考虑连续特性的水平井钻柱轴向振动分析

高成, 梅熠轩, 刘旭辉*, 孙巧雷, 施雷, 冯定

(1.长江大学机械工程学院, 荆州 434023; 2.湖北省油气钻完井工具工程中心, 荆州 434023)

近年来,为满足油气开发需要,水平井、大位移井等非常规井段油气开采作业增加,滑动钻井时,钻柱受到较大摩阻,钻压不能有效传递,易引起杆柱屈曲。目前一些减小摩阻、改善钻压传递或扩大井眼范围的实用方法包括:井眼清洗、泥浆系统中添加润滑剂和使用井下振动工具[1-2]。轴向振动工具已成为减小摩阻、改善钻压传递的有效手段[3]。因此,研究轴向振动工具作用下的水平井钻柱的轴向振动规律,对扩大井眼范围,改善井下工况具有十分重要的意义[4]。

针对钻柱轴向振动问题,国内外学者做了大量研究。Dahl[5]基于摩擦的准静态接触假设,建立了综合考虑库仑摩擦、黏着效应和滚动摩擦的Dahl摩擦动力学模型;Dahl[6]总结和改进了Dahl摩擦模型,对库仑摩擦阻尼振荡器进行了分析,提出了机械振子的固体摩擦阻尼理论。Khan[7]考虑了不同的钻头和顶部边界条件,建立了有阻尼和激励项的钻柱纵向和扭转振动响应的数学解析模型。De Wit等[8]综合考虑了斯特里贝克效应、滞回、黏滞特性和不同的分离力,建立了LuGre摩擦动力学模型。Rashed等[9]综合考虑了边界条件、钻头激励机制、泥浆黏度和工具接头的影响,建立了钻柱轴向振动分析模型。Liu等[10-11]运用Dahl动态摩擦模型和微观接触变形理论建立了分析摩擦力的理论模型,计算了轴向振动作用下滑动钻井的摩擦力变化;基于动摩擦理论,考虑了轴向振动工具的振动特性,提出了一种预测钻柱在轴向振动作用下阻力的解析模型。田家林等[12]基于动力学理论提出了钻柱纵向和横向耦合振动的动力方程,建立了井下钻柱纵向和横向耦合振动的数学模型,并进行数值求解及分析。李斌等[13]基于LuGre摩擦理论,建立了钻柱与井壁岩石间摩擦力的计算模型,并利用正交试验,分析了轴向振动工具的振动强度、振幅、振动频率等对钻柱与井壁岩石间摩擦力的影响;吴志勇等[14]将井下钻柱所受摩阻完全视为库伦摩擦,建立了水力振荡器作用下的钻柱轴向能量传递模型,数值模拟了振荡器的激振力、振荡频率及安装位置对减阻效果的影响,但并未研究钻柱与井壁间摩擦系数对钻柱轴向受迫振动的影响。Zhang等[15]在波动方程中引入库仑摩擦,建立了钻柱动态模型,分析了工具参数、连续油管参数和井筒参数对工具性能的影响。Omojuwa等[16]考虑了轴向振动工具内部弹簧刚度及压降和激励频率之间的影响,建立了水平井钻柱运动模型,但并未考虑钻井液黏性阻尼对钻柱轴向受迫振动的影响;肖林京等[17]采用一维波动理论,建立了深海采矿扬矿管的轴向振动方程并求得解析解。朱杰然等[18]基于质量-弹簧-阻尼离散方法及Stribeck摩擦理论,建立了水平井全井钻柱系统非线性动力学模型,并分析了水平井钻柱系统在不同井段和不同钻井工况参数下的动力学响应。王明珠等[19]基于饱和多孔理论,采用Rayleigh-Love杆模型,建立了管桩与土层的耦合振动方程,并根据阻抗递推法求得管桩顶部频域解析解,最后对比分析了单相土层和饱和土层对管桩顶部动力响应的影响。综上所述,已有的研究主要采用离散化方法对水平井钻柱系统进行分析,建立动力学模型。但钻柱属于连续弹性体,且对应的振动系统属于分布参数系统,因此,为了更为精确的描述钻柱轴向受迫振动规律,需要根据钻柱的连续特性运用偏微分方程描述。

