19世纪上半叶法国数学创新的特征研究——数学物理的发展

王晓斐

(中国科学院 自然科学史研究所，北京 100190)

0 引言

挪威数学家阿贝尔(Niels Henrik Abel，1802—1829)1826年到访当时最活跃的科学中心——巴黎，希望与法国的数学家交流，最后却悻悻而归，因为此时他在代数方程以及椭圆函数这些纯粹数学上的研究没有引起法国数学家的兴趣。在被很多数学史家引用过的他的一封信中，阿贝尔对巴黎的数学家给出了这样的描述：“柯西是唯一关注纯粹数学的人，泊松、傅里叶、安培和其他人都投入在对磁和其他物理问题的研究中”[1]。的确，从19世纪初开始的20 a中，在拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace，1749—1827)的影响下，法国新一代的数学家以泊松(Siméon Denis Poisson，1781—1840)为代表，他们通过对声音、光、弹性等物理现象进行新的考察，拓展了分析学特别是对偏微分方程的性质和解以及积分的研究，这使得分析学对物理及天文的应用得到了优先的关注。甚至早期拉普拉斯的挑战者傅里叶(Joseph Fourier，1768—1830)和后者的拥护者也投入到对更多的物理现象，如热、电、磁等的本质及规律的观察和研究中。在这一过程中，分析学不断将新的物理观察和问题纳入研究范畴，得到了广泛的应用和自身的发展，从而建立起了数学物理这一分析学的应用分支。它的发展在19世纪上半叶独领风骚。另外一方面，物理学也开始被数学化和精密化，逐步从质性研究走向严格分析领域。到19世纪末，所有的物理理论基本都由数学的术语表示出来[2]。

1822年后傅里叶成为法国科学院的终身秘书，他对数学物理，特别是热的研究的鼓励使多数数学家关注和进入这一方向。通过翻阅1820年至1835年的《科学院会议记录》(Procès verbaux des séances de l' Académie des sciences)以及1835年后出版的《科学院会议周报》(Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences)，考察各年科学院提出的数学奖励问题以及科学院收到和评审的论文，对这期间法国主流数学界关注的研究领域有一个细致的了解，并由此窥见这一时期法国数学研究的特征。

1 1820至1840年的巴黎科学院数学奖

至少从16世纪开始，数学问题因数学家之间的相互挑战被提出。这一传统在18世纪被欧洲的不同的科学院所继承。各个科学院所提出的问题代表了当时重要数学家关注的研究领域，同时也指示出这一时期有潜力的研究方向。如数学史家格雷(Jeremy Gray)所认为的“将公众的注意力吸引到一些关键问题上，并为解决它们的人提供丰厚的回报，这是影响研究方向的一个机会”。或者按另一位数学史家哈乃克(Adolf Harnack)的话，“奖项的争夺构成了不同的科学逐年增长的一个杠杆，并且是科学的普遍化和统一化的重要因素”[3]。至19世纪，尽管在奖励问题的提出和评审中出现了更多复杂性，如其中存在针对候选人的研究领域设置问题，或是评审人亦参与奖项争夺的情况，但奖励问题仍是受到欧洲特别是年轻数学家的关注，并为他们指引研究的方向。

法国科学院每间隔一年公布一次数学奖励问题。并且数学奖在科学院所有的科学奖中是最高的金奖，这显示了数学奖的重要性。在1820年，科学院未设置具体的数学奖问题。根据科学院1822年4月的公开会议记录，从1820—1822年收到的多个数学物理研究引起了科学院的兴趣，包括有关椭球体表面流体的运动规律的论文，以及对双折射、光的极化和固体震动的实验研究，最终1822年的数学奖颁给了一项关于磁针上的电流活动的研究。评审委员会认为这项发现“为应用数学提供了一个新的原理，并且展示了分析学的一些有意义的应用”[4]。从科学院1820至1823年的记录也可以看到关于电磁的分析学研究以及实验是这一时期的热点。安培(André-Marie Ampère，1775—1836)作为多个论文评审委员会的成员，向科学院呈现了多个电磁研究的报告。在一份报告中，安培与傅里叶和盖·吕萨克(Joseph Louis Gay-Lussac，1778—1850)组成的委员会建议将一篇关于电磁现象的论文发表在科学院刊物上，并得出结论：“论文作者发展了微积分应用于电动力学现象的方法以及有用的结果。”“那些对科学的进步和微积分的应用感兴趣的、并且希望用精确的结果代替物理学中的模糊的理论的人，将乐于比较作者用到的那些方法并欣赏那些能够解决困难的方式。”[4]这里表明委员会所强调的该论文突出的两点贡献：一是拓展了微积分对物理学的应用，二是因为对数学公式的应用使得精确的结论取代了模糊的理论。

