讲方法 扣关键 抓本质——例谈二次函数图像的平移

文／陈俊

从“数”上看，二次函数是研究最优化问题的常用数学模型。我们常用它来研究最大面积、最大利润、最小能耗等数学问题。从“形”上看，二次函数的图像是抛物线——人们常见的曲线之一，拱桥、隧道、美丽的喷泉、铅球的投掷、跳远、跨栏等都与抛物线有关。

苏科版数学教材九年级下册第20页习题第9 题：怎样平移函数y=-x2的图像，可以得到函数y=-x2-8x-7的图像？

【解析】二次项系数a相同的情况下，二次函数图像的平移，其实质就是顶点的平移。因此，解决这个问题的关键就是要抓住一个关键点——顶点。

函数y=-x2的顶点是（0，0），函数y=-x2-8x-7=-（x+4）2+9的顶点是（-4，9）。

因为点（0，0）先向左平移4 个单位长度，再向上平移9 个单位长度，可得到点（-4，9），所以函数y=-x2的图像也同样先向左平移4个单位长度，再向上平移9个单位长度，可得到函数y=-x2-8x-7 的图像。

利用二次函数表达式确定顶点，通过顶点的平移，可以确定二次函数图像的平移。反之，利用二次函数图像的平移，可以确定顶点的平移，从而确定平移后的函数表达式。

苏科版数学教材九年级下册第37页复习巩固第14 题：把二次函数y=x2+bx+c的图像向下平移1 个单位长度，再向左平移5 个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（-2，0）。写出原抛物线相应的函数表达式。

【解析】二次函数y=x2+bx+c的图像向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度，说明顶点也发生了同样的平移。我们将平移后得到的顶点坐标（-2，0）先向上平移1 个单位长度，再向右平移5 个单位长度，就可以反向平移到变化前的位置（3，1）。由顶点式就可以写出原来的二次函数表达式：y=（x-3）2+1=x2-6x+10。

我们通过教材上的这两个问题，可以知道：二次项系数a相同的情况下，二次函数图像的平移，其实质就是顶点的平移。紧扣这个关键点，抓住本质，在解决更复杂的二次函数平移问题时，就会有思路和方法了。

（2023·浙江温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m 的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线。当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m。已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示的直角坐标系。

（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。

（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

【解析】（1）抛物线的顶点坐标为（2，3），则我们可以设抛物线表达式为y=a（x-2）2+3。

∴当时他应该带球向正后方移动1米射门。

函数图像是由点构成的。函数图像位置的变化，实质就是图像上点的位置的变化。因此，同学们可以通过研究点的位置变换与其坐标的变化，来研究函数图像的变换及其表达式的变化。