2024年普通高等学校招生全国统一考试数学新模式模拟卷2

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0089-09

收稿日期：2024-03-05

作者简介：李昌成（1977—），男，四川资阳人，本科，中学正高级教师，从事中学数学教学研究.

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.“xgt;2且ygt;3”是“x+ygt;5”的（" ）.

A. 充分不必要条件""" B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件" D. 充要条件

2.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为（" ）.A. 81π" B. 100π" C. 14π" D. 169π

3.用函数M（x）表示函数f（x）和g（x）中的较大者，记为：M（x）=max{f（x），g（x）}.若f（x）=2x+2-x，g（x）=-x2+72，则M（x）的最小值为（" ）.

A. 32""" B. 2""" C. 52""" D. 72

4.函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ωgt;0，-π2lt;φlt;π2）的部分图象如图1所示，则ω，φ的值分别是（" ）.

A. 2，-π3" B. 2，-π6" C. 4，-π6" D. 4，π3

5.已知复数z=102-i-i3（其中i为虚数单位），给出下列命题：

p1：z的共轭复数为4-i；

p2：z的虚部为3i；

p3：z的模为25；

p4：z在复平面内对应的点位于第四象限，

其中真命题的个数为（" ）.

A. 0""" B. 1""" C. 2""" D. 3

6.已知幂函数f（x）=xm-2（m∈N）的图象关于原点对称，且在（0，+

SymboleB@ ）上是减函数，若（a+1）-m2lt;

（3-2a）-m2，则实数a的取值范围是（" ）.

A. （-1，3）""" B. （23，32）

C. （-1，32）D. （-

SymboleB@ ，-1）∪（23，32）

7.如图2，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且相互独立，则灯亮的概率为（" ）.

A. 116""" B. 316""" C. 14""" D. 1316

8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F，直线l：bx-ay=0与椭圆C交于M，N两点.若tan∠MFN=22，则椭圆C的离心率为（" ）.

A. 55" B. 255" C. 12或55" D. 22或255

二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）

9.已知正项数列an的前n项和为Sn，若2anSn=1+a2n，bn=log2Sn+2Sn，数列bn的前n项和为Tn，则下列结论正确的是（" ）.

A. S2n是等差数列B. anlt;an+1

C.Sn≤en-1D. 满足Tn≥3的n的最小正整数解为10

10.如图3，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列说法正确的是（" ） .

A. 直线D1D与直线AF垂直

B. 直线A1G与平面AEF平行

C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为9/8

D. 点C与点G到平面AEF的距离相等

11.在5道题中有3道理科题和2道文科题，不放回地依次抽取2道题，则下列结论正确的是（" ）.

A. 第1次抽到理科题的概率为3/5

B. 第1次和第2次都抽到理科题的概率为3/10

C. 第1次抽到理科题，第2次抽到文科题的概率为1/2

D. 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为1/2

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.直线l过（3，1）且与圆x2+y2-2x-2y-2=0相切，则直线l的方程为.

13.若A为不等边△ABC的最小内角，则f（A）=2sinAcosA1+sinA+cosA的值域为.

14.已知F1，F2分别为双曲线C：x22-y26=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）.设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则|HG|的取值范围是.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，不等式f（x）≥bx-2对x∈（0，+

SymboleB@ ）恒成立，求实数b的取值范围.

16.光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，见表1：

表1" 光伏发电装机量

年份年份代码x新增光伏装机量y兆瓦

2011年10.4

2012年20.8

2013年31.6

2014年43.1

2015年55.1

2016年67.1

2017年79.7

2018年812.2

某位同学分别用两种模型：①y^=bx2+a，②y^=dx+c进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差如图4所示（注：残差等于yi-yi^）.

经过计算得∑8i=1（xi-x）（yi-y）=72.8，

∑8i=1（xi-x）2=42，

∑8i=1（ti-t）（yi-y）=686.8，

∑8i=1（ti-t）2=3 570，其中ti=xi2，t=18∑8i=1ti.

（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.

（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b^=∑ni=1（xi-x）-（yi-y）∑ni=1（xi-x）2，a^=y-b^x.

17.如图5，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABD，∠ASD=∠BAD=∠BCD=π2，SA=SD=2，AB=2BC=2CE=2SF=1.

（1）求证：EF ∥平面SAB；

（2）求点E到平面SAB的距离；

（3）求平面SAB与平面SBC的夹角.

18.已知抛物线G：y2=2px（pgt;0），点M（2，0）在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M到F距离的3倍，经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线x=-2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q.

（1）求抛物线G的标准方程;

（2）判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由.19.已知a∈R，f（x）=log2（1+ax）.