1822年提出的数学奖问题是关于液体的压缩以及由此产生的热，评选结果将在1824年给出。在此，科学院评选委员会还特别指出热的理论是应用数学中最引人入胜的题目之一[4]。之前的一些数学奖已评选出一些对热理论不断深入的研究，此次奖励针对的问题仍是为了继续完善这一理论。但由于科学院未得到满意的结果，因此决定将该数学奖延续至1826年评选出结果，之后又推至1827年[5]。这也可以看出数学奖评委会在持续5 a的时间中对解决该问题的期待和对应用数学的重视。最终该奖颁给了来自日内瓦的物理学家克拉东(Jean-Daniel Colladon，1802—1893)和数学家斯图姆(Charles Sturm，1803—1855)。他们针对不同液体在不同压强下的密度以及压缩后能够产生的热量设计了仪器和实验，此外还给出了相关的数学理论。由此可以看出这一时期数学研究对物理理论和观察的紧密关注。在该报告的末尾评审委员会引用了拉普拉斯《天体力学》中的一句铭文：“如果精确的观察可以产生理论，理论的推力反过来也将刺激精确的观察”[5]。此处可以看出拉普拉斯的影响力的延伸，也说明对不同物理现象给出精确的实验和观察并得出相应理论——即数学方法——是这一时期的研究目标。

1828年，科学院的数学大奖没有提出具体针对的问题，但评审委员会一致认为该奖将颁给1828—1830年出现的最重要的数学应用研究，包括对物理学和天文学的应用，或者重要的纯粹分析研究。根据记录，科学院也希望能增加研究的多样性，因此选择了这一更宽泛的方向[6]。该奖最终共同颁给了年轻的德国数学家雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi，1804—1851)和一年前去世的挪威数学家阿贝尔[6]。他们在椭圆积分上的研究受到了法国数学家勒让德(Andrien-Marie Legendre，1752—1833)的赞扬和力荐。数学史家达东(René Taton)认为这一定程度上是对早逝的阿贝尔1826年提交给巴黎科学院的重要论文被忽视的一个弥补[7]。1832年的数学奖同样没有设置具体的问题，而是面向所有的分析学的重要发现以及对天文或物理的新的应用[8]。1834年该奖公布的评选结果为斯图姆在代数方程的根的个数上的新发现[8]。

1835年提出的数学奖励问题是关于水的阻力，奖项将在1836年颁发。科学院认为这一问题的重要性值得再次受到实验学者们和数学家的关注[9]。事实上，这一问题作为数学奖问题已经被提出过两次，但均未取得令科学院评委会满意的结果。再一次，科学院在1836年宣布这一问题仍未被解决，考虑到这一问题的难度以及所涉及知识过于广泛，为了获得理论上和实验上的完美结论，评委会建议将这一问题继续作为1838年将颁发的数学奖问题[10]。最终在1839年，评委会决定将这一奖项共同颁发给批欧博尔(Guillaume Piobert，1793—1871)、莫寒(Arthur Morin，1795—1880)和迪迪昂(Isidore Didion，1798—1878)3位军事工程师，并认为他们所进行的多个实验中蕴含着实际的用途。但令评审们遗憾的是这些研究没有对所看到现象的物理性质获得深入的理解[11]。这或许暗示的是应该将这些物理性质进行数学上的表示和理论上的推进。由此也可以看出法国数学家们对物理问题的紧密关注以及对由物理问题引发数学上的发现的期待。

1839年提出的将于下一年即1840年颁发的数学奖问题是关于行星的扰动理论，具体聚焦在如何将行星的扰动增量表示为新发现的一类周期函数——不同于三角函数的周期函数的级数形式，如此通过这一类新的周期函数的已有数据，可以确定行星在任何时候的位置。根据评委会的说明，这一问题的提出是为了引起数学家对解决天体力学主要问题的新方法的关注[11]。

