具有对流项的单种群时滞反应扩散模型的稳定性和Hopf分支

潘英翠,张存华,李永花

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

0 引言

近年来, 许多研究学者关注了对流环境中的种群动力学[1-2]. 在文献[3]中, Ma和Wei考虑了齐次Dirichlet 边界条件下具有对流项的单种群模型

(1)

其中:u(x,t)是位置x和时刻t处物种的种群密度;d>0表示种群的扩散系数;a>0是种群的对流率;b是种群的死亡率;g∈Cm(R,R)(m≥3)是种群的出生率且满足g(0)=0.

其中f(u)=g(u)/d且γ=a/d,ε=b/d,τ=dr.

Dirichlet边界条件表明外部环境是恶劣的,物种不能跨越环境边界移动.一些研究人员已经研究了Dirichlet边界条件下扩散系统在空间非齐次稳态解附近的动力学行为[3-5].然而,讨论Dirichlet边界条件下扩散系统空间非齐次稳态解附近的动力学行为非常困难,因为非齐次稳态解是空间非常数的.文献[5]应用Lyapunov-Schmidt约化方法,研究该模型空间非均质稳态解的稳定性,Hopf分支的存在和方向等.在文献[6]中,Busenberg和Huang利用隐函数定理和巧妙的构造,研究了具有Dirichlet边界条件的延迟扩散Hutchinson方程的Hopf分支的存在性.

在有些情况下,需要同时考虑瞬间和延迟反馈控制,基于此,本文考虑模型:

(2)

其中t>0.在文献[7]中,作者利用Lyapunov-

Schmidt约化方法得到了模型(2)空间非齐次稳态解的稳定性.本文在文献[7]的基础上,通过分析模型(2)在空间非齐次稳态解处线性化模型的特征值问题,研究了模型(2)的空间非齐次稳态解的稳定性以及Hopf分支的存在性.

1 特征值问题

记f1(0,0)=α,令λ=α+f2(0,0)-ε,考虑下面的特征值问题:

(3)

其中q(x)∈C([0,L]).由文献[3]可知(3)的所有特征值都是实的.设λ1(q)是(3)的主特征值,则其对应的特征函数不改变符号.下面将用φ1表示相应于主特征值λ1=λ1(0)>0的特征值函数且满足‖φ1‖L2[0,L]=1.

根据文献[7],在条件

(H)f11(0,0)+2f12(0,0)+f22(0,0)≠0下,当λ∈Λ≜(λ*,λ1)∪(λ1,λ*)时,其中λ*和λ*为常数,模型(2)有空间非齐次的稳态解

的解,这里

G(uλ,λ)=(eγx(uλ)x)x-
(f′1(0,0)+f′2(0,0)-λ)eγxuλ+
f(eγxuλ,eγxuλ).

另外h(·,λ):span{φ1}→X1满足h(0,λ)=0,其中X1={y∈X|〈v,y〉=0,v∈K}.K=span{φ1}.

在uλ处线性化模型(2),可得

(4)

其中,t>0,x∈(0,L).根据文献[8-9],由(4)的解所诱导的半群的无穷小生成元Aτ,λ为

其中

Aτ,λ的谱集为

σ(Aτ,λ)=
{μ∈C∣m(λ,μ,τ)ψ=0,ψ∈XC{0}},

其中

将τ作为分支参数,研究了Aτ,λ的谱来描述模型(2)正稳态解uλ的稳定性.

引理1假设条件(H)成立,那么当λ∈Λ时,对于所有的τ>0,0∉σ(Aτ,λ).

证明若0∈σ(Aτ,λ),则对于任何τ>0,存在一个ψ∈XC{0},使得

(5)

令

(6)

其中βλ∈R,φλ∈X1,满足〈φ1,φλ〉=0,将(6)代入(5),可得

(7)

将βλ和φλ(x)在λ=λ1处进行泰勒展开,可得

令

其中

当λ趋近于λ1时,比较(7)中各项的系数,可得到

接下来,讨论Aτ,λ的纯虚数特征值的存在.对于每个(λ,τ)∈Λ×R+,Aτ,λ有一个纯虚数特征根μ=iω(ω≠0)的充分必要条件是对于某个ψ∈XC{0},

(8)

当ω>0,θ∈[0,2π)时,上式可解,那么

整理得

对上式分离实虚部,得

根据上述分析,得出如下结论.

定理1如果(ω,θ,ψ)是(8)的解,其中ψ∈XC{0},那么

根据定理1,讨论λ∈(λ*,λ1)时的情况,作如下变换

(9)

其中

(10)

因此,得到如下结果.

定理2假设条件(H)成立,则存在一个常数λ*<λ1,

(i)存在从(λ*,λ1)到(XC{0})×R3的连续可微映射F:λ(φλ,βλ,tλ,ηλ),使得F(φ*,1,t*,0,λ1)=0,且F(φλ,βλ,tλ,ηλ,λ)=0,其中

(ii)模型(2)存在一个空间非齐次稳态解,模型(2)在其稳态解处线性化模型的解生成的半群的无穷小生成元Aτ,λ具有一个纯虚数特征值iω,当且仅当

且

其中βλ,φλ,tλ,ηλ,θλ在第(i)部分给出.

