考虑水力效应的裂缝边坡稳定性非线性能耗分析

罗 伟,卢 茜,徐长节,陈静瑜,陶 智

(1. 华东交通大学 土木建筑学院,江西 南昌 330013; 2. 江西省地下空间技术开发工程研究中心,江西 南昌 330013)

0 引 言

裂缝边坡在工程中普遍存在,裂缝的存在对边坡稳定性有着重要的影响[1-2]。地下水易软化边坡土体,增大边坡的下滑力,使边坡的不稳定性增加,甚至诱发滑坡[3]。因此,水力效应对裂缝边坡稳定性的影响机理引起了国内外学者广泛关注。S.UTILI[4]基于极限分析上限法,考虑3种不同裂缝状态 (已知裂缝深度、已知裂缝位置及未知裂缝位置和深度),分析了裂缝对边坡稳定性的影响规律;赵志刚等[5]基于极限分析上限法与强度折减技术,分析了边坡内外水位升降对顺层边坡稳定性的影响;R.L.MICHALOWSKI[6]基于极限分析法,考虑了裂缝中无水及孔隙水压力影响时裂缝对边坡稳定性的影响机理;杜佃春等[7]基于极限分析上限法和强度折减法,分析了孔隙水压力和地震力共同作用下对边坡稳定性的影响;曾润忠等[8]开展降雨与库水位涨落的耦合作用下非饱和复杂土质库岸边坡的渗流与稳定性问题研究;邹飞等[9]基于极限分析上限法,结合线性破坏准则,分析讨论了地下水位升降对裂缝边坡稳定性的影响规律。

试验表明,岩土材料破坏大都呈现非线性特征[10];X.J.ZHANG等[11]提出了幂函数非线性破坏准则,并通过实例验证了基于该破坏准则预测边坡的稳定性具有可行性;赵炼恒等[12]基于极限分析上限法,对比“外切线法”与“初始切线法”得出:非线性破坏准则结合“外切线法”更具合理性;罗伟等[13]基于极限平衡法,结合非线性破坏准则,开展了抗滑桩加固边坡稳定性的作用机理分析研究;YANG Xiaoli等[14]基于“广义切线法”非线性破坏准则,分析了裂缝对竖直边坡稳定性的影响。综上所述,裂缝边坡实际存在3种裂缝状态:已知裂缝深度、已知裂缝位置和未知裂缝位置和深度,而已有研究大多未考虑水力效应对3种裂缝状态的裂缝边坡稳定性非线性的影响。因此,开展考虑水力效应影响的裂缝边坡稳定性非线性极限上限分析研究具有重要意义。

基于极限分析上限定理及强度折减技术,结合“外切线法”引入非线性Mohr-Coulomb破坏准则,考虑水力效应及坡顶裂缝的影响,构建边坡对数螺旋线破坏机制,根据内外守恒原理推导出裂缝边坡安全系数解析式。通过与已有研究对比分析,验证文中理论分析及编程计算的正确性。进一步依托工程实例探究典型因素对裂缝边坡稳定性、临界裂缝及滑动面位置的影响规律。

1 基本原理和基本假设

1.1 非线性破坏准则

非线性Mohr-Coulomb破坏准则的指数形式因能真实地展现非线性Mohr圆包络线,得到了广泛的应用[15],其表达式为:

τ=c0·(1+σn/σt)1/m

(1)

式中:τ为破坏面上的切向应力;σn为破坏面上的法向应力;c0(≥0)为初始黏聚力;σt(≥0)为轴向拉应力;m为非线性系数。

采用“外切线法”[12]引入非线性Mohr-Coulomb破坏准则下的边坡上限分析,绘制示意图如图1,设破坏面上切点的切线方程为:

τ=ct+σn·tanφt

(2)

式中:ct、tanφt分别为切线方程的截距和斜率,其表达式为:

(3)

(4)

当边坡达到临界破坏状态时,经折减后的抗剪强度指标为:

(5)

1.2 基本假设

基于极限分析上限理论,结合“外切线法”非线性Mohr-Coulomb破坏准则时,应用了以下假设[12]:① 所有问题均符合平面应变问题条件;② 岩土材料是理想的刚塑性体;③ 破坏时服从非线性M-C破坏准则,破坏面上某一点对应的抗剪强度指标为ct、φt,且遵循相关联流动法则。

