变截面钢桁腹混凝土组合梁-钢腹杆剪应力计算

刘亚琴，杨霞林

（兰州交通大学 土木工程学院，甘肃兰州 730070）

0 引言

钢桁腹-混凝土组合梁桥采用钢腹杆取代传统混凝土箱梁中的混凝土腹板，通过节点与混凝土顶、底板进行有效连接，并形成一个共同受力体系。钢桁腹-混凝土组合梁示意图1 所示，因其具有轻巧美观、通透性好、跨越能力强及能较好改善混凝土腹板易开裂问题等优点，在大跨径桥梁中具有一定的实用性、经济性和竞争性[1-2]。对于钢桁腹-混凝土组合梁桥，国际上已有不少工程实例[3]，国外学者针对该类桥型节点部位在不同连接方式下的受力特性等展开了一系列设计计算及试验研究工作[4-6]。目前国内关于钢桁腹-混凝土组合梁的研究主要集中在剪力滞效应[7]、节点受力特性[8]、受弯性能[9]等方面。王彤等[2]人提出了利用抗剪等效的原则将钢桁腹-混凝土组合梁换算为薄壁箱梁的计算理论，张岩[10]、于小芹[11]等人基于此等效原则展开了对该桥型的挠度计算及扭转性能研究。

图1 钢桁腹-混凝土组合梁示意图

在等截面钢桁腹-混凝土组合梁的抗剪计算中，一般认为剪力仅由钢腹杆承担[3]；与等截面梁不同的是，变截面梁由于附加剪应力的存在使得应力重分布，导致混凝土板承剪不可忽略[12]。若在分析变截面钢桁腹-混凝土组合梁的钢腹杆的剪应力问题时，只考虑由剪力产生的剪应力，这与实际抗力组成存在一定差异，故需要对变截面钢桁腹-混凝土组合梁的剪应力计算方法进行优化。

本文主要探讨钢腹杆在变截面钢桁腹-混凝土组合梁中的抗剪性能，钢腹杆的抗剪能力主要表现为腹杆轴力的竖向分量，由于钢腹杆为离散杆件，平截面假定不再适用，无法建立适用的微分方程，故首先按照剪切变形一致的原则，将钢桁腹组合梁转换为连续体系的等效组合梁[2-3]，考虑混凝土顶、底板参与抗剪，计入轴力、弯矩、梁高等影响因素，基于变截面波形钢腹板组合箱梁剪应力计算理论[13-15]，在此基础上，推导变截面钢桁腹-混凝土组合梁钢腹杆的剪应力计算公式、钢腹杆的剪应力沿纵桥向变化规律及剪力分配率；同时结合算例和有限元进行分析，验证本文计算方法的合理性，为钢桁腹-混凝土组合梁的设计提供参考依据。

1 等截面梁剪应力计算理论

对于斜钢腹杆，由于腹杆的不连续性，在进行计算时需根据剪切变形相等的原则，参考文献[2]的换算方法，将斜钢腹杆转换为具有等效厚度的平钢腹板，假设等效钢腹板的厚度为te，则：

式中，E为钢材弹性模量；G为钢材剪切模量；b、h分别为斜钢腹杆的水平和竖向投影长度；d为斜钢腹杆的长度；As为斜钢腹杆的横截面积。

1.1 忽略混凝土板承剪的剪应力计算理论

若认为截面剪力仅由钢腹杆承担，假设截面剪应力沿梁高方向均匀分布，各个杆件的受力符合小变形假定且均在弹性范围内，则此时钢腹杆的竖向剪应力τs计算公式为：

式中，V为截面竖向剪力；Ae为斜钢腹杆的抗剪面积；n为横截面上腹板数量；b为钢腹杆截面总宽度，即b=n⋅te。

1.2 考虑混凝土板承剪的剪应力计算理论

在结构处于线弹性状态下，若在等截面梁剪应力计算中，考虑混凝土顶、底板承担部分剪力，基于材料力学等截面梁剪应力计算公式，则此时斜钢腹杆的剪应力计算公式为：

式中，S为截面静矩，计算时忽略钢腹杆的截面静距；I为截面抗弯惯性矩，计算时忽略钢腹杆纵向抗弯惯性矩，

2 变截面梁剪应力计算理论

如图2 所示，将变截面钢桁腹-混凝土组合梁横截面等效为矩形箱梁，取变截面钢桁腹-混凝土组合梁一个微元段dx进行分析，该微元段示意图如图3 所示，该微元段在竖向剪力V、轴力N 及弯矩M 共同作用下，变截面钢桁腹-混凝土组合梁的剪应力τ为：

