈现

例1.(2023年高考物理海南卷第8题)如图1所示,一光滑绝缘轨道水平放置,直径上有A、B两点,AO=2 cm,OB=4 cm,在A、B固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷,现有一个带正电小球静止于轨道内侧P点(小球可视为点电荷),已知AP∶BP=n∶1,试求Q1:Q2是多少

图1 示意图

(A) 2n2∶1. (B) 4n2∶1.

(C) 2n3∶1. (D) 4n3∶1.

这道题目是2023年高考物理海南卷单选题的最后一道题目,处于单选题版块的压轴位置.该题目插图简洁明了,内容短小精干,虽然只有一百多字符,但却把需要交代的物理情景叙述得清楚明白,不存在任何歧义或费解之处,体现了编者高超的编拟原创题目的水平.同时本题也是一道综合性很强的题目,重点考查学生对库仑力公式的掌握情况、矢量合成平行四边形法则的应用水平,以及综合利用数学知识解决复杂物理问题的能力,体现了数理结合的跨学科思想.

2 题目分析及解析

带正电小球受到固定于轨道直径上A、B两点两个正电荷Q1和Q2的库仑力为排斥力,小球能够在光滑圆形轨道内侧P点保持静止,说明它受到两个库仑力F1和F2的合力,不存在过P点圆的切线方向的分量,所以,两个库仑力合力作用线一定过轨道圆的圆心O,如图2所示.设带正电的小球的电荷量为q,则有

图2 受力分析图

所以本题的正确选项是选项(C).

能够发现,这道高考选择题题设给出的用来对带电小球施加压力而与库仑力平衡的光滑轨道,其形状很特殊,是一个光滑圆形轨道,而圆有一个特性,那就是圆上各点的法线方向指向图形上的同一个固定点——轨道圆的圆心,题设给出两个位置固定点电荷到圆心的距离分别是两个具体数据2 cm和4 cm.我们不禁要问,如果这道选择题将圆形光滑轨道改换为其他形状的光滑轨道,相关长度也不再是具体数据,那么,类似问题还可以求解吗?

如图3所示,在光滑水平面内A、B两点固定两个电荷量分别为Q1、Q2的正电荷,MN是该水平面内固定的一段光滑曲线轨道(包括光滑直线轨道——直线可视为曲率半径无穷大的曲线),P是曲线轨道上的一点,直线CD是过P点曲线的切线,直线PO为过P点曲线的法线,该法线与AB的连线交于点O.设PA=n,PB=m,OA=r,OB=p,一个带正电荷的可视为质点的小球,受到Q1、Q2库仑力的作用,如果刚好能够静止在光滑轨道上的P点,我们看下两个固定位置点电荷的电荷量之比应该满足什么条件.

图3 示意图

设光滑轨道上静止于P点带正电小球受到Q1和Q2的库仑力分别为F1和F2,这两个力的合力为F合,设△PAO和△PBO的面积分别为S1和S2.则有

在F1、F2和F合组成的力矢量三角形△PEH中,由正弦定理可得

3 高考题目的变式及解析

3.1 物理公式与几何关系结合进行求解

例2.(变式1)如图4所示,Rt△ADC固定于光滑绝缘水平桌面上,∠A为直角三角形,B是AD边上的一点,已知AC=24 cm,AD=32 cm,AB=25 cm,在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷,沿DC边固定一个光滑的直轨道,现有一个带正电小球放在轨道DC的左下侧(小球可视为点电荷),发现当小球位于DC的中点P时恰好可以保持静止的平衡状态,试求Q1∶Q2是多少?

图4 示意图

带正电小球受到Q1、Q2的库仑力均为排斥力,它能够静止于光滑轨道CD的中点P,说明在P点小球受到两个点电荷库仑力合力的作用线,一定垂直于光滑直轨道CD.过P作PO⊥CD,交AD于O,如图5所示,则直线PO为小球所受两个点电荷库仑力F1和F2合力的作用线.

图5 受力分析图

以上为主要运用图形中的几何关系并结合相关物理公式对问题进行的解析.下面,我们再将光滑轨道变换为用解析式表示的情形,看如何用解析方法对同类问题进行求解.

3.2 物理公式与解析法结合进行求解

图6 示意图

图7 受力分析图

例4.(变式3)如图8所示,光滑绝缘水平桌面上固定一个光滑曲线绝缘轨道MN,在桌面平面内建立的图示坐标系中轨道方程为y=ex,x轴上A、B两点的坐标分别为A(-1,0)、B(2,0),在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷,现有一个带正电小球放在轨道MN右下侧(小球可视为点电荷),发现当小球位于轨道与y轴的交点P时可以保持静止的平衡状态,试求Q1∶Q2是多少?

图8 示意图

图9 位置分析图

4 结语

2023年高考物理海南卷第8题,题目编者巧妙建立物理模型而编拟题目,该问题的求解将数理结合思想展示得淋漓尽致,虽然只是一道内容简短的选择题,但却综合考查了学生对库仑力公式、共点力合成法则等知识点的掌握情况,以及灵活运用数学知识解决物理问题的能力.改换题设给出的部分条件,可以得到与原高考题目物理背景相似的多个不同变式,通过对这些变式问题的深入剖析,进一步强化了我们对数理结合思想的认识,使我们在点电荷受库仑力和光滑轨道压力作用下保持平衡状态这一特定的物理情形中,对相关问题的求解,有了整体性和全局性的把握.