2 安全系数计算方程推导

2.1 边坡的计算模型和几何要素

假定二维计算模型为边坡对数螺旋线破坏模式,裂缝位于坡顶,滑动破坏面穿过裂缝底部且过坡趾下方。其中,对数螺旋线方程为:

R(θ)=R0exp[(θ-θ0)tanφt]

(6)

式中:R0、Rh分别为对数螺旋线的极径;θ0为破坏模式的角度参数;φt为土体内摩擦角。

根据式(6)绘制坡顶裂缝中有水和无水状态时的计算简图如图2,滑动土体块A-B-C-F-D-E-A绕O旋转,CD断面为螺旋滑动面。

图2 裂缝边坡计算简图Fig. 2 Simplified diagram of cracked slope calculation

图2中:O为旋转中心;ω为滑动土体角加速度;W为滑动土体重力;Fw为裂缝中集中水压力;H为边坡高度;β为坡面倾角;a为裂缝深度;aw为裂缝中水位高度;h为地下水位高度;z1、z2、z3分别为坡体3区域内地下水位至滑动面的垂直距离;L1为C点与坡顶缘A点间水平距离;l为裂缝B点与坡顶缘A点间水平距离;L2为裂缝B点与C点间水平距离;θh和β′分别为对数螺旋线破坏模式的角度参数;θ1、θ2、θ3分别为与地下水位有关的角度参数;θc为与裂缝有关的角度。

根据裂缝存在的实际情况,裂缝深度a和裂缝位置l存在的几何关系将从3个方面说明。

2.1.1 裂缝深度a已知

θc可由未知量θ0、θh表示,裂缝位置l和L2为未知量θ0、θh、β′的函数。

etanφtθhsinθh

(7)

(8)

(9)

2.1.2 裂缝位置l已知

θc可由未知量θ0、θh表示,裂缝深度a为未知量θ0、θh的函数。

etanφtθccosθc=etanφtθhcosθh+(etanφtθhsinθh-

(10)

(11)

2.1.3 裂缝深度a和位置l均未知

θc未知,裂缝深度a和裂缝位置l的表达式同裂缝深度a已知和裂缝位置l已知,是未知量θ0、θc、θh、β′的函数。

2.2 安全系数的推导

根据虚功原理[9],外力做功等于内部能耗。即:

Ws+Ww+Wu=Wd

(12)

式中:Ws为边坡滑动体土重所做功率;Wu为孔隙水压力所做功率;Ww为裂缝中水压力所做功率;Wd为内部能耗。

2.2.1 外力做功

1) 重力做功

由图2可知,重力所做功为OCD区土重做功减去OAC、OAD、ADE和BCF区土重做功,BCF区土重做功等于OCF区土重做功减去OCB、OBF区土重做功[16]。

(13)

式中:γ为岩土重度;f1～f4、p1～p3分别为与θ0、θh、β、β′、φt相关的函数。其中:

f1=[e3(θh-θ0)tanφt(3tanφtcosθh+sinθh)-

(3tanφtcosθ0+sinθ0)]/3(1+9tan2φt)

(14)

(15)

(16)

(cotβ′+cotβ)]

(17)

p1=[e3(θc-θ0)tanφt·(3tanφtcosθc+sinθc)-

(3tanφtcosθ0+sinθ0)]/3(1+9tan2φt)

(18)

(19)

sinθ0)

(20)

2)孔隙水压力做功

孔隙水压力做功采用C.VIRATJANDR等[17]的积分法。需分别讨论裂缝中有水和裂缝中无水时,水压力的做功情况如图2。

由图2可知,z1、z2、z3的表达式为:

(21)

(e(θ-θ0)tanφtcosθ-e(θ3-θ0)tanφtcosθ3)tanβ

(22)

(23)

θ1、θ2、θ3的表达式为:

e(θ1-θ0)tanφtsinθ1=sinθ0+(H-h)/R0

(24)

(25)

(26)

3)裂缝中有水

地下水位超过裂缝最底端如图2(a),需考虑孔隙水压力做功和裂缝中水压力做功。

①裂缝中水压力做功

裂缝中水压力计算公式[17]为:

