基于变分模态逐步抽取的结构弱模态识别

姚小俊，吕玉春

(河北工业大学土木与交通学院，天津 300401)

结构模态参数包括结构固有频率、振型、阻尼比等，是反应结构动力特性的重要参数。在环境荷载的持续作用下，结构会产生损伤甚至发生破坏，而结构的损伤必然会导致结构动力特性的变化[1-2]。因此，如何准确识别结构模态参数是结构健康监测的关键问题。结构的模态参数识别属于振动问题中的逆问题[3]，即对结构施加人工激励，通过激励与响应求得系统参数，但结构在服役期间会受到环境激励影响，而环境激励难以准确测量。因此仅利用结构响应进行模态参数识别得到了广泛的研究。

传统的基于输出的模态参数识别方法有时域法和频域法，频域方法有峰值拾取法、最小二乘复频域法等，时域方法包括自回归滑动平均模型法、自然激励技术法和Ibrahim 时域法等。由环境激励产生的多为非平稳信号，上述方法虽容易实施，却大多只能用于处理平稳振动信号。

基于时频域的识别方法可以同时反应时域和频域的信息，适用于处理非线性非平稳信号，其中，短时傅里叶变换(Short-Time Fourier Transform,STFT)、小波变换(Wavelet Transform, WT)和希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang Transform, HHT)得到了广泛的应用。STFT 方法是在傅里叶变换方法的基础上加了一个窗函数，但窗函数的大小与形状固定，无法随时间及频率变化。WT 方法的窗函数可以随时间改变，但依然存在窗函数的局限性[4]。HHT 是一种时间分辨率较高的时频分析方法，它基于经验模态分解(Empirical Mode Decomposition,EMD)算法与希尔伯特变换(Hilbert Transform, HT)，属于一种自适应的信号处理方法，但由于缺乏数学理论依据，HHT 的鲁棒性较低[5]。

针对以上困难， DRAGOMIRETSKIY 和ZOSSO[5]提出了变分模态分解(Variational Mode Decomposition, VMD)算法，VMD 是一种自适应、完全非递归的信号处理方法，它将模态分解问题转化为变分约束问题，通过迭代求解最优解来实现模态分量的分离。NI 等[6]将VMD 与HT 相结合，应用于时变系统的模态参数识别；殷红等[7]提出将VMD 与随机子空间法结合的方法，来识别结构固有频率和阻尼等模态参数；ZHANG 和XU[8]将VMD 用于自由振动响应及环境振动响应的模态参数识别。VMD算法已得到了广泛的应用，但提取结果受模态个数K 值的影响较大，在此基础上，NAZARI 和SAKHAEI[9]提出了变分模态提取(Variational Mode Extraction, VME)算法，假定提取特定模态后的残差信号在模态中心频率处应无能量或能量较低，用于提取特定模态。经验证，该方法在处理心电图衍生呼吸信号时具有较好的精度，并且在消除脑电图眨眼现象和检测电能质量方面取得了较好的成果[10-11]，但在结构模态识别领域还没有应用。

由于环境激励的能量无法控制，在实际模态识别过程中通常存在能量较弱的模态。实际测量过程中获得的响应信号的各阶特征能量往往相差悬殊，且低信噪比情况下较弱的模态易淹没在噪声中，导致难以被识别。为解决这些问题，LIU等[12]提出了一种重构新响应的改进模态参数识别方法，通过限制通带与中心频率，并结合特征系统实现算法，识别出结构弱模态参数，随后LIU等[13]又提出通过重构离散时间序列方法来识别高水平噪声下的弱模态参数。姜贞强等[14]提出一种基于极值留数分解来识别弱模态参数的方法。贾天娇和岳林[15]提出相关函数与传递率联合求弱响应模态的方法。虽然此类方法针对弱模态问题进行了研究，但此类方法极少涉及模态振型的求解。

本文提出了基于VME 的高能量模态重复抽取的弱模态识别方法，利用自回归(Autoregressive,AR)功率谱法进行初始中心频率的选取，基于VME 重复抽取能量较大的模态成分，进一步提出了基于主成分分析法的振型识别方法，实现了结构弱模态固有频率与振型的识别。通过地震作用下十自由度结构数值模拟验证该方法在非平稳激励下的有效性，并使用该方法对环境激励下IASCASCE 结构健康监测基准模型试验数据进行分析，以验证该方法在实际结构中的适用性。