尽管科学院在1830年和1834年的两个数学奖颁发给了纯分析和代数方程研究，但从更长的时段看，从1820—1840年的数学奖问题多数是针对应用数学，特别是对物理学的应用研究。这是从拉普拉斯开始，被傅里叶、泊松、安培等多数重要数学家热切关注的领域。他们对新一代法国数学家研究取向的影响是显著的。下文中通过剖析以刘维尔(Joseph Liouville，1809—1882)为代表的年轻一代的数学家的研究经历，以说明他们的研究如何受到19世纪初法国的数学家培养和职业化体制的形塑，以及这些因素对沿袭正统的创新的鼓励和对之外的创新的忽视。

2 年轻数学家的培养和职业道路

19世纪初，数学家职业化刚刚开始，18世纪末建立的巴黎综合理工学院培养了一批重要的法国数学家，他们或成为数学教师或成为工程师，构成了19世纪法国数学发展的重要力量[12]。

2.1 数学家的“必经之路”

如同19世纪上半叶的大多数数学家一样，刘维尔1825年通过入学考试进入巴黎综合理工学院学习，两年后毕业进入应用院校学习更多工程师专业的课程和实践。刘维尔所进入的桥梁道路学院是当时多数优异的综合理工毕业生的选择。在这里，学生每年必须进行工程实习，即被派往法国的各个地区作为实习工程师在核心工程师的带领下熟悉工程建设的相关知识和操作。但刘维尔对成为工程师似乎没有兴趣。在进入巴黎桥梁道路学院时，刘维尔也许已经决心进入数学研究的道路，这很可能是与他在巴黎综合理工学院的学习有关。

从巴黎综合理工学院建立时便鼓励最优异的学生展开独立的科学研究。在刘维尔进入巴黎桥梁和道路学院时，已经开始自己研习那些经典的或者说当时被认为重要的数学著作。根据刘维尔的传记，刘维尔在这一时期的笔记显示了他的一张学习书单，其中包括拉普拉斯的《概率论》、勒让德的《数论》、泊松关于热理论的研究，拉格朗日的《分析力学》、拉普拉斯的《天体力学》、蒙日和庞斯勒的几何学论著、傅里叶的《热的解析理论》和勒让德的《积分练习》[13]。从这一书单可以了解到在19世纪初，这些是一个有志成为数学家或是对数学有热情的年轻人应该去研究的重要的数学著作。刘维尔的前辈数学家柯西(Augustin Louis Cauchy，1789—1857)，同样从巴黎综合理工学院毕业之后进入桥梁道路学院，并在此期间开始独立的数学研究，常利用空闲时间研究拉格朗日和拉普拉斯的著作[14]。此外，刘维尔较早就开始关注不同的科学期刊，包括欧洲各科学院的论文集，巴黎综合理工学院的院刊和通讯以及最早发行的数学专业期刊《纯粹与应用数学年刊》(也称作《热尔岗年刊》)，并从这些期刊中了解最新和最重要的研究。

刘维尔在巴黎综合理工学院学习期间，柯西和安培分别是该校两个不同年级的分析课教师。安培负责刘维尔所在的年级。他为刘维尔走上数学研究提供了很重要的帮助。1826年至1827年，除了理工学院的课程，刘维尔还参加了安培在法兰西学院开设的数学物理前沿讲座。在这一讲座上，安培教授了他本人关于电动力学的最新理论，并指导刘维尔开始了应用数学的研究。在刘维尔关于数学物理讲座的笔记中，安培做了很多修改意见[13]。刘维尔最早发表的一篇文章是对电力定理的一个证明，此时他还没有从桥梁道路学院毕业。总之，在巴黎综合理工学院时期的学习为刘维尔走上数学研究的道路奠定了很好的基础。