以波动理论为基础,对轴向振动工具作用下的水平井钻柱动力学响应进行了分析。考虑了钻柱连续性特性及钻井液黏性阻尼特性,采用等效黏性阻尼法对库仑阻尼进行线性化处理,运用特征值叠加法求解,建立了水平井钻柱轴向振动响应的动态解析模型。通过数值模拟分析了轴向振动工具的频率、安装位置及钻柱与井壁间摩擦系数对钻柱轴向受迫振动的影响,以期为改善轴向振动工具在水平井作业中的作用提供理论指导。

1 轴向振动工具结构与工作原理

以国民油井华高公司的偏心螺杆式水力轴向振动工具[20]为例,对水平井钻柱的轴向振动规律展开研究。该工具由轴向振动短节、动力短节、阀盘系统构成,如图1所示。

图1 轴向振动工具结构Fig.1 Structure of axial vibration tool

工作原理为:高压钻井液流经振动短节的心轴,进入动力短节驱动螺杆,进而带动阀门系统中的动阀盘旋转。动阀盘的通孔中心轴与定阀盘的通孔中心轴不在同一条直线上,动、定阀盘交错运动,两通孔重合面积周期性变化,如图2所示[3],产生压力脉冲作用于振动短节中的碟簧,引起工具振动。

图2 轴向振动工具阀盘系统[3]Fig.2 Disc system for axial vibration tool[3]

2 水平井钻柱轴向受迫振动数学模型的建立

2.1 基本假设

为建模方便,作出如下假设:

(1)钻柱属于线性弹性体,且材料均匀,各向同性。

(2)钻柱中心与井眼中心一致且为水平段。

(3)只考虑钻柱的轴向变形,忽略钻柱的横向变形。

(4)钻井液密度为常数。

(5)库仑阻尼与钻井液的黏性阻尼为水平段钻柱运动的主要摩阻。

(6)忽略钻柱内部流体惯性效应。

(7)只考虑轴向振动工具产生的纵向振动,忽略钻柱的其他振动。

2.2 水平井钻柱轴向受迫振动模型

2.2.1 钻柱位移激励模型

针对一根长度为l的水平井钻柱,设定钻柱的密度为ρ,横截面积为A;钻柱底部简化为自由端,钻柱近轴向振动工具端受到位移激励作用,如图3所示。

l为水平井钻柱长度;x为钻柱上任意一点的运动时间;t为运动坐标;μ(x,t)为钻柱在t时刻距右端点x处横截面的轴向总位移;w(x,t)为钻柱在t时刻距右端点x处横截面的瞬时位移;h(t)为轴向振动工具产生的位移激励; k为弹簧的刚度系数;Fp为轴向振动工具产生的激振力;ΔP为轴向振动工具内部流体压力差;S为轴向振动工具内部流体出口面积图3 钻柱位移激励模型Fig.3 Model for drill string displacement excitation

钻柱上任意一点的运动是时间t和坐标x的函数,因此,钻柱在t时刻距右端点x处横截面的轴向总位移用u(x,t)表示,且认为该轴向总位移为钻柱在t时刻距右端点x处横截面的瞬时位移与轴向振动工具产生的位移激励之和,即。

u(x,t)=w(x,t)+h(t)

(1)

2.2.2 钻柱微元段分析

钻柱上某微元段dx偏离静平衡位置(虚线表示)的瞬时位移为w(x,t),此时微元段的受力状况如图4所示。

F为钻柱微元段横截面上的内力;FN为井壁对钻柱的支持力;G为钻柱微元段的重力;Pc为单位长度的库仑摩擦力;Pd为线性黏性阻尼力图4 钻柱微元段受力分析Fig.4 Free body diagram for a drill string model

钻柱微元段应变为

(2)

钻柱微元段横截面内力为

(3)