1 理论背景

1.1 基于VMD 的模态识别

VMD 是一种新型时频域信号分析方法，它将一个振动信号分解为多个单分量，即固有模态函数(Intrinsic Mode Function, IMF)，IMF 在 频 域 具有特定的稀疏性。VMD 假设每阶模态在频域的带宽一定，且在中心频率附近是紧凑的。VMD 将每个IMF 定义为调幅-调频信号[5]：

式中：Ak(t)和φk(t)分别为信号的幅值和相位函数，瞬时频率ωk(t)=φ′k(t)和幅值的变化都比相位变化慢得多。

VMD 的核心思想为通过构建并求解变分约束问题来获取单分量[16]，随后通过维纳滤波对单阶IMF 进行更新，其中采用希尔伯特变换、频移处理以及高斯平滑估计来估计带宽，变分约束问题描述如下：

式中： δ(t) 为 狄拉克函数；uk为第k阶本征模函数；f为原信号。

根据结构动力学理论，结构的振动微分方程为：

式中：M、C和K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵；X(t) 为结构的位移向量；F(t)表示作用在结构上的激振力。

根据振型叠加原理，结构的加速度响应表示为：

式中：φj为第j阶模态振型向量；Φ为其组成的矩阵；q¨j(t)为相应的模态响应；Q¨(t)为由其组成的模态响应矩阵。第j阶模态响应的表达式为：

式中：a(t) 为 与激励有关的幅值； ξj为第j阶阻尼比；ωj和ωdj分别为第j阶固有频率和阻尼频率。对比式(1)和式(5)可以发现，结构的模态响应符合本征模函数的假定，因此，结构模态参数的识别可通过VMD 提取本征模函数后，进一步提取各阶模态参数。

1.2 VME 理论介绍

VMD 能够一次将所有模态分量分解出来，因此在使用VMD 时需要给出准确的模态分量个数。如果执行一次分解只提取某一阶感兴趣的模态分量，则VMD 无法实现。为此，NAZARI 和SAKHAEI[9]在VMD 的基础上提出了抽取指定中心频率下模态成分的VME 方法。

VME 通过给定中心频率的近似值来抽取中心频率附近的期望模态，并通过使带宽最小来求解。VME 模型建立在两个假设的基础上：

1)与VMD 相同，VME 要求期望模态在中心频率附近是紧凑的，通过以下模态带宽最小化标准来确定：

2)通过使期望模态ud与残差信号fr的频谱重叠最小，来保证提取的完全性，为此，使用了如下滤波器来分离中心频率ωd附近的频率分量[9]：

α用来调节带宽，该滤波器βˆ(ω)在ω=ωd处的灵敏度无限大，因此，考虑以下罚函数来最小化频谱重叠：

β(t)为此滤波器的脉冲响应，VME 假设输入信号会被分解成一个期望模态与一个残余信号，并通过以下约束最小化来找到期望模态[9]：

为了求解约束问题，引入了二次惩罚项和拉格朗日乘数：

式中： λ为拉格朗日乘子，利用Parseval 定理等一系列数学表达式对式(7)进行简化，并使用交替方向乘子法进行求解，给定期望中心频率以及拉格朗日乘数的初始值，可得到ud、ωd和 λ的迭代更新结果：

ˆund(ω)为模态第n次迭代的傅里叶变换，循环迭代直到满足收敛条件：

2 基于VME 高能量模态逐步抽取的弱模态识别

2.1 高能量模态定位

VME 可以根据给定期望中心频率提取其附近的模态，因此应用VME 对信号进行模态抽取时，需要对期望中心频率进行定位。算法的抽取结果会受到初始参数的影响，文献[17]中通过预设不同VMD 初始参数，来分解滚动轴承故障信号，说明了选取不同的初始中心频率对VMD 算法的分解结果和效率有较大的影响。为了将高能量模态分量抽取出来，达到放大弱能量模态成分的目的，准确获取高能量模态分量的初始中心频率在VME 进行之前十分重要。

AR 功率谱估计方法是一种以AR 参数模型为基础的谱估计方法，通过计算AR 系数来计算观测信号的功率谱密度。当采样点数较多时，经典谱估计方法得到的结果毛刺较多，AR 功率谱估计法的结果则更加平滑，且采样点少时AR 功率谱的分辨率更高。线性系统的AR 模型可定义为：

