由“范”到“探”:基于问题解决的高中数学基本活动经验拓展理路

章林海

(建德市严州中学新安江校区,浙江 建德 311600)

“问题是数学的心脏”,问题是思维的源泉,培养学生解决数学问题的能力是学生学习数学的核心.问题解决并不是单纯地解决问题,而是在教师的指导下学生自主实现对问题的理解、分析的一种创造性活动,问题解决需要在不同问题情境下高质量地分析、解决问题,突出综合性,强调应用性,对知识迁移和创新思维能力的要求较高.

数学基本活动经验是学生对数学的真正体验,其核心是让学生形成自己的数学现实和数学直觉,主要体现在数学学习中不断积累数学知识、技能和方法,形成数学思想、数学认知、数学精神、数学能力的过程.高中数学新课标从“双基”走向“四基”(基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验),强调对过程的关注和对数学基本活动经验积累与拓展的重视.实际上教学本身就是在已有经验的基础上开展的思维活动,而且新知的学习、知识的应用都离不开数学基本活动经验的指导.

重视数学基本活动经验意味着教师必须给学生更完整的教学过程,呈现给学生问题解决的全过程.数学基本活动经验的拓展使学生的认知结构进一步完善,对数学的理性精神有进一步的感悟,能有效提升学生的数学素养.因此,如何拓展学生的数学基本活动经验是高中数学教学中一个值得关注的课题.虽然教师的教学观念有了很大的改变,但是目前课堂教学中仍常常出现以下现象:教师的讲解取代学生的自主探究,忽视学生的主动思考和建构,轻视问题分析和结论生成的过程,很少关注学生是否真正参与了数学思维活动.章建跃博士说过,一个好例子胜过一千次说教.由“范”到“探”:基于问题解决的高中数学基本活动经验拓展理路就是在问题解决教学中,教师既要做好问题解决示范,又能引导学生自主探究,使学生在已有经验的基础上解决问题,在反思提炼的过程中实现数学基本活动经验的拓展.笔者提出做好“问题发现”示范,发展学生“探究创新”的基本活动经验;做好“问题导引”示范,发展学生“自主分析”的基本活动经验;做好“思维推动”示范,发展学生“规范思维”的基本活动经验;做好“模型概括”示范,发展学生“建模与应用”的基本活动经验,从而在问题解决的过程中实现学生数学基本活动经验的拓展.

1 “问题发现”示范,发展学生“探究创新”的基本活动经验

张奠宙先生指出,数学基本活动经验是通过对具体事物进行实际操作、观察和思考,从感性向理性飞跃时所形成的认识.荷兰数学家弗赖登塔尔提到,与其说是学习数学,还不如说是学习“数学化”.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中强调,学生是学习的主人,教师应向学生提供充分从事数学探究的机会,帮助他们在自主探索、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想方法.

知识的传授不是简单地从一个人迁移到另一个人,而是基于个人对问题的探究、交流和反思.同时,数学的高度抽象性决定了学生在认知上存在一定的困难.发现学习是关注过程的学习,是学生主动学习的体现,因此,重视发现学习是对数学学习认识上的提升,这不仅有助于深化学生的思维,还能更好地激发学生的认知活动,拓展学生的数学基本活动经验.数学课堂教学必须结合具体内容做好引导“问题发现”的示范,让学生在学习活动中去经历问题的发现,积累数学“探究创新”的基本活动经验.

案例1椭圆标准方程的推导.

椭圆的学习为双曲线、抛物线的学习提供了研究的基本模式,是学生第一次用坐标法研究曲线的性质,第一次真正体会和运用代数方法研究解析几何的基本思想.教师从实际操作中抽象出椭圆的一般概念,然后复习用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤,引导学生合理建系,结合对称性,以点F1,F2所在直线为x轴、以F1F2的中垂线为y轴建立坐标系,列式可得

如何化简?有的学生直接平方,式子越来越复杂,有的学生移项然后二次平方.教师引导学生的探究过程如下:构造对称式

两式相减,可得

这个方程左边分式中分子的几何意义是什么?分母的几何意义是什么?为以后学习圆锥曲线的第二定义做准备.