(27)

式中:γw为水的容重;ω为滑动土体角加速度;r0为对数螺旋线θ=θ0时的极径;fw为与地下水位做功有关的表达式,详见文献[17]。由图2(a)可知,孔隙水压力从角度θc开始积分,其中fw的表达式为:

(28)

②孔隙水压力做功

孔隙水压力做功采用积分法,计算公式[17]为:

(29)

式中:f1为与θc至θ2区域孔隙水压力做功有关表达式;f2为与θ2至θ3区域孔隙水压力做功有关表达式;f3为与θ3至θh区域孔隙水压力做功有关表达式 (θc、θ2、θ3和θh为角度参数如图2),详见文献[17]。f1、f2、f3的表达式为:

e3(θc-θ0)tanφt(3tanφtsinθc-cosθc)]-

(30)

[e3(θ3-θ0)tanφt(3tanφtcosθ3+sinθ3)-

e3(θ2-θ0)tanφt(3tanφtcosθ2+sinθ2)]-

(31)

[e3(θh-θ0)tanφt(3tanφtsinθh-cosθh)-

e3(θ3-θ0)tanφt(3tanφtsinθ3-cosθ3)]-

(32)

4)裂缝中无水

地下水位未超过裂缝底端如图2(b),仅需考虑孔隙水压力做功,计算公式同式(29)。f4为θ1至θ2区域孔隙水压力做功有关表达式替换f1,f2与f3的表达式不变。

e(2θc-3θ0+θ1)tanφt)

(33)

2.2.2 内部能耗

(34)

2.2.3 边坡安全系数

根据式(5)和式(12)可得边坡安全系数解析式。

1)裂缝中有水

(35)

2)裂缝中无水

(36)

因为Ct是以φt为变量的函数,即Ct=Ct(φt),f1～f4、p1～p3和f4是与θ0、θh、β、β′及φt相关的函数,所以Fs函数也是以θ0、θh、β、β′及φt为变量的函数。将Fs=Fs(θ0,θh,β′,φt)作为目标函数,通过MATLAB优化计算,求出Fs的最优解,并获取该情况下临界裂缝深度、临界裂缝位置和临界滑动面位置。程序实现过程详见文献[18]。

3 对比分析

3.1 基于线性破坏准则边坡安全系数对比分析

选用J.KIM等[19]中表4的无裂缝边坡算例参数:令边坡高度H=10 m,坡角β=45°,土层参数γ=18 kN/m3,c=20 kPa,φ=15°,计算当地下水位h=2、4、6 m时,基于线性M-C破坏准则的安全系数Fs最优解,与J.KIM等[19]、王均星等[20-21]和邹飞等[9]的研究结果进行对比如图3。由图3可知,结果与已有研究结果相差最大为3.6%,较为接近,验证了文中边坡稳定性理论分析正确性和编程计算的有效性。

图3 边坡安全系数Fs计算结果与已有研究结果对比Fig. 3 Comparison between the calculation results of slope safety factor Fs and the existing research results

3.2 基于非线性破坏准则裂缝边坡稳定系数对比分析

令地下水位高度h=0 m,坡脚β=75°,取土层参数σt=247.3 kPa,c0=90 kPa,γ=20 kN/m3,计算m在1.2～2.0范围,裂缝深度与边坡高度比值a/H=0、a/H=0.1、a/H=0.2、a/H=0.3时的边坡稳定系数Ns最优解。文中结果与X.J.ZHANG等[11]和李得建等[16]的稳定系数最优解对比结果如表1。表1中,m为非线性系数,a/H为裂缝深度与边坡高度比值。由表1可知,与X.J.ZHANG等[11]和李得建等[16]稳定系数相差较小,相差值小于2.4%。边坡稳定系数随着裂缝深度与边坡高度比值的增大而减小,当m不变,a/H=0.3时,稳定系数Ns减小百分比最大为14.31%;稳定性系数Ns随着非线性系数m的增大明显降低,当a/H不变,m=2.0时,稳定系数Ns减小百分比最大可达16.92%,可见非线性系数m对边坡稳定系数Ns影响较为显著。