图2 组合梁等效截面

图3 变截面梁微元段受力

如图3 所示，微元体处于平衡，以微元段左侧截面为研究对象，对右侧截面形心点处取矩，可得：

式中，θ为微元段纵截面形心连线与水平线的夹角。

由材料力学公式可得，任意计算截面正应力σ计算公式为：

式中，A为混凝土顶、底板截面面积之和，A=b1t1+b2t2;ys为截面形心距截面上缘的距离。

为计算横截面任意计算位置处的剪应力τ，选取微元段水平线a-a’以上隔离体作为研究对象，隔离体沿水平方向合力为0，可得：

式中，F x为计算点以上区域内水平力合力，因y≤ys，可将隔离体Fx的作用点取在顶板形心处，则：

根据式（8）—（9），当忽略轴力N 在微元段内的变化，即dN/dx=0，此时等效钢腹板的剪应力计算公式为：

将式（6）代入式（10），整理得变截面梁剪应力计算一般公式为：

将式（11）与式（6）联立，即可得到分别由竖向剪力V、轴力N 及弯矩M 产生的剪应力数值。

若式（11）中的微分项和截面倾角均为0，即梁高、底板厚度均不沿梁的跨径方向变化，则该式就转换为等截面梁剪应力的计算公式（3）。与计算等截面梁剪应力不同的是，变截面梁剪应力除计算由剪力V 产生的剪应力外，还需考虑轴力N 和弯矩M引起的附加剪应力的叠加，后两者仅存在于变截面梁的剪应力计算中。本文基于等效组合梁来研究钢腹杆的剪应力，则剪应力计算点应选取在等效钢腹板上，即t1＜y≤H−t2，忽略等效钢腹板截面面积时，其计算点位置应位于混凝土顶板与等效钢腹板相交处，即y=t1、A1=Aa、S1=Sa，此时式（11）中各微分项表达式为：

根据形心轴的定义，即截面形心轴上下区域对形心轴的静距在数值上恒等，即S1=S2，所以式（15）可简化为：

其中：

式中，b1、b2、t1、t2为混凝土顶底板的宽度和厚度；A1为混凝土顶板的截面面积；S1、S2分别为混凝土顶、底板对形心轴的截面静矩；y x为截面形心距截面下缘的距离；tanα、tanβ分别表示底板厚度和梁高沿梁跨径方向的变化率。

将式（12）—（17）代入式（11），得到不考虑等效钢腹板面积时变截面钢桁腹-混凝土组合梁剪应力计算表达式为：

分析式（19）和式（20），可得到k N＜ 0、k M＜ 0，则可知由轴力和弯矩产生的附加剪应力与剪力产生的剪应力方向相反；对于同一截面尺寸和同一材料的等截面梁和变截面梁，经计算得到的剪应力值变截面梁小于等截面梁。

3 算例验证

本文结合一座实桥算例验证，选取变截面钢桁腹-混凝土组合梁一个边跨为例，截面尺寸图如图4、图5 所示，该梁顶、底板宽度及厚度均不沿跨径方向变化，仅梁的高度沿跨径方向变化，梁底沿跨径方向呈抛物线变化。主梁为单箱单室截面，顶板和底板宽分别为5.5 m 和3.4 m，悬臂梁端部梁高为2 m，根部梁高为3.5 m，跨径为29.92 m。混凝土顶底板采用C50，其中弹性模量和泊松比分别为3.45×104MPa 和0.2；钢腹杆采用方形钢管，其中弹性模量和泊松比分别为2.06×105MPa 和0.3。本文在变截面钢桁腹悬臂梁端部作用一竖向集中荷载P=1 000 kN，分析变截面钢桁腹-混凝土组合梁钢腹杆剪应力问题。

图4 悬臂梁端部和根部横截面尺寸图（单位：mm）

图5 悬臂梁纵截面尺寸图（单位：mm）

3.1 截面参数计算

为使计算结果精确化，如图5 所示，本文选取距悬臂梁端部28.52 m、21.62 m、15.12 m、9.12 m、3.12 m 处的5 个横截面作为计算截面，分别记作A-A´、B-B´、C-C´、D-D´、E-E´截面。

本文为简化计算，将图4 所示变截面钢桁腹组合梁横截面按以下条件转换：混凝土顶板厚度取顶板跨中厚度、底板厚度按照等面积换算，按式（1）计算等效钢腹板的厚度，变截面钢桁腹-混凝土悬臂梁端部及根部横截面计算简图如图6 所示。由式（11）可知，该式的实际计算较为繁琐，因此可先求出计算截面的I、Sa、Aa等其他参数具体值，再计算相邻截面的对应参数变化率，作为该参数在计算截面的微分值，以此类推，得到计算截面A-A´、B-B´、C-C´、D-D´、E-E´的相关几何参数，如表1所示。