式中：X(n)为线性系统的输出；k为AR 参数的个数；p为AR 模型的阶数；ap,k为AR 系数；W(n)是均值为零，方差为 σ2k的白噪声序列。AR 模型的输出功率谱为：

AR 模型的系数通过Burg 法计算：

式中， γk为根据前后向预测误差求得的反射系数。

运用AR 谱进行计算的关键是AR 模型阶的确定。阶选的太低会导致谱平滑的厉害，太高会导致出现虚假谱峰[18]。本文选用最终预测误差(Final Prediction Error, FPE)准则来判断最优阶次，FPE准则计算公式为：

式中：N为采样点数；p为使右侧结果达最小值所确定的最优阶次。若无法指定较准确的初始中心频率，则VME 无法准确完成模态提取。AR 功率谱可以直观地反映信号不同频率处的能量情况，给出所有响应的AR 功率谱平均，通过选择AR 功率谱能量最大的峰值，可以准确地进行频率定位，得到用于模态抽取的中心频率，解决了VME提取的关键问题。

2.2 基于VME 的高能量模态逐步抽取

在实际工程情况中，低阶的强模态与高阶的弱模态能量差距悬殊，且环境中存在噪声时，弱模态容易淹没在噪声中，因此很难通过增加VMD的模态数量实现弱模态的准确提取。

为了防止遗漏弱模态，采用VME 逐步抽取能量较大的模态分量，从而逐步降低模态能量之间的差距，达到放大弱模态的作用。首先采用AR 功率谱获取能量贡献最大的中心频率，接着利用1.2 节的VME 方法，从结构响应中抽取此阶强模态ud，得到的IMF 可用于各阶模态参数识别。

抽取一阶模态分量后，将该阶模态成分从原始结构响应中减去，并将剩余部分代替原始结构响应继续进行高能量中心频率的获取和高能量模态成分的抽取：

重复该步骤，逐步抽取全部强模态。按照能量从大到小的顺序确定中心频率并分别提取模态分量，可以使高阶的弱模态暴露出来，避免遗漏，实现弱模态响应的提取和参数识别。

2.3 基于主成分分析法的振型识别

主成分分析法(PCA)由Pearson 于1901 年提出，是一种线性数据降维方法[19]，可以在尽量保证“信息量不丢失”的情况下[20]，对原始数据进行降维处理，最终使重构的成分具有全新正交特征。

振型的估计需要对不同传感器位置的响应进行模态分解，将第i个位置的传感器响应分解得到的第j阶IMF 记为，由式(1)可知，各阶IMF 为振型系数与模态响应的叠加[21]，则第j阶IMF 为：

因此，第j阶振型向量为uj(t)的唯一的主成分。但由于误差的影响，通过VME 得到的IMF 可能包含多个一维向量，因此可以采用PCA 来计算结构振型。若IMF 样本矩阵uj=[uj1,uj2,...ujN]为零均值过程，则其主成分分析模型为如下特征值分解：

式中：Rj为协方差矩阵； Λj为由特征值组成的对角矩阵；Pj=[pj1,pj2,...,pjn]为特征向量组成的标准正交矩阵，第一个主方向pj1即为第j阶 振型φj的估计。

2.4 流程总结

首先，通过加速度响应信号的AR 功率谱，来定位功率谱中能量贡献较大的模态，同时识别此阶模态的中心频率；其次，采用VME 抽取此阶模态成分，将高能量模态成分从原信号中减去，得到残差信号，并将其代替原信号继续用于AR 功率谱识别，如此重复，通过抽取较强模态，可以使弱模态暴露出来，最后利用PCA 对各模态成分进行处理，得到结构的固有频率和模态振型。该算法的流程如图1 所示。

3 数值模拟验证

以地震作用下模拟线性十自由度结构为例，结构每层质量为105kg，每层刚度为2.1×108kN/m，阻尼矩阵与质量矩阵成正比，阻尼系数为0.6，一阶阻尼比为4.38%，该结构的激励采用了El Centro地震波9 号阵列记录的水平加速度信号，地震动具有非平稳特性，因此地震作用下的响应信号为非平稳信号[22]，采样频率为200 Hz[23]，为了验证所提基于VME 的弱模态识别方法在有噪声情况下识别弱模态的能力，对上述地震信号添加信噪比(Signal-Noise Ratio, SNR)为30 dB 的高斯白噪声，噪声强度信噪比的定义为：