式(3)中:A为钻柱的横截面积,mm2;E为钻柱的弹性模量,MPa;F为钻柱微元段横截面上的内力,N。

根据牛顿第二定律得

(4)

(5)

(6)

FN=(ρ-ρd)Ag=ρλbAg

(7)

(8)

式中:μ为钻柱与井壁接触时的动摩擦因数,无量纲;sgn函数为符号函数;FN为井壁对钻柱的支持力,N;ρd为泥浆密度,kg/m3;λb为浮力校正因子[21];g为重力加速度,m/s2。

因此,式(4)变为

(9)

(10)

根据相同周期内库仑摩擦与其对应的等效黏性阻尼消耗的能量相等,在式(9)中引入库仑摩擦的等效黏性阻尼系数ce[22-23]得

(11)

根据图3中钻柱几何模型得到钻柱的边界条件为

(12)

2.2.3 钻柱运动方程求解

(13)

应用分离变量法[24],假设式(13)解的形式为

w(x,t)=U(x)T(t)

(14)

式(14)中:U(x)为振型函数,表征振动系统的振动形态;T(t)为振动系统的主坐标,表征振动系统随时间变化的振幅。

则式(13)变为

(15)

整理式(15)得

(16)

由于式(16)等号两边是不同变量的函数,因此等号两边都是常数[24],等号左边对x求导得

(17)

即

(18)

式(18)中:λ=ω2,λ为特征值常数。

整理式(18)得

(19)

式(19)的通解为

(20)

式(20)中:M、N为积分常数,取决于边界条件。

将边界条件式(12)代入式(20)得

U′(0)=N=0

(21)

(22)

根据式(22)得特征方程ωl/a=nπ,它对任意整数n都成立,存在无限个满足该条件的值,则有

(23)

式(23)中:ωn为钻柱固有频率,rad/s。

将轴向振动工具产生的位移激励项表达成傅里叶级数的形式,即

(24)

由方程(14)得钻柱运动方程(11)解的形式为

(25)

(26)

将式(24)、式(26)代入式(11)得

(27)

(28)

(29)

设方程(27)的特解为

(30)

将式(30)代入式(27)得

(31)

(32)

轴向振动工具作用下的钻柱运动方程为

3 模型验证及算例分析

为进一步验证模型的准确性和研究轴向振动工具作用下钻柱轴向受迫振动的影响因素。本文与文献[25-31]轴向振动工具功能性测试实验结果进行了对比,并结合现场井下数据及本文所建钻柱振动模型,运用MATLAB编程分别计算模拟分析了轴向振动工具的频率和钻柱与井壁间的摩擦系数对钻柱轴向受迫振动的影响。

3.1 模型验证

Burnett等[25]对轴向振动工具进行了室内功能性测试实验。本实验忽视了阻尼影响,实验装置包括轴向振动工具、压力传感器和线性可变差动变压器。轴向振动工具的心轴部分与线性可变差动变压器连接,以测量轴向振动工具的振幅。轴向振动工具上端与压力传感器相连,以测试工具内部压差。在测试过程中,压差随流量线性变化,而流量与工具的激励频率呈线性关系,实验参数如表1所示。

表1 轴向振动工具的功能测试实验参数Table 1 Functional test parameters of axial vibration tool

本文基于所建模型预测了轴向振动工具的振幅,并与Burnett等[25]的实验结果进行比较,如图5所示。随着流量从16 L/s增至32 L/s,模型预测值与实验测量值间的差值从1.03 mm增至3.45 mm,总体误差从9.2%增至17%。

图5 轴向振动工具的振幅对比Fig.5 Comparison of amplitudes of axial vibration tools

3.2 振荡频率对钻柱轴向受迫振动的影响

分析振荡频率对钻柱轴向受迫振动的影响时,选用川渝区块一井深为3 470 m的水平井段,将轴向振动工具安装在钻柱上距底部3 100 m处,振荡频率分别取10、15、20 Hz,其余轴向振动工具和钻井参数如表2所示,运用MATLAB编程计算得到钻柱上距底部220 m处的轴向振动位移变化曲线,如图6所示。