表1 计算截面主要参数

图6 悬臂梁端部和根部横截面计算简图（单位：mm）

3.2 钢腹杆剪应力及承剪比

一般认为，钢-混组合梁中主要为混凝土板受弯，钢腹板受剪，但这种忽略混凝土顶、底板承剪能力的设计计算方法偏于保守，故在此计算混凝土板参与抗剪时钢腹杆的承剪比例。对于变截面钢桁腹组合梁的钢腹杆承剪比，可通过下式计算：

式中，Vs为等效钢腹板或钢腹杆所承担的剪力；Vc为混凝土板所承担的剪力。

根据式（2）计算忽略混凝土板承剪时等效钢腹板剪应力记作τ1；按照式（3）和式（21）计算考虑混凝土板承剪时等截面梁等效钢腹板剪应力及承剪比，分别记作τ2、η f1，如表2 所示。

表2 等截面梁等效钢腹板剪应力及承剪比

按照式（18）和式（21）计算考虑混凝土板承剪时等效钢腹板剪应力及承剪比，如表3 所示。

表3 考虑混凝土板承剪的变截面梁等效钢腹板剪应力及承剪比

由表2 和表3 可知，在集中荷载作用下，越靠近悬臂梁根部负弯矩越大，等截面梁与变截面梁等效钢腹板承剪比相差越大，差值占比约79.75%；对变截面梁来说，悬臂梁端部钢腹杆承担约81.48%的剪力，而悬臂梁根部混凝土板承担约89.10%的剪力，故在变截面钢桁腹-混凝土组合梁的抗剪计算中混凝土板承剪不可忽略。

4 解析法和有限元对比分析

4.1 有限元模型

为验证上述理论计算方法的合理性与适用性，利用ANSYS 有限元软件进行模拟，其中混凝土板采用Solid185 单元，钢腹杆采用beam188 单元，有限元模型如图7 所示。混凝土和钢材均视为是各向同性材料，在建模时混凝土顶、底板与钢腹杆的接触部位采用共节点耦合连接，变截面钢桁腹-混凝土悬臂梁根部采用固端约束，端部为自由度无约束，在悬臂梁端部施加一竖向集中荷载P=1 000 kN。

图7 有限元模型示意图

4.2 对比分析

由表4 分析可知，由于钢腹杆的不连续性、钢腹杆的等效方法存在的差异性，导致截面B-B´的计算结果相对误差较大，其余截面的理论值与有限元值总体上吻合良好，故本文的计算方法具有一定的合理性。

表4 变截面梁钢腹杆剪应力解析法与有限元法对比

由图8 和图9可知：

图8 钢腹杆剪应力变化图

图9 等效钢腹板剪应力分配比

1）变截面钢桁腹-混凝土组合梁在集中荷载作用下，从悬臂梁端部到根部，钢腹杆的剪应力呈现逐渐减小的趋势，不同计算方法得到的剪应力变化趋势基本相同；在计算变截面钢桁腹-混凝土组合梁的钢腹杆剪应力时，忽略混凝土板抗剪和变截面效应的影响，会使最终结果产生较大误差。

2）变截面钢桁腹-混凝土组合梁钢腹杆的总剪应力值小于由剪力产生的剪应力值，越靠近悬臂梁根部，弯矩产生的附加剪应力越是逐渐增大，钢腹杆的剪应力逐渐减小，且根据表3 可知，从悬臂梁端部到根部，钢腹杆的承剪比例在减小。

5 结论

1）由于钢腹杆的稳定性较好，因此在等截面钢桁腹混凝土-组合梁的抗剪计算中，可忽略混凝土顶底板的抗剪能力；变截面钢桁腹-混凝土组合梁抗剪计算中需考虑由轴力和弯矩产生的附加剪应力，且该部分附加剪应力的方向与由剪力产生的剪应力方向相反。

2）对于变截面钢桁腹悬臂梁，从梁端部到根部，负弯矩逐渐增大，钢腹杆的承剪比例逐渐下降；在悬臂梁的根部截面，混凝土板的承剪比例达到最大，表明在设计计算时混凝土板的抗剪作用不可忽略。

3）在变截面钢桁腹-混凝土组合梁设计时，若忽略顶底板的承剪能力会使得计算结果过于保守，在考虑经济方面后这种设计方法欠妥，因此在进行精细化设计时应优化设计方法。

4）本文关于变截面钢桁腹-混凝土组合梁的剪应力计算公式仅考虑了线弹性状态下的受力阶段，在初步设计时具有一定的参考意义，但组合梁构件在实际工作中会存在材料和几何非线性问题，故仍需在后续设计中进一步研究。