图2 结构响应及残差信号的AR 功率谱Fig.2 AR power spectra of the structural response and the residual signal

频域分解法[24](Frequency Domain Decomposition, FDD)为一种模态识别的频域方法，通过对功率谱密度函数进行奇异值分解，再对分解得到的单自由度功率谱密度函数进行峰值拾取。为了证明VME 的有效性，采用FDD 与VMD 对响应进行分解，并通过PCA 进行模态参数识别，并通过模态置信准则(Model Assurance Criteria, MAC)来评估振型识别的准确性，其表达式为：

式中：φˆi与φi分别代表理论模态振型与识别模态振型的第i列，MAC 值代表模态振型向量之间的相关性，其值越接近1，说明两者相关性越高[21]。

表1 列出了所提基于VME 的方法、VMD 与FDD 三种方法的模态参数识别结果，其中VMD无法识别第十阶模态，FDD 的第十阶模态振型结果在0.9 以下，而所提方法的各阶振型识别MAC值均在0.99 以上，振型识别结果良好，且可以很好的完成弱模态参数识别。振型识别结果如图3所示，结果验证了所提方法在弱模态识别中的抗噪性能与优越性。

为了进一步验证该方法在低信噪比情况下的适用性，对信噪比为10 dB 的情况进行了研究，采用所提方法识别的模态参数结果列于表1 最后两列，通过分析得知所提方法在信噪比为10 dB时也能够得到较为准确的识别结果。

4 基准模型试验验证

在本节中，使用IASC-ASCE 结构健康监测工作组开发的实验基准结构在环境激励下测量的响应来提取结构模态参数，并将FDD、VMD 与所提基于VME 方法的识别结果进行比较。实验结构为4 层，高3.6 m 的钢框架结构，平面尺寸为2.5 m×2.5 m，由2 个×2 个共4 个隔间组成，框架结构如图4 所示[25]。结构响应由每层3 个单轴加速度计测量，加速度计部署的俯视图如图5 所示[26]。在南北方向设置两个同向的加速度计，第三个加速度计设置在东西方向。

图4 IASC-ASCE 试验基准结构(照片由加拿大哥伦比亚大学Carlos Ventura 教授提供)Fig.4 IASC-ASCE benchmark structure (photo courtesy of Professor Carlos Ventura, UBC).

此处研究工况1，即未损伤的情况，使用了总持续时间为300 s，采样频率为200 Hz 的时间历程。将环境激励下FDD 识别出的东西、南北和扭转方向的前2 阶模态作为参考值，并与VMD、VME 识别结果进行比对。频率识别结果以及振型MAC 值见表2，振型识别结果如图6 所示。可以看出，三种方法识别出的固有频率结果十分接近，VMD 与VME 两种方法的南北方向、扭转方向第一阶与东西方向，南北方向第二阶振型MAC值均在0.99 以上，而东西方向第一阶与扭转方向第二阶模态振型MAC 值较小，识别出的振型图出入较大，对比每一阶振型走势，结合文献[27]中振型识别结果，可以判断出所提VME 方法的识别结果更准确，证明了所提方法在环境激励下实际结构模态参数识别的有效性。

表2 四层钢框架结构模态参数识别结果Table 2 Identified modal parameters of the four-story steel frame structure

图6 四层框架结构振型识别结果Fig.6 Identified mode shapes of four-story frame structure

5 结论

本文提出了一种基于VME 的结构弱模态参数识别方法。该方法通过AR 功率谱定位和重复进行VME 抽取高能量模态成分达到增强弱模态成分的目的。通过一个数值算例和一个试验结构的数据分析对所提出的方法进行了验证，结果表明：

(1) AR 功率谱具有抗噪性强、分辨率高且功率谱曲线平滑等特点，可以准确地选取VME 所需的初始中心频率。

(2) VME 能够在一次分解过程中仅提取一阶目标模态成分，重复进行高能量模态的抽取能够达到逐步放大弱能量模态的效果，从而提高弱模态识别的准确性。基于PCA 的振型识别方法能够有效利用多通道数据的IMF 提取结构的振型。

(3) 数值算例和试验结构数据分析结果表明，所提方法能够有效识别环境激励和地震激励且含噪条件下结构的弱能量模态参数。