对一道2023年全国高中数学联赛北京预赛试题的探究*

丰 魁

(云南师范大学 650500)

吴元永

(云南师范大学附属中学 650106)

1 试题呈现

这是2023年全国高中数学联赛北京预赛一道三角函数最值问题,形式简洁优美,作为一试填空题第10题,难度中等,有多种切入角度,除了高中数学联赛外,也比较适合高考层面的要求,有一定的研究价值．

2 解法探究

2.1 思路1:运用导函数

导数法是求解函数最值问题一般的思维方法,思路自然,无需过多的技巧,且该问题的导函数运算并不复杂,故可求导后依据导函数与0的关系,判断函数单调性,求取最值．

2.2 思路2:运用均值不等式

2.3 思路3:运用柯西不等式

二维柯西不等式为(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时取等号．题目中所给的是分式型最值问题,考虑乘(mcosx+nsinx),m,n均为正实数,凑出常数,再结合取等条件求m,n．

2.4 思路4:运用权方和不等式

2.5 思路5:运用平方平均值和调和平均值

2.6 思路6:运用拉格朗日乘数法

3 一般情形与几何背景

3.1 一般情形

3.2 几何背景

图1

4 变式探究

4.1 类比替换夯基础

4.2 几何建模探本质

变式2 已知直线l过第一象限内的定 点P(8,1)与x,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB周长的最小值为．

命制意图将三角函数与几何问题相融合,体现了数学建模思想.在具体解决问题过程中,设角和设线在函数形式、处理技巧、运算量等方面又有较大差别,方法的取舍、最佳解题路径判断,皆需要较强的数学素养．

4.3 特殊一般亦精彩

命制意图将原题中特殊的sin2x+cos2x=1,即单位圆的形式推广到圆心在原点、半径为r的一般的圆的形式,看似摒弃三角函数外壳,变为不等式问题,实则方法本质依旧同上．

命制意图保留三角函数,而将原题中特殊的正余弦的一次式推向n次式,适当增加运算量与思维量．

4.4 直曲交点藏玄妙

命制意图引入直线,改编为直线曲线交点问题,看似与原题毫不相关,实则一本同源,综合考查函数与方程、数形结合的思想,对学生挖掘题目隐藏条件、充要条件推理等能力的考查更为深入．

5 启示

对于函数和不等式最值问题,要善于观察目标表达式的特点,在掌握换元、求导等通法的同时,亦要灵活配凑,合理放缩,结合均值不等式链Qn≥An≥Gn≥Hn巧解、妙解,也要学会追本溯源,运用特殊到一般的数学思想,深究背后几何意义,不拘泥于题干表征形式,不断提升数学归纳和数学建模的能力．