从1830年起，为了追求科学事业，刘维尔坚持留在巴黎，因为他认识到要进行科学研究，留在巴黎是必要的[15]。从19世纪初开始至这一时期，巴黎无疑是欧洲数学的中心，聚集了法国最重要的数学家以及各地前来学习的年轻人。从1827年开始，也就是刘维尔刚从巴黎综合理工学院毕业时，他便定期与一些年轻数学家和物理学家聚在一起讨论问题[16]。这些人大多数是巴黎综合理工学院的毕业生，也有少数欧洲其他国家的年轻人，包括后期刘维尔的重要合作者——日内瓦数学家斯图姆和德国数学家迪利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805—1859)。巴黎是科学家聚集的中心，在刘维尔看来留在巴黎是进入科学研究领域的必要途径。他因此拒绝了桥梁与道路学院给他的外派任务，成了一名“自由”科学家。这也说明刘维尔要成为数学家的决心。我们不清楚从何时起他有了这样的想法，但他在巴黎综合理工学院的训练以及像柯西这样的巴黎综合理工学院毕业生的经历应该给了他信心。在这一时期为了维持在巴黎的生活，刘维尔兼任了巴黎综合理工学院的助教(répétiteur)和一所中学及一所职业学校的数学教职。这是从19世纪早期开始很多科学家维持生活的惯常方式，即做兼职(cumul)。对不成名的年轻数学家，如此不仅薪水微薄也很难保证数学研究的时间。因此，寻求一个稳固职位甚至拥有科学院院士的头衔是每个留在巴黎的年轻科学家追求的目标。

为此，他们需要自己的研究被更多科学家特别是重要人物了解，最有效的方式便是向科学院投稿，特别是针对科学院各年提出的奖励问题给出解决方法。可以说，这是19世纪上半叶法国数学家的职业必经之路：首先进入巴黎综合理工学院，之后进入应用院校，同时开始独立研究并向科学院投稿以在科学界崭露头角，从而留在巴黎获得高等教育和科学机构的稳定职位。在这个过程中，年轻一代的数学家的研究方向即受到其教育环境还有科学院这样的高等研究机构特别是有名望的数学家在研究方向上的引导。如前文中科学院公布的数学奖也吸引着众多年轻数学家在奖励问题上投入努力。

2.2 “保护人”的支持和影响

从刘维尔早年关注的方向和所发表论文的相关领域可以看出1830—1840年法国的数学家关注的重要问题，以及一个年轻数学家如何受到其所处的时期的影响。刘维尔最早发表的论文是受到他在综合理工学院的老师安培的影响，对他更大的影响和支持来自泊松。柯西也曾受到拉普拉斯和泊松的保护和支持。作为拉普拉斯之后最具影响力的数学家以及科学院的成员，泊松对柯西早期的多个研究都有所指导。在柯西的一些研究上，泊松给出细致的点评并提出要求。另外，泊松通过在科学院的会议上宣读对柯西的研究报告并给出积极评价，使得后者的工作被熟知并在争夺科学院提名时取得有利的条件。这的确使年轻的柯西位列前途光明的数学家之中。但即使如此，柯西也在几次竞争中失利。这并非是对柯西才华的否认，他以优异的成绩毕业于巴黎综合理工学院，在刚毕业时发表的关于多面体的研究曾得到勒让德的赞赏。但根据数学史家白鲁诺(Bruno Belhoste)的说明，法国大革命之后，在1795至1800年期间，多个科学机构得到重建以及新的高等教育机构成立，为当时的年轻一代科学家泊松、毕奥(Jean-Baptiste Biot(21 avril 1774，Paris-3 février 1862)和安培等提供了快速获得重要职位的机会，从下一代的柯西，菲涅尔(Augustin-Jean Fresnel，1788—1827)和纳维耶(Claude-Louis Navier，1785—1836)开始，通向那些职位的道路变得窄而拥挤。他认为这可能是法国科学在几年之后相对衰退的一个原因[14]。

因而从19世纪的第一个十年以后，一个有才华的年轻数学家也需要得到很大的支持才能快速使自己的研究发表和获得认可。如此，从18世纪开始法国知识人(Savants)中盛行的“保护人”(patron)在19世纪仍在延续。达朗贝尔曾是拉普拉斯的支持者和保护人，而后拉普拉斯支持和影响了一批年轻数学家，其中包括泊松。有地位的科学家给予后辈科学家的支持不仅在竞争重要职位时发挥影响，而且在后者的研究方向上起着引导性的作用。这种“保护人”直到二战前仍具有不可忽视的影响。事实上，的确如数学史家吉斯拜尔(Hélène Gispert)说明，这些“保护人”塑造了一个时期的研究兴趣和风格，因而在这一时期的创新研究上烙下他们的印记[17]。