这个式子的几何意义是什么?

本设计还课堂以精彩的生成,强调知识的发生和发展过程,通过基本问题引导学生发现和提出新的问题或变式;教师带领学生进行独立操作和探究,学生积极参与“再发现”,主动进行知识建构,在问题解决中拓展数学基本活动经验.在教学中,教师要深挖教材的探究实例,发掘典型问题的探究时机,强化学生的主体地位,点拨探究方法,及时引导问题发现,有效拓展学生“探究创新”的基本活动经验.

2 “问题导引”示范,发展学生“自主分析”的基本活动经验

在问题解决教学中,在问题发现的基础上教师要强化情境分析,关注数学本质,尊重学生已有的经验和思维习惯;做好“问题导引”示范,设计有一定逻辑关系的问题串,利用问题串分解问题解决的总体目标,实现“小步走”;引领学生进行持续的思维活动,体验问题解决过程中的思维逻辑,做到真理解、会分析,促进问题解决能力的培养和“自主分析”基本活动经验的拓展.

案例2点到直线距离公式的推导.

已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.

教师要设置问题串做好问题导引.问题设置要体现探索性,给学生提供思维空间,充分暴露知识背景,展现知识的形成过程,让学生真正体验思维的获得路径.

问题1如何直接求点P到直线l的距离?

图1

与l的方程联立,得交点为

问题2上述求法将点到直线的距离转化为两点之间的距离,体现了转化的思想.但过程较为烦琐,是否可以利用图形性质改进解法、减少计算量?

生2:将点到直线的距离转化为求直角三角形斜边上的高(如图2),运用面积关系可求得

图2

问题3结合勾股定理,是否可以继续优化运算?

生3:根据面积关系|PA|·|PB|=|PH|·|AB|或射影定理,结合勾股定理,可推得

即

问题4回顾直线方向向量的概念和投影向量的应用,如何利用向量投影求点到直线的距离?

图3

因为点Q在直线l上,所以

Ax1+By1+C=0,

部分学生意犹未尽,还提出可转化成求两点之间的最小值问题.因为

Ax+By+C=0,

所以

从而PQ2=(x-x0)2+(y-y0)2

教师创设适切的问题情境引发学生思考,设置层层递进且富有逻辑的问题驱动课堂,从而激发学生的学习热情,引导学生从不同角度解决问题并逐渐优化.在整个问题解决的过程中,教师不只是强调题型的讲解,而是帮助学生梳理问题解决的经验;不只是呈现解法,而是关注问题引导,在问题解决中培养学生的数学能力,从而积累数学基本活动经验.本设计注重深挖问题背景,结合学生已有经验将距离问题进行多角度表征,问题设计、知识呈现都能兼顾学生的最近发展区并进行有效地拓展.问题引导有特色,便于学生理解并进行深度思考,切实把学术形态的数学知识转化为综合数学能力和数学素养的教育形态的数学知识,同时不满足于会做一道题目,而是高质量地实现一类问题的解决.

3 “思维推动”示范,发展学生“规范思维”的基本活动经验

史宁中指出,数学活动经验并不仅仅是实践的经验,也不仅仅是解题的经验,更重要的是思维的经验,是在数学活动中思考的经验.积累数学活动经验的有效途径是引发学生思考,引导学生反思.因此,在教学中教师要创设良好的思维互动情境,做好思维的启发,推动学生思考;然后概括经验,沉淀下来成为有用的条理化的经验,从而在规范思维中拓展学生的数学基本活动经验.