表2 基本参数Table 2 Basic parameters

图6 钻柱轴向振动位移Fig.6 Axial vibration displacement of drill string

从图6可以看出,随着振荡频率在10～20 Hz范围内增加,钻柱的最大振动位移从0.007 1 m增至0.015 m,且钻柱振动位移波动范围从0.005 m增至0.0071 m,各振荡频率对应的钻柱振动位移波动范围如表3所示。

表3 钻柱轴向振动位移波动范围Table 3 Fluctuation range of axial vibration displacement of drill string

由表3知,随着轴向振动工具输入钻柱振动波频率的提高,钻柱的振动能量增加,导致在相同时间内钻柱的振动幅值增大,所以增大了钻柱的振动位移。因此,条件允许时应尽量提高振荡频率以配合钻进。

3.3 摩擦系数对钻柱轴向受迫振动的影响

相比套管,钻柱在裸眼井中的摩擦系数更大,且泥浆中岩屑粒径也会影响钻柱与井壁间的摩擦系数[28]。因此,本文分析摩擦系数对钻柱轴向受迫振动的影响时,选用川渝区块一井深为3 470 m的水平井段,以钻柱长度对应钻柱上各点位置(钻柱长度3 470 m处为钻柱底部),将轴向振动工具安装在钻柱上距底部3 100 m处,摩擦系数分别取0.15、0.2、0.25,其余轴向振动工具和钻井参数如表2所示,运用MATLAB编程计算得到钻柱的轴向振动位移变化曲线如图7所示,各钻柱长度及摩擦系数间对应的钻柱轴向振动位移差值如表4所示。

图7 钻柱轴向振动位移变化曲线Fig.7 Axial vibration displacement curve of drill string

从图7可以看出,钻柱振动位移随着钻柱长度的增加而减小,且随着摩擦系数在0.15～0.25范围内增加,钻柱最大轴向振动位移从0.079 8 m减小到0.070 4 m。根据表4数据,在钻柱长度依次为500、1 500、2 500 m处,各摩擦系数间对应的钻柱轴向振动位移差值逐渐减小,且其平均差值从0.006 1 m降至0.002 3 m。由此可见,增加摩擦系数会降低钻柱的最大振动位移,且随着振动波沿钻柱传递行程的增加,摩擦系数对钻柱的轴向受迫振动影响逐渐降低。

这是由于摩擦系数增加导致钻柱轴向振动摩阻增加,轴向振动工具输入钻柱中的振动能量沿钻柱轴向传递时逐渐损失。而振动波沿钻柱传递初程,振动能量损失较小,钻柱振动强度较大,摩阻对钻柱振动的影响较显著,但随着振动波沿钻柱传递行程增加,能量损失逐渐增大,钻柱振动强度逐渐减小,摩阻对钻柱振动的影响也逐渐降低。所以增加摩擦系数会降低钻柱的最大振动位移,且随着振动波沿钻柱传递行程的增加,摩擦系数对钻柱振动位移的影响逐渐降低。

4 结论

基于连续性波动理论,考虑了钻柱连续特性及钻井液黏性阻尼特性,对轴向振动工具作用下的水平井钻柱进行力学分析,建立了钻柱运动的动态解析模型,运用特征值叠加法求得解析解。通过已发表的实验数据验证了本文所建模型,并采用数值模拟软件研究了水平井钻柱轴向受迫振动的规律,得出以下结论。

(1)在一定频率范围内增加轴向振动工具的振荡频率可提高水平井钻柱的轴向振动响应。因此,在条件允许时,应尽可能的提高振荡频率配合钻进。

(2)钻柱与井壁间摩擦系数在0.15～0.25范围内增加会导致钻柱轴向最大振动位移降低;随着钻柱长度的增加,摩擦系数对钻柱轴向受迫振动的影响降低。因此,在条件合适时,应尽可能的采取措施降低钻柱与井壁间的摩擦系数。