面向电主轴热误差预测建模分析的改进IGWO-LSTM 算法

马能杰，王洪申

（兰州理工大学机电工程学院，甘肃兰州 730050）

0 前言

电主轴作为高速加工数控机床的核心功能部件，其性能好坏严重影响整台机床的加工精度［1-2］。而电主轴的发热却不可避免，由于其发热所引起的误差已经占到了总加工误差的60%～80%。随着机床定位精度的提高，目前热误差已成为影响总误差最明显的因素［3］，因此对于高速主轴单元来说，采用必要的措施以减少其热误差对机床加工精度的影响就显得尤为重要。目前主要采用硬补偿和软补偿两种方法［4-5］，硬补偿是通过数控设备机械结构的调整及改变来减小误差；软补偿是通过数学方法或软件方法提高电主轴精度，其中具有代表性的方法有：温度控制法、热态性能优化以及热误差补偿法［6］。而热误差补偿方法是在不改变电主轴结构，且成本较低的前提下通过实验、分析、测试等过程建立一个热误差预测模型，并将其反馈给控制系统，从而进行实时补偿的方法，因此热误差模型的建立成为了国内外学者研究的重点之一。

近年来，国内外学者对热误差模型的建立进行了大量的研究。一直以来，人们希望通过预测热变形的规律性减小热变形带来的影响［7］。LI 等［8］利用鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm）优化了支持向量机（Support Vector Machine），以此来建立起热误差模型，使得模型预测精度显著提升。HUANG等［9］利用遗传算法（Genetic Algorithm，GA）对BP（Back Propagation）神经网络的初始权值和阈值进行了优化，将优化后的权值和阈值返回BP 神经网络，使其预测精度及收敛速度大幅度提高。YANG 等［10］通过改进的灰狼优化器（Improved Gray Wolf Optimizer，IGWO）和自适应神经模糊推理系统（Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System，ANFIS），提出一种较为精准的电主轴热误差模型，结果表明：新模型具有更好的泛化性和鲁棒性。马驰等人［11］对精密镗床主轴进行研究，建立了基于PSO-BP 神经网络的热误差模型，结果表明模型的有效性较BP 神经网络有了巨大的提升。谢杰等人［12］提出一种思维进化算法，优化了基于BP 神经网络建立电主轴热误差模型的方法，其最低补偿率超过了90%以上。

LSTM（Long Short-Term Memory）神经网络是一种特殊的RNN（Recurrent Neural Network），相比一般的神经网络，它具有解决长序列训练过程中梯度消失和梯度爆炸问题的优势，在解决电主轴热误差预测精度问题上有较为理想的效果。研究表明：神经网络的学习能力取决于网络隐藏层的结构，其中包括隐藏层的数目和每个隐藏层中节点的数量。隐藏层的数量可以有效降低网络的训练误差，提高网络识别的准确率，但也会使网络的拓扑结构更加复杂，训练时间也会更长；而增加隐藏层节点数也可以提高识别的准确率，更容易观察和调整训练效果［13］。隐藏层节点数的选取方法有很多种，BENARDOS、VOSNIAKOS［14］利用试凑法不断地对不同隐藏层节点数进行测试，直到数据接近理想情况为止，该方法没有目的性，只是盲目的测试，花费成本巨大。MIRCHANDANI、CAO［15］应用经验公式法来确定隐含层节点数，但此方法缺少相关理论依据，且只针对特定的情况，适应性较差，不能通用。ISLAM 等［16］利用增长法从一个最小的神经网络进行试验，依次增加隐藏层节点数，最终筛选出最适合的节点数，但对于如何终止增长的问题目前没有较为科学的方法来进行说明。

本文作者提出一种基于优化灰狼算法（IGWO）的单隐含层的LSTM 神经网络热误差预测模型，通过改变灰狼算法中收敛因子a的算法公式，解决了灰狼算法在计算最优隐藏层节点数时陷入局部最优解的问题。最后通过基于最优节点数的LSTM 网络来预测电主轴热误差。

1 优化灰狼算法（IGWO）模型

灰狼算法（Gray Wolf Algorithm，GWO）受灰狼捕猎行为启发而提出。算法中每只灰狼的位置代表了解空间的一个可行解。在群体中将最优解命名为α，第二、第三最优命名为β 和δ，剩下的候选项记为ω，在GWO 中狩猎过程由α、β 和δ 引导，ω 跟随这三只狼。GWO 的主要过程为包围、狩猎和攻击。

1.1 包围

式中：D表示个体与猎物间的距离；X（t＋1）是灰狼的位置更新公式；t是迭代代数；A和C是系数向量；Xp为猎物的位置向量；X为灰狼的位置向量。A和C计算公式如下：

式中：a是收敛因子，随着迭代次数从2 线性减小到0；r1和r2的取值为［0，1］内的随机向量。

1.2 狩猎

灰狼个体跟踪猎物位置的数学模型描述如下

式中：Dα、Dβ和Dδ分别表示α、β 和δ 与其他灰狼个体的距离；Xα、Xβ和Xδ分别表示α、β 和δ的当前位置；C1、C2和C3是随机向量；X为当前灰狼的位置。