(2020年天津市数学高考试题第14题)

这是一道二元最值问题,考查数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养,对学生的转化能力要求较高.教师引领数学探究,做好“思维推动”示范,教给学生如何规范地思考,力求讲清楚一个好的解法是怎样想出来的,并且在探究过程中进一步完善知识结构,探索学生“规范思维”的基本活动经验.

解法1因为a>0,b>0且ab=1,所以

当且仅当a+b=4且ab=1,即

评注这是常规思维,该解法运用条件ab=1转化成积为定值、求和的最小值,直接由基本不等式获得结果,并检验等式成立的条件,这是解决多元最值问题常用的方法.

越秀说：“我们成亲后，乔瞧姐就很少出门，也不替人看病了，看到她，跟她说话，她就当没听见。她都二十五六了，还没嫁人。”

追问能否利用减元的思想将二元问题转化成只含一个变量的最值问题求解?

该探究抓住问题的本质,充分暴露了二元最值问题的求解思维,使学习者头脑中的模式和形式得到了完善和丰富,促进了知识的建构和迁移.没有一道题目是彻底完成了的,总还会有些事情可以做;在充分研究和洞察后,我们可以将解题方法加以改进;而且无论如何,我们总可以深化对答案的理解.如果解题到此为止,那么教师忽视了帮助学生总结解题经验、提炼解题思想.教师应继续引导学生深入理解、深度思考,帮助学生总结解题经验,跳出题海,提炼解题策略,让学生从解题中学到解决问题的方法,从而提高学生的思维能力.

教师带着这个问题引导学生思考,强化规范思维的重要性.将代数式化成

波利亚曾指出,“教会那些年轻人去思考”是数学教学首先和主要的目标[1].教给学生的思路是要做到思维的“标准化”,必须“规范地”思维.教师要找准思维起点,关注知识逻辑和思维逻辑,突破思维生长点,引导学生规范思维,并引导学生在辨析中学会理性地、有条理地思考问题,从而在问题解决的过程中拓展学生的数学基本活动经验.

4 “模型概括”示范,发展学生“建模与应用”的基本活动经验

数学是关于模式的科学,数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题,用数学方法建构模型解决问题[2].数学建模是联系数学与应用的重要桥梁,是数学走向应用的必经之路,是启迪数学心灵的必胜之途[3].因此,数学学习离不开基本模型的构建.在建构模型的过程中,学生不断积累数学基本活动经验.在教学过程中,教师要精心设计有价值的基本模型供学生学习,让学生充分经历数学模型的构建过程,从不同方向思考并对问题进行多角度表征,体验数学的创造历程,并且对数学活动进行概括和升华,在模型概括中拓展学生的数学基本活动经验.

函数的对称性是在变化中体现规律性,在变化中体现不变性的一种函数的基本模型,是运用数形结合思想研究函数性质的有效工具,也是高考的热点之一,常考常新.函数的对称性是函数奇偶性的有效拓展,研究函数的对称性要抓住概念和性质进行思考,首先奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称,性质的应用主要是将函数对称性的问题归结为函数奇偶性的模型进行思考,将对称中心相关问题转化为奇函数的平移问题,将对称轴问题转化为偶函数的平移问题.

(2023年全国数学高考乙卷理科试题第21题节选)

模型应用1由已知得

f(1)=f(-2),

即

则

a+1=2-a,

通过对优等生问题解决过程的研究,笔者发现他们之所以优秀是以前做过的题目都能为其所用,作为今后问题解决的依据或参考,这实际上凸显了数学基本活动经验积累的重要性.基于问题解决的高中数学基本活动经验拓展理路,就是要求教师真正做到由“范”到“探”的引导,把“体验、内化、迁移”这一积累数学基本活动经验的过程落实到教学中,要求学生在直接经验的基础上通过自己的分析比较、抽象概括、推理证明以及数学建模等活动,实现更有效、更实在的数学联系和迁移,从而实现问题解决,并引导学生不断反思数学基本活动经验的生长,及时分享活动经验,实现学生数学基本活动经验的拓展.