无失效数据场合下Pareto分布可靠度的Bayes估计

汪茜熙

（西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637009）

0 引言

在测试产品的可靠性时，由于时间和实际试验条件的约束，一般获得定时截尾或定数截尾数据.在以前的产品质量不太高的情况下，通常都有失效数据的产生.然而，在科技飞速发展的今天，人们对生活水平的要求日益提高，产品的质量也有了更高的标准.对于高可靠性设备，在寿命试验中几乎不会产生失效数据，因此很难准确评估设备状态，这样的试验获得的数据称为无失效数据.这类数据的处理一般不采用传统数理统计的方法，而是用Bayes方法处理［1-2］.

Pareto 分布是一种重要的寿命分布，被提出后常应用于生存分析、可靠性理论、个人收入、股票价格的波动等模型中.Pareto分布的概率密度函数和分布函数为

其中α>0，θ>0.近年来也有越来越多的专家学者针对Pareto分布得到了很多研究成果.He Yi 等［3］通过拟合超越阈值的广义帕累托分布来计算金融损失的风险价值；Lang Shuipeng等［4］给出了一种快速求解截断极大似然方程的迭代方法，进而给出了pareto分布的截断极大似然估计；龙兵等［5］基于双定数混合截尾数据求出了两参数Pareto 分布参数的极大似然估计及θ的置信区间；张峰源［6］给出了两种不同的移走方案，利用MLE方法和Bayes估计方法，研究了影响广义Pareto 分布的参数估计的因素；刘璐［7］研究了在定数截尾寿命试验场合下，三参数Pareto分布单总体参数的最优置信区间和两总体形状参数比的最优置信区间；李如兵［8］针对共轭先验以及Jeffreys 先验，在移动极值排续集抽样下，基于三种损失函数，讨论了Pareto 分布形状参数的Bayes 估计；刘芹［9］基于双边定数截尾样本，在LINEX 损失函数和复合LINEX 损失函数下，考虑无信息先验分布与共轭先验分布，研究了Pareto分布的形状参数的Bayes估计.

然而，目前很少有文献在无失效数据场合下，针对Pareto分布进行可靠性分析.因此，本文基于韩明的减函数法思想［10］，在寿命服从Pareto分布的场合下，取失效概率Pi的先验分布的核函数为(1 -Pi)a，对pareto分布的失效概率和可靠度的Bayes估计进行研究.

1 可靠度的Bayes估计

1.1 模型假设

假设产品的寿命T服从两参数Pareto分布，其分布函数为

为了对某产品的可靠性进行评估，将某产品进行m次定时截尾试验，在试验开始前给定截尾时间，ti(t1

进行如下试验：将总数为n的样品随机分为m组，第i 组样品数为ni(i=1，2，…，m)，则有在提前给定的ti时刻停止第i 组试验，其中有ti(0

将m组样品在试验一开始就全部投入试验.在提前给定的t1时刻停止第一组样品的试验，其余各组（第2，3，···，m组）继续进行试验，在提前给定的t2时刻停止第二组样品的试验，其余各组（第3，4，···，m组）继续进行试验，试验一直进行下去，一直到提前给定的tm时刻停止第m组样品的试验，到此试验全部结束.记因为整个试验过程中所有样品都未失效，即在ti时刻，还有Si个样品在进行试验.在这样的试验下得到的数据(ti，ni)称为无失效数据，也可写为(ti，Si)［11］.

根据以上试验过程，有如下结论：

1）t=α时，产品的失效概率为0，即F(α)=P(T≤α)=0；

2）令Pi=P(T≤ti)=F(ti)，因为α

1.2 可靠度Ri的估计

1.2.1R1的估计 因为在无失效数据场合下，在时刻t1有S1个样品均未发生失效，所以可得P1的估计为［10］：

又因为Ri=1 -Pi，i=1，2，…，m，由此可得R1的估计为

1.2.2Ri(i=1，2，…，m)的估计 由于Pareto分布的分布函数为F(t；α，θ)=1 -αθt-θ，t>α，则

Pareto分布的分布函数显然为上凸函数［12］，对于α

如果取Pi的先验分布的核函数为(1 -Pi)a，则Pi(i=1，2，…，m)和Ri(i=2，3，…，m)的先验分布分别为

证明：若取Pi的先验分布的核函数为(1 -Pi)a，Pi的先验分布为［11］

又因为Ri=1 -Pi，则Ri的先验分布为：

如果取Pi的先验分布的核函数为(1 -Pi)a，则在平方损失下Pi(i=1，2，…，m)的Bayes 估计为：

定理2

如果取Pi先验分布的核函数为(1 -Pi)a，则在平方损失下Ri(i=1，2，…，m)的Bayes 估计为

证明：因为整个试验过程中无失效数据的产生，从ti时刻开始，还有Si个样品参加试验，则似然函数为那么在此情况下的后验分布为

在平方损失函数下，Ri的Bayes估计即为后验分布的期望，则Ri的Bayes估计为

1.3 可靠性指标的估计

当产品寿命T服从Pareto分布时，在时刻ti产品的可靠度Ri可以表示为

在等式的左右两边分别取对数，可以变为

即有

2 算例分析

在形状参数θ=2，尺度参数α=1 000 时，随机生成500 个服从pareto 分布的随机数，利用文献［13］的方法，从随机数中选取40个数据从小到大排序并分为8组，如表1.

表1 pareto分布的随机数Tab.1 Pareto distributed random numbers

将每一组数据的最小数据减1 作为试验提前给定的截尾时间ti，因为在无失效数据场合下，所以可以认为在时刻ti之内没有产品失效.假设共有42 个产品参加试验，将其随机分为8组，每组ni个产品，当t=ti时，有Si个产品未失效.以上ti、Si即可组成一组仿真无失效数据，如下表2所示：

表2 仿真无失效数据Tab.2 Zero failure data in simulation

表3 可靠度估计结果 Tab.3 Reliability estimation results

表3 可靠度估计结果 Tab.3 Reliability estimation results

在相同情况下，如果采用均匀分布作为失效概率Pi的先验分布［14］，得到的可靠度估计记为，结果如表4所示.

表4 可靠度估计结果 Tab.4 Reliability estimation results

表4 可靠度估计结果 Tab.4 Reliability estimation results

根据表2 的数据，结合平均寿命估计可得该产品的平均寿命为，由此可推断该产品的可靠性较高.

接下来，通过比较误差平方和来比较估计的精度.如果采用均匀分布作为失效概率Pi的先验分布，得到的可靠度的Bayes 估计的误差平方和为0.002 117 045 221 559，而本文可靠度估计的误差平方和为0.002 110 586 962 481.两者相比可以看出，本文的误差平方和更小，从而有效地提高了估计精度.

3 结论

本文基于pareto 分布的分布函数的上凸性质，利用韩明的减函数法思想，取失效概率Pi的先验分布的核函数为(1 -Pi)a，得到了失效概率Pi(i=2，3，…，m)的Bayes 估计、可靠度Ri(i=2，3，…，m)的Bayes 估计和平均寿命的估计.又在相同情况下，与取均匀分布作为失效概率Pi的先验分布而得到的可靠度的Bayes估计比较误差平方和.对比发现，本文方法得到的估计的误差平方和更小，从而有效地提高了估计精度.