式（6）分别定义了狼群中ω 个体的朝向、前进的步长和方向，式（7）定义了ω 的最终位置。

1.3 攻击

为了模拟逼近猎物，a的值被逐渐减小，因此Ai（i＝1，2，3）的波动范围也随之减小。换句话说，在迭代过程中，当a的值从2 线性下降到0 时［见式（8）］，其对应的Ai的值也在区间 ［-a，a］内变化。

式中：t为当前迭代次数；T为最大迭代次数。

如图1 所示，当Ai的值位于区间内时，灰狼的下一个位置可以位于其当前位置和猎物之间的任意位置。当时，狼群向猎物发起攻击（陷入局部最优）；当时，灰狼与猎物分离，希望找到最合适的猎物（全局最优）。

图1 攻击（a）和寻找（b）猎物Fig.1 Attack（a）and hunt（b）for prey

GWO 算法在收敛过程中容易陷入局部最优，造成这些缺点的主要原因为：由公式（6）可知，GWO算法的主要搜索模式由系数向量Ai所决定。由公式（3）可知，A的大小主要由收敛因子a决定。由公式（8）可知，收敛因子a趋于线性变化，但实际情况下需要GWO 的寻优过程是非线性的，因此收敛因子a的线性变化将会导致收敛过程中的缺陷。

针对上述情况，本文作者对灰狼优化算法进行了改进，具体策略如下所述。

收敛因子a的改进。本文作者提出了一种收敛因子a的非线性计算公式，见式（9）：

为进一步说明改进后的灰狼算法较未改进灰狼算法的优势，利用MATLAB 软件分别绘制了改进前后的GWO 收敛变化图，如图2 所示。未改进的GWO算法在迭代次数23～25、27～29 期间分别停留在数值4 000 和2 300 处，即陷入局部最优。而改进后的IGWO 算法则在此处跳出了局部最优，并且改进后的IGWO 算法迭代至35 代达到收敛，较未改进的GWO算法迭代至37 代才收敛的收敛速度更快，因此本文作者提出的对于收敛因子a的改进更适用于实际情况下GWO 算法的收敛运算。

图2 收敛曲线对比Fig.2 Convergence curves comparison

2 LSTM 神经网络的构建

LSTM 模型，本质上是一种特殊的循环神经网络（RNN）。在RNN 模型的基础上利用增加的门单元来解决RNN 的短期记忆问题。而电主轴热误差对历史热信息具有长期记忆特征，因此LSTM 模型适用于电主轴热误差预测模型的建立。

采用LSTM 神经网络预测热误差，其输入跟输出单元数要根据实验变量数来决定。实验中首先需要确定热敏点的数量跟位置，其目的是减少因传感器过多而造成的精确性问题以及温测点形成的强耦合而造成的多重共线性问题。

因此，通过模糊聚类法跟灰色关联度分析模型相结合的方法［17］，综合分析和评价各温测点，最终得到2 个位置的最佳温测点，即后轴承壳体外表面跟前轴承主轴壳体外表面处，如图3 所示。以此来作为LSTM 神经网络的输入层单元。

图3 电主轴温度传感器布局示意Fig.3 Motorized spindle temperature sensor layout

主轴误差主要有轴向和径向两种，由其热伸长跟热弯曲引起，而轴向的热伸长量幅度远大于径向热伸长量，故文中仅研究轴向位移引起的热误差，以此作为LSTM 神经网络的输出层单元。从而，LSTM 神经网络的拓扑结构建立完成，其中输入层单元数设置为“2”，隐含层初始单元数根据经验公式选取为“5”，输出层单元数设置为“1”。遗忘门采用sigmoid 函数作为激活函数，输入门跟输出门采用tanh 函数作为激活函数。训练次数设置为300，学习率设置为0.005，均方根误差ε设置为0.01。

3 IGWO-LSTM 电主轴预测模型

隐藏层节点数的选择十分复杂，与学习算法的激励函数选择相比，确定隐藏层节点数目的研究较少［18］。目前隐藏层节点数计算的主要方法为经验公式法，但其只适应于特定的环境，鲁棒性较差。

若隐藏层节点数太少，网络可能根本不能训练或网络性能很差，且精度不够；若隐藏层节点数太多，虽然可使网络的系统误差减小，但网络训练时间延长，另一方面也可能会引起“过拟合” 现象。

