裂隙扭曲度对弹性波频散和衰减的影响研究

摘 要：【目的】研究裂隙扭曲度对弹性波频散和衰减的影响，揭示裂隙几何形态变化与弹性波传播特性之间的内在联系。【方法】针对裂隙扭曲度变化对喷射流效应的影响进行了具体分析。采用广义麦克斯韦型本构方程近似牛顿型流体的本构方程，利用动态应力应变模拟计算了垂直裂隙走向方向上弹性波的频散和衰减。通过数值模拟揭示了不同扭曲度下弹性波的频散和衰减行为，并总结了裂隙几何形态变化对频散特征的影响规律。【结果】随着扭曲度的增大，衰减的特征频率和峰值均减小；速度与扭曲度在低频区呈正相关，在高频区呈负相关。【结论】裂隙扭曲度对弹性波的喷射流效应具有较大影响，实际资料解释中应给予重视。

关键词：动态应力应变模拟；数字岩心；扭曲度；喷射流；弹性波

中图分类号：P631" " "文献标志码：A" " 文章编号：1003-5168（2024）24-0090-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.24.017

Study on the Influence of Fracture Distortion Degree on the Dispersion and Attenuation of Elastic Wave

Abstract：[Purposes] The effect of fracture distortion on the dispersion and attenuation of elastic waves is studied， and the intrinsic relationship between the fracture geometry and the propagation characteristics of elastic waves is revealed. [Methods] In this paper， the influence of fracture distortion on jet stream effect was analyzed. The generalized Maxwell constitutive equation is used to approximate the Newtonian fluid constitutive equation， and the dynamic stress-strain simulation is used to calculate the elastic wave dispersion and attenuation in the vertical fracture direction. The numerical simulation reveals the elastic wave dispersion and attenuation behavior under different distortion degrees， and the influence of fracture geometry on the dispersion characteristics is summarized. [Findings] With the increase of distortion degree， the characteristic frequency and peak value of attenuation decrease. Velocity and distortion are positively correlated in the low frequency region and negatively correlated in the high frequency region. [Conclusions] The distortion degree of fracture has great influence on the jet stream effect of elastic wave， which should be paid attention to in the interpretation of actual data.

Keywords： dynamic stress-strain simulation; digital core; distortion degree; jet stream; elastic wave

0 引言

弹性波在岩石中传播时具有频散和衰减现象。频散是指波的速度随频率变化，衰减是指波的能量发生耗散。频散和衰减与波在孔隙、裂隙中诱发的流固相对运动（以下简称波致流）密切相关。岩石的裂隙和坚硬孔隙之间，为了平衡不均匀的流体压力而产生的波致流称为喷射流。对喷射流效应的研究可以追溯到20世纪70年代，Mavko等首次提出单孔非均匀介质下的喷射流理论［1］。Mavko发现部分饱和岩石中地震波的衰减与孔隙的纵横比密切相关［2］。Mavko等［3］深入探究了岩石中流体对速度频散的影响，强调了孔隙刚度异质性在局部流动效应中的重要性。Dvorkin等［4］通过引入了特征喷射流长度，建立了弹性波频散和衰减理论，随后Mavko等［5］通过试验研究证明了该理论的合理性。Gurevich等［6］建立了硬币状裂隙内流体弛豫引起的弹性波频散和衰减理论。Saenger等［7］通过模拟验证了喷射流理论中波传播受孔隙结构的影响。邓继新等［8］研究了裂隙纵横比分布的影响；Sun等［9］研究了有效应力变化对频散和衰减的作用；欧阳芳等［11］研究了裂隙间流体交换的弹性响应。

近年来，数字岩心准静态应力应变模拟被用于喷射流效应研究。Quintal等［11］计算了正交交叉裂隙中喷射流导致的频散和衰减，随后Quintal等［12］将此方法扩展到三维模型，同时研究了衰减在裂隙中的分布特征。Alkhimenkov等［13］研究了硬币状裂隙外缘孔隙压力对喷射流的影响。Lissa等［14］研究了裂隙面粗糙度对喷射流效应的影响。Solazzi等［15］研究了部分饱和硬币状裂隙的喷射流效应。数字岩心动态应力应变模拟是与准静态模拟类似又有区别的模拟方法。Zhang等［16］利用单频动态模拟计算了频率为 100 kHz 时数字岩心的速度和衰减。Zhu等［17］开发了基于旋转交错网格有限差分的动态应力应变模拟方法，用于计算数字岩心的有效弹性特性。Das等［18］利用动态单频率计算二维十字连通裂隙的数字岩心的速度与衰减。朱伟等［19］计算了含裂隙数字岩心在0～1 MHz内的频散和衰减曲线。Yang等［20］较系统地研究了裂隙几何参数变化时弹性波频散和衰减特征的变化。

为研究裂隙扭曲度对弹性波频散和衰减的影响规律，本研究建立了弯曲程度不同的4个裂隙-孔隙数字岩心，采用动态应力应变模拟计算频散和衰减曲线，提取频散和衰减的特征参数，分析其与裂隙扭曲度的关系。

1 动态应力应变模拟的基本原理

1.1 边界条件

在动态应力应变模拟中数字岩心发生受迫运动，需设置特殊的边界条件，如图1所示。数字岩心的上、下边界都采用周期性的边界条件，左边界固定不动，右边界在外力的作用下发生均一的水平运动。动态应力应变模拟通过控制右边界的速度和位移实现数字岩心受迫运动。