证明下面开始证明(i)部分,第(ii)部分同理可证.根据(9)和(10),(8)可以简化为

F(φ,β,t,η,λ)=0.

通过一系列计算,可得

F(φ*,1,t*,0,λ1)=0.

接下来,将M:X1C×R3YC×R定义为M=Dφ,β,t,ηM(φ*,1,t*,0,λ1).那么,

因此,M是一个从X1C×R3到YC×R的双射.根据隐函数定理,存在唯一一个从(λ*,λ1)到XC×R3的连续可微映射λ(φλ,βλ,tλ,ηλ),满足F(φλ,βλ,tλ,ηλ,λ)=0.

定理3

(i)若(ε+λ1-α)(f11(0,0)+2f12(0,0)+f22(0,0))≠0,则对于λ∈(λ*,λ1),有S(λ)≠0,其中

(ii)对于每一对(λ,n)∈(λ*,λ1)×N,则iωλ∈σ(Aτn,λ,λ)是简单的.

设k→∞,将上式两边同乘ωλk,得

由此,推出矛盾,故假设不成立,所以S(λ)≠0.

接下来,证明Aτn,λ,λ的纯虚数特征值iωλ是简单的.如果iωλ不是简单的,则可以选择u∈C1([-τn,λ,0],XC{0})和一个常数k∈R,使得(Aτn,λ-iωλId)u=kψλeiωλ(·),即

(11)

从式(11)的第一个方程计算得出u(θ)=(kθψλ+z)eiωλθ.将其带入(11)的第二个方程,得

eγx(iωλz+kψλ)=
(eγxzx)x-εeγxz+f′1(eγxuλ,eγxuλ)zeγx+
f′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλ(-kτn,λψλ+z).

计算上述方程与ψλ的内积,得

k〈ψλeγx,ψλ〉=〈ψλ,(eγxzx)x-
εeγxz+f′1(eγxuλ,eγxuλ)zeγx+
f′2(eγxuλ,eγxuλ)zeγxe-iθλ-iωλeγxz〉-
k〈ψλ,τn,λf′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλψλ〉=
〈m(λ,iωλ,τn,λ)ψλ,z〉-
k〈ψλ,τn,λf′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλψλ〉=
-k〈ψλ,τn,λf′2(eγxuλ,eγxuλ)eγxe-iθλψλ〉.

结合定理3(i),意味着k=0.由此得出,(Aτn,λ-iωλId)u=0.通过归纳,可以得到

Ker[(Aτn,λ-iωλId)j]=
Ker(Aτn,λ-iωλId)(j≥1).

故纯虚数特征值iωλ∈Aτ,λ是简单的.证毕.

2 Hopf分支的存在性

接下来给出横截条件.

定理4假设条件(H)成立,存在λ∈(λ*,λ1),对每一个n∈N,存在一个(τn,λ,iωλ,ψλ)的邻域On×Dn×Hn∈R×C×XC,一个满足μ(τn,λ)=iωλ和ψ(τn,λ)=ψλ的连续可微映射(μ,ψ):On→Dn×Hn,且(λ,n)∈(λ*,λ)×N.因此,Aτ,λ在Dn中的唯一特征值是μ(τn,λ),且,

证明由于在Dn中,Aτ,λ的唯一特征值是μ(τn,λ),所以满足

m(λ,μ(τn,λ),τn,λ)ψ(τn,λ)≡0,τ∈On.

在τ=τn,λ处对上式方程关于τ求微分,可得

在(0,L)上,计算上述方程与ψλ的内积,得

根据ψλ和τn,λ的表达式推断出,当λ→λ1时,

θλ→0,ψλ→φ1,ωλτn,λ→2nπ.

基于勒贝格控制收敛定理得

证毕.

综合上述的定理,可得如下结论.

定理5如果条件(H)成立,可得如下结论:

(1)当λ∈(λ*,λ1)时,Aτ,λ至少有一个具有正实部的特征值,即模型(2)的空间非齐次稳态解uλ是局部不稳定的.而且,在τ=τn,λ(n∈N)时,会发生Hopf分支,模型(2)的空间非齐次周期轨道的一个分支会在(τn,λ,uλ)出现.

(2)当τ≥0时,且λ∈(λ1,λ*),Aτ,λ的所有特征值只有负实部,模型(2)的空间非齐次稳态解uλ是局部渐近稳定的.

3 结语

本文讨论了具有对流项的单种群时滞反应扩散模型的动力学行为.该模型在空间非齐次稳态解处线性化模型的解所诱导的半群有一个无穷小生成元Aτ,λ,通过分析Aτ,λ的零特征值和纯虚数特征值,并结合横截条件,得到了模型空间非齐次稳态解的稳定性以及Hopf分支的存在性.