因此，合理的隐藏层节点数应在综合考虑网络结构复杂程度和误差大小的情况下确定。

一般隐藏层节点计算经验公式如式（10）所述

式中：m为隐藏层节点数；n为输入层节点数；l为输出层节点数；α为0～10 之间的常数。

IGWO-LSTM 模型既适用于电主轴热误差在实际工况下的迟滞效应，又极大地降低了模型在收敛时陷入局部最优的可能性。具体实施步骤如图4 所述。

图4 IGWO-LSTM 算法流程Fig.4 IGWO-LSTM algorithm flow

（1）导入电主轴240 min 内热误差数据。

（2）划分训练集与测试集。将数据集中80%的数据划为训练集，20%为测试集，并利用MATLAB自带map minmax 函数对所有数据进行归一化处理。

（3）确定灰狼种群规模为30，最大迭代次数为50，参数上下界为（ub，lb）。

（4）初始化种群位置Xi，见式（11）。

式中：r0为［0，1］内的随机数。

（5）计算每个灰狼个体适应度值，将3 个最优解位置记为Xα、Xβ和Xδ。

（6）根据公式（3）（4）（9）更新C、A和a，根据公式（5）（6）更新灰狼位置，根据公式（7）得到猎物的最优位置。

（7）判断是否超过最大迭代次数，若没有则返回第（5）步，反之输出最优隐藏层节点数。

（8）将LSTM 网络迭代次数设置为300 次、学习率设置为0.005，设置ε为误差允许最小值。将上一步中的最优隐藏层节点数代入LSTM 神经网络，然后进行训练和预测。

（9）判断绝对误差值是否满足不大于允许最大误差值，若满足则进行下一步，若不满足则将得到的预测值与实际值代入步骤（5）中。

（10）基于平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分比误差（MAPE）以及均方根误差（RMSE）这3种指标对优化后的IGWO-LSTM 神经网络跟通过经验公式计算得到隐藏层节点数的LSTM 神经网络进行评估。其中MAE、MAPE 和RMSE 的定义式分别见式（12）、式（13）和式（14）。

式中：x（t）为实测误差值；（t）为模型预测误差值；n为测试样本个数。

4 实验结果对比分析

4.1 电主轴热误差实验

此次采用的电主轴为某公司研制的一种卧式铣削加工中心的电主轴，其额定功率为11 kW，转速可达到8 000 r／min。对其进行空载运行实验，测定其在环境温度为22 ℃、转速为5 000 r／min 下热误差数据。

采用基于LMS SCADAS 的高性能数据采集系统作为实验平台控制系统，数据分析与处理系统采用Test.Lab Signature 软件，轴向热误差的采集使用非接触式电涡流位移传感器。传感器接线布置如图5所示。

实验中温度与热误差每2 min 采集一次样本，共采集到120 个样本，如图6—7 所示。

图7 电主轴轴向热误差Fig.7 Thermal error of motorized spindle along axis

由图6—7 可知：温升变化曲线与热误差变化曲线的变化趋势比较相似。这是由于前期电主轴从静止开始运转，速度上升，温度也快速上升，而热误差主要因为电主轴内部热源分布不对称、各零部件温度上升不均匀而导致的，因此前期热误差变化也比较大；随着电主轴进入热平衡状态，温升变化幅度减缓，热误差也逐渐趋于平衡。由热膨胀理论可知，当膨胀系数为常数时，可近似将温升与热误差看作线性关系。

4.2 模型预测结果

根据第3 节，经MATLAB 软件编程运算，两种模型预测结果对比如图8、9 所示。

图8 IGWO-LSTM 模型预测值与真实值对比Fig.8 Comparison of IGWO-LSTM model prediction value and real value

图8 与图9 分别为两种模型预测值与实际值的对比。可知：IGWO-LSTM 模型预测值与实际值的拟合程度比经验LSTM 模型预测值与实际值的拟合程度更高，且IGWO-LSTM 模型预测最大误差为0.63 μm，与原LSTM 模型预测误差0.71 μm 相比减少11.3%，平均绝对百分比误差减少0.027%，平均绝对误差减少了70.5%，均方根误差减少了69.1%，见表1。

表1 评估结果数据Tab.1 Evaluation result data

图9 原LSTM 模型预测值与真实值对比Fig.9 Comparison of LSTM model prediction value and real value

5 结论

针对电主轴热误差预测模型误差较大以及LSTM神经网络收敛性容易陷入局部最优问题，本文作者提出一种改进的灰狼算法来对LSTM 神经网络的隐藏层节点数进行寻优，进而对电主轴热误差进行预测，并得到以下结论：

（1）通过对灰狼算法（GWO）中收敛因子进行非线性计算方法的改进，降低了其陷入局部最优的可能性，且更适合实际情况下的收敛运算。

（2）利用改进后的灰狼算法算出最优隐藏层节点数，再将最优节点数代入LSTM 神经网络中，然后将LSTM 预测所得值与实际值代入IGWO 适应度函数中重新计算最优隐藏层节点，以此循环往复形成一个闭环系统，最终达到规定迭代次数或最小均方根误差，最后通过MATLAB 软件对电主轴热误差进行训练，得到IGWO-LSTM 热误差预测模型，与经验式计算下的隐藏层节点数的LSTM 神经网络模型预测结果进行比对，IGWO-LSTM 神经网络的平均绝对误差、平均绝对百分比误差和均方根误差均优于经验LSTM神经网络，因此IGWO-LSTM 能更好地实现电主轴热误差的预测。