在1839年刘维尔成功被选为科学院天文学部的成员之前，他所关注的无论是热理论还是天体力学的研究，很大程度上受到拉普拉斯著作的影响和泊松的具体引导。从1830年刘维尔开始了他研究的活跃时期。在1832年左右，沿袭拉普拉斯物理学的思想，刘维尔研究了微观分子之间的相互作用。这是从19世纪初开始数学家普遍关注的问题。在对电的基本粒子的研究中，刘维尔受到安培的影响将此问题归为积分方程解的问题。同时，在他的研究中，他发现这些积分方程能够转化为分数次的微分方程，从而将微分算子推广到了任意次。但这一研究结果未能受到科学院的重视。之后，他向科学院投递了另一篇关于代数函数的积分式的研究，这也是一个在拉普拉斯的《概率论》中处理的一个问题，这可能引起了泊松的兴趣。对待刘维尔的这项研究，科学院评审小组成员之一的泊松给出了一个积极的评价，并在科学院的例会上宣读了他的评审报告。刘维尔的研究因此得以在科学院的官方刊物上发表。此后，刘维尔根据泊松的建议继续对此研究[13]。

泊松也曾对刘维尔提出研究同质的二维面上的热传导问题，刘维尔因此在1830至1834年不断尝试攻克这一问题，并在1834年向科学院提交了他关于这一问题在一些特例上的研究结果，得到了泊松毫无保留的称赞。刘维尔的传记作者如此说明这一研究在当时的重要性：“尽管这一研究从历史上看不如刘维尔在分数阶微积分和代数函数积分式上的研究，但它在当时得到了更高的评价，因为它是一个传统的领域，这意味着(同代的科学家)对这一领域中什么是重要的、有难度的、正确的和巧妙的是有共识的”[13]。同时，这也意味着对一些新出现的方法或结论则是难评价的。由此我们看到一个时期的研究传统对年轻数学家的影响，这也导致在正统之外的创新研究几乎不会立即被接受。这其中既有“保护人”的影响，也与不同时期数学实践坚持的标准和模式相关。如前文中1820至1840年的科学院数学奖所反映的，数学物理及应用研究是被重视和鼓励的方向。在这样的背景下，受到当时典型教育的一代自然被引向这些领域。

在1820至1840年，大革命前或大革命期间受到教育的一代主导着科学高等机构，为数不少的年轻数学家如刘维尔一样渴望证明自己的才华并取得认可。阿贝尔与伽罗瓦(Evarist Galois，1811—1832)也是其中的两位，他们过于短暂的生命更加凸显了他们的才华。如数学史家埃哈赫(Caroline Erhardt)所说明的，与伽罗瓦同辈的刘维尔以及斯图姆早期提交给科学院的论文也都被忽略或者被拒绝，才转而选择将论文发表在其他科学期刊。这样的情况在当时并不少见，很多提交给科学院的论文都没有得到内部的任何回应。但同时，埃哈赫也强调这与19世纪早期流行的数学实践以及思考模式也是相关的。伽罗瓦的方法并非当时数学正统的代表，他的教育经历也并不是典型的，这可能导致他的论述不符合“标准”的方式，因而未得到科学院指派的论文审阅人泊松和拉克鲁瓦的理解。而且方程论是已经“过时”的研究方向，不受当时数学家青睐[18]。因此，伽罗瓦的例子从另一方面也说明了19世纪上半叶法国数学界的研究倾向和“官方”科学家对数学研究方向的主导。

3 结论

通过着重对1820至1840年科学院数学奖问题的分析，可以看到在这一时期法国数学研究倾向数学物理研究的特点。这延续了18世纪末开始的拉普拉斯倡导的数学化物理学的方向。这是19世纪上半叶法国数学发展的重要背景和特征。通过设置和公布数学奖问题，法国数学界向整个欧洲的有志向的年轻数学家指示了待探索的方向。在大革命后法国数学家的培养方式和职业化道路趋于一致，年轻一代的数学家所处时代的特点也在他们的数学研究经历中留下了印记。刘维尔在早期职业道路上的经历向我们展示了其数学研究的方向如何受到这一时期主流的数学兴趣和风格的影响。