在t≥0时刻，数字岩心的右边界的速度变化可以表示为式（1）。

式中：vx和vz分别表示x和z方向的质点速度分量；L表示数字岩心的边长，假设左边界处x=0；t表示时间；f（t）是时间的连续函数，f（t）=0；A用于控制应变量级。

函数f（t）可以是频率低通函数，如图2所示。f（t）主脉冲左侧时间较短，右侧时间较长，并逐渐趋于0。f（t）的延续时间和裂隙流体压力平衡所需的时间有关。

1.2 波动方程

在频率中，可压缩牛顿流体的弹性常数可以表示为式（2）［21］。

[C11ω=λ+iωηλ+iω2ημC12ω=λ+iωηλC44ω=iωημ] （2）

式中：λ是拉梅常数；ηλ=ημ=η是黏滞系数；ω是圆频率。

Saenger等［21-22］提出利用广义麦克斯韦体（GMB）近似牛顿流体。当只有一种松弛机制时，GMB的弹性模量CIJ（ω）可以表示为式（3）。

式中：CIJ和ωr分别表示弹性张量和参考圆频率；YIJ表示非弹性系数张量。

式（2）用GMB表示为式（4）。

式中：[c44=τv2pρf]，[vp]是0 Hz时的流体波速；[ρf]是流体密度；[τ]值需综合考虑；Saenger等［22］取值为50。

流体的黏滞系数与c44和ωr的关系为式（5）。

GMB近似牛顿流体在频率[flt;lt;ωr2π]的范围内满足。当模拟的弹性波频带较宽时，c44和ωr的数值都可能比较高。

波场模拟需要满足稳定性条件，因此存在关系如式（6）。

式中：[Δx]是模型离散时的网格边长，[Δt]是时间离散步长。

在时间域，GMB的应力、应变和非弹性函数可以表示为式（7）。

式中：[σ11，σ22，σ12]为应力；[e11，e22，e12]为应变；[ξ11，ξ22，ξ12]为非弹性函数。

没有体力项的运动方程为式（8）。

式中：ρ表示密度。

相比完全弹性时的应力-应变关系，式（7）中多了3个参数，需要3个包含非弹性函数的方程为式（9）。

数字岩心的骨架部分为弹性介质，非弹性函数为[ξ11，ξ22，ξ12]均为零。

上述方程式（7）至式（9）采用旋转交错网格有限差分法迭代求解，可以处理数字岩心中流体和固体的相互作用。

1.3 等效频散和衰减

在边界条件的作用下，采用旋转交错网格有限

2 数字岩心与模拟结果

2.1 数字岩心

本研究建立了4个数字岩心，它们的长度和宽度分别为4 mm和1.5 mm，如图3所示。每个数字岩心包含1个圆形孔隙和1条裂隙。裂隙一端与圆形孔隙相连，另一端封闭在数字岩心内部，总体走向沿z轴方向。在图3（a）中，裂隙为直线形，在图3（b）至图3（d）中，裂隙具有简谐波形状。4个数字岩心的裂隙在z轴上的投影长度相同，扭曲度（扭曲度是裂隙曲线长度与直线长度之比）分别约为1、1.04、1.13和1.28。扭曲度越大表示裂隙弯曲程度越大。

数字岩心各组分的弹性模量、黏滞系数和密度见表1。

2.2 模拟结果

纵波速度及衰减随频率的变化关系如图4所示。由图4（a）可知，在低频段，扭曲度对速度的影响较小；在高频段，扭曲度对速度的影响相对较大。由图4（b）可知，扭曲度对衰减的特征频率和峰值有明显的影响。

10 Hz和100 kHz的纵波速度与扭曲度的关系如图5所示。由图5（a）可知，纵波速度随扭曲度的增加而增大。该现象背后的物理机制为从数字岩心图3（a）至图3（d），裂隙扭曲度增加，斜交z方向的裂隙段长度增加，裂隙孔隙度增加，数字岩心的密度降低。在频率10 Hz处，裂隙流体压力可以实现平衡，裂隙沿z方向的长度对数字岩心的纵波模量具有主导作用。从数字岩心图3（a）至图3（d），纵波模量的减小微弱。综合纵波模量和密度的变化，纵波速度最终表现为随着扭曲度的增加而增大。

由图5（b）可知，100 kHz时的纵波速度随扭曲度的增加而减小。该现象背后的物理机制为在高频段，裂隙流体压力不能平衡，流体对骨架的支撑作用增强。当裂隙弯曲时，存在斜交z方向的裂隙段，局部流体压力部分平衡，流体对骨架的支撑作用减弱，数字岩心的纵波模量降低。扭曲度越大，局部压力平衡程度越大，数字岩心的纵波模量越小。综合纵波模量和密度的变化，纵波速度随着扭曲度的增加大而减小。

衰减与裂隙扭曲度的关系如图6所示。由图6（a）可知，特征频率随扭曲度的增加而降低。这说明裂隙扭曲度增加，流体运动阻力增大，压力平衡所需要的时间越长。由图6（b）可知，峰值衰减随扭曲度的增加而减小。这说明压力平衡的快慢与衰减大小呈正相关。

3 结论

本研究通过基于4个数字岩心的动态应力应变模拟，研究了裂隙的扭曲度对弹性波的频散和衰减的影响规律，结论如下。

①扭曲度对纵波速度的影响较复杂。在低频段，纵波速度随扭曲度的增加而增大；在高频段，纵波速度随扭曲度的增加而减小。

②扭曲度对纵波衰减有较明显的影响。扭曲度增加，纵波衰减的特征频率和峰值均减小。

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