表1 边坡稳定系数Ns计算结果与已有研究结果对比Table 1 Comparison between the calculation results of slope stability factor Ns and the existing research results

4 工程实例参数分析

江西宜春至遂川高速公路某边坡为超长型缓坡,地下水位较高,汇水面积大,存在煤系地层强度低,遇水软化,坡顶常出现裂缝如图4。根据地勘资料和室内试验,该边坡的坡体材料服从非线性M-C破坏准则,岩土计算参数:边坡高度H=15 m,地下水位高度h=6 m,坡角β= 30°,土层参数γ=18 kN/m3,c=22 kPa,φ=28°,已知裂缝深度与边坡高度比值a/H=0.3,已知裂缝位置l=2.0 m。针对该工程实例,分析典型因素对裂缝边坡稳定性、临界裂缝及滑动面位置的影响。

图4 裂缝边坡工程现场Fig. 4 Site diagram of cracked slope engineering

ZHAO Lianheng等[22]和YANG Xiaoli等[14]研究了非线性系数m为1.0～2.5时边坡稳定性变化情况,笔者选取非线性系数m在1.0～1.6内进行分析。

4.1 裂缝深度已知

采用上述工程实例,分析当裂缝深度已知时,非线性系数m在1.0～1.6范围,地下水位h、裂缝深度与边坡高度比值a/H对边坡安全系数Fs和临界裂缝位置l的影响规律。

4.1.1 地下水位的影响

考虑地下水位变化,以非线性系数m为定量,研究边坡安全系数Fs和临界裂缝位置l随地下水位与边坡高度比值h/H的变化规律如图5。由图5可知:① 随着地下水位与边坡高度比值的增大,边坡安全系数逐渐减小。h由0变化到0.9H,当m=1.0时,安全系数降低了近28%;m=1.6时,安全系数减小达最小为26%,表明线Mohr-Coulomb破坏准则会高估地下水作用对边坡稳定性的影响;② 当m由1.0～1.6时,边坡安全系数减小百分比最大值为34%、最小值为31%,由此可见,非线性系数m对边坡稳定性影响明显;③ 当h为0.7H左右时,裂缝开始进水,临界裂缝位置从逐渐靠近坡顶缘变成远离坡顶缘。笔者已验证当h继续增加到H,m取值为1.4～1.6时,临界裂缝位置呈现出相同变化趋势。表明此时边坡坡面出现裂缝,若安全系数低于临界值时易出现局部失稳滑动;④ 同一水位同一裂缝深度的边坡,临界裂缝位置距离坡顶缘越远且边坡安全系数越低时,随着m的增大,越易导致长距离高速大滑坡。

图5 地下水位与边坡高度比值对安全系数和临界 裂缝位置的影响Fig. 5 Influence of ratio of groundwater level to slope height on safety factor and position of critical cracks

4.1.2 裂缝深度的影响

考虑不同非线性系数m,分析裂缝深度a对边坡安全系数Fs和临界裂缝位置l的影响规律如图6。由图6可知:① 当裂缝深度增加时,临界裂缝位置逐渐靠近坡顶缘,边坡安全系数先减小后增大,变化趋势不明显,与已有研究结论[6]相吻合,相比,非线性系数的变化明显影响边坡的稳定性;② 裂缝深度从0变化到0.4H,临界裂缝位置逐渐向坡顶缘偏移,非线性系数影响裂缝的几何特征,随着m的增大,临界裂缝深度越大,临界裂缝位置距离坡顶缘越远。

图6 裂缝深度与边坡高度比值对安全系数和临界 裂缝位置的影响Fig. 6 Influence of ratio of crack depth to slope height on safety factor and position of critical cracks

4.2 裂缝位置已知

采用上述工程实例,当裂缝位置已知时,分析不同非线性系数m、地下水位h及裂缝位置l对边坡安全系数Fs和临界裂缝深度a的影响规律。

4.2.1 地下水位的影响

考虑地下水位变化,以非线性系数m为定量,分析边坡安全系数Fs和临界裂缝深度a随地下水位与边坡高度比值h/H的变化规律如图7。由图7可知:① 随着地下水位的持续增大,边坡安全系数不断减小,且m越大,边坡安全系数下降幅度越大,边坡不稳定趋势显著增加;② 当地下水位增大到0.7H时,裂缝进水致裂缝内产生水压力,加大了边坡的下滑力,即对裂缝右侧的垂直边坡提供了抗滑力,提高了边坡的临界高度,相当于增加了临界裂缝深度,且地下水位超过裂缝最底端后,临界裂缝深度变化受非线性系数影响越显著。

图7 地下水位与边坡高度比值对安全系数和临界 裂缝深度的影响Fig. 7 Influence of ratio of groundwater level to slope height on safety factor and depth of critical cracks

4.2.2 裂缝位置的影响

当非线性系数m=1.0、1.2、1.4、1.6时,边坡安全系数Fs和临界裂缝深度a随临界裂缝位置l的变化曲线如图8。由图8可知:① 当裂缝距坡顶缘距离从0 m增加到6 m时,边坡安全系数增加趋势缓慢,可见,裂缝位置对边坡稳定性影响很小,相比,非线性系数的增加明显降低了边坡的稳定性;② 随着裂缝与坡顶缘距离的增大,边坡安全系数变化趋势不明显,临界裂缝深度曲线呈现先减小后平缓的趋势,取曲线平缓时对应的裂缝位置为lm,裂缝与坡顶缘距离lm随着非线性系数m的增大而增大 (当m增大0.2时,lm增大约1 m)。

图8 裂缝位置对安全系数和临界裂缝深度的影响

4.3 裂缝位置和裂缝深度均未知

当裂缝位置和裂缝深度均未知时,分析不同非线性系数m、地下水位h对临界裂缝和滑动面位置的影响规律如图9。由图9可知:① 临界裂缝深度a随着地下水位h的升高逐渐增大,随着非线性系数m的增大逐渐增大;② 临界裂缝位置l随着地下水位h的升高逐渐向坡顶缘偏移,随着非线性系数m的增大而逐渐远离坡顶缘;③ 随着非线性系数m的增大,边坡潜在滑动面向坡内移动,滑坡体体积逐渐增大。

图9 地下水位对临界裂缝和滑动面位置的影响Fig. 9 Influence of groundwater level on critical crack and sliding surface position

若坡内地下水位情况已知,可根据本程序初步快速得到该状态下的安全系数、裂缝的不利位置和临界深度,便于工程实际运用。若边坡安全系数低于临界值,工程中必须采取一定的处治措施,对存在裂缝的边坡应考虑填充裂缝或降低坡内地下水位,以期降低坡体自重,减小边坡下滑力,提高边坡稳定性。

5 结 论

基于极限分析上限定理及强度折减技术,结合“外切线法”非线性Mohr-Coulomb破坏准则,构建了坡顶含竖直裂缝的边坡对数螺旋线破坏模式,推导出含地下水的裂缝边坡安全系数解析式,通过MATLAB优化计算,与已有研究结果对比分析,验证了笔者理论推导与编程计算的正确性。并通过裂缝边坡工程实例,开展了典型因素对裂缝边坡稳定性、临界裂缝及滑动面位置的影响研究。可得如下结论:

1) 边坡安全系数Fs随着地下水位h的上升而降低,临界裂缝深度a随着地下水位h的上升而增加;随着地下水位h上升,临界裂缝位置l逐渐向坡顶缘偏移。

2)非线性系数m明显影响边坡的稳定性,边坡安全系数Fs随非线性系数m的增加显著降低;采用线性Mohr-Coulomb破坏准则会高估地下水作用对边坡稳定性的影响;地下水位越过裂缝底端后,临界裂缝深度受非线性系数m变化更加明显。

3)随着非线性系数m的增大,临界裂缝深度越深,临界裂缝位置距离坡顶缘越远,边坡潜在滑动面逐渐向坡内移动,滑坡体体积亦越大;随着非线性系数m的增大,裂缝位置lm逐渐远离坡顶缘 (当m增大0.2时,lm增大约1 m),且随着裂缝逐渐远离坡顶缘时,边坡安全系数变化并不明显,临界裂缝深度呈现先减小后平缓的趋势。

相关研究内容还有待改进和完善,比如:坡顶裂缝后侧土体的稳定情况还需深入探讨,后续拟拓展相关进一步研究,以期为边坡工程实践提供有益指导。