（1）求f（x2）的值域；

（2）若关于x的方程f（x）-log2［（a-4）x2+（2a-5）x］=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围；

（3）当agt;0时，对任意的t∈（13，+

SymboleB@ ），f（x2）在［t，t+1］的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围.

参考答案

1.若xgt;2且ygt;3，则x+ygt;5一定成立，即xgt;2且ygt;3x+ygt;5.

当x=1，y=6时满足x+ygt;5，但不满足xgt;2且ygt;3成立，

所以“xgt;2且ygt;3”是“x+ygt;5”的充分不必要条件.

故选A.

2.因为圆台的上、下底面半径和高的比为

1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r.由100=（4r）2+（4r-r）2，得r=2.故圆台的侧面积等于π（r+4r）l=π（2+8）×10=100π.故选B.

3.因为函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（-x）=2-x+2x=f（x），

g（-x）=-（-x）2+72=g（x），所以函数y=f（x）和y=g（x）均为偶函数.

当x≥0时，y=f（x）-g（x）单调递增，

且x=1时，f（x）=g（x），

则M（x）=maxf（x），g（x）=g（x），0≤|x|lt;1，f（x），|x|≥1.故函数y=M（x）的最小值为f（1）=52.

故选C.

4.由题意可知T=2×（11π12-5π12）=π.

所以ω=2.

由图1知x=5π12时，函数取得最大值2.

可得2sin（2×5π12+φ）=2.

所以5π6+φ=π2+2kπ.

即φ=-π3+2kπ，（k∈Z）.

又因为-π2lt;φlt;π2，

所以当k=0时，φ=-π3.

故选A.

5.z=102-i-i3=10（2+i）（2-i）（2+i）+i=4+3i，故p1错误；z的虚部为3，故p2错误；|z|=5，故p3错误；

z在复平面内对应的点（4，3）位于第一象限，故p4错误.

所以真命题的个数为0个，故选A.

6.因为幂函数f（x）=xm-2的图象关于原点对称，且在（0，+

SymboleB@ ）上单调递减，所以m-2lt;0，解得mlt;2.

因为m∈N，所以m=0或m=1.

当m=0时，f（x）=x-2，其图象关于y轴对称，不满足题意;

当m=1时，f（x）=x-1，其图象关于原点对称，满足题意，所以不等式（a+1）-m2lt;（3-2a）-m2可化为（a+1）-12lt;（3-2a）-12.

因为函数y=x-12在定义域（0，+

SymboleB@ ）上单调递减，所以a+1gt;0，3-2agt;0，a+1gt;3-2a.解得23lt;alt;32.

即实数a的取值范围是（23，32）.故选B.

7.由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开且上边的2个中有一个开另一个闭，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为12×12×12×12+12×12×12×12+12×12×12×12=316.

所以灯泡亮的概率为1-316=1316.故选D.

8.不妨设点M，N分别在第一、三象限，联立bx-ay=0，x2a2+y2b2=1，解得M（2a2，2b2），N（-2a2，-2b2）.故|MF|=（2a2-c）2+（2b2）2

=a2-2ac+c22，|NF|=（-2a2-c）2+（-2b2）2

=a2+2ac+c22，

|MN|=（-2a2-2a2）2+（-2b2-2b2）2

=4a2-2c2.

在△MNF中，由余弦定理可得

|MN|2=|MF|2+|NF|2-2|MF|·|NF|·cos∠MFN.

由tan∠MFN=22可得cos∠MFN=13.

化简可得10c4-13a2c2+4a4=0，其中3c2gt;2a2，

解得5c2=4a2，或2c2=a2（舍去）.

故e=ca=255.

故选B.

9.因为2anSn=1+a2n，

当n=1时，2a1S1=1+a21.

又Sn是正项数列an的前n项和，

解得S1=a1=1.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1，即

2（Sn-Sn-1）Sn=1+（Sn-Sn-1）2.

整理，得S2n-S2n-1=1.

所以数列S2n是首项为S21=1，公差为1的等差数列.则S2n=1+（n-1）×1=n.

又正项数列{an}的前n项和为Sn，所以Sn=n，故A正确.当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-n-1，当n=1时，a1=1满足an=n-n-1，所以an=n-n-1=1n+n-1，an+1=n+1-n=1n+1+n.因为n+1+ngt;n+n-1，所以1n+1+nlt;1n+n-1.

即an+1lt;an，故B错误.

要证Sn≤en-1，由Sn=n，即证n≤en-1.

令x=n-1（x≥0），原不等式即为

ex≥x+1（x≥0）.

即证ex-x-1≥0（x≥0）.

令f（x）=ex-x-1（x≥0），

所以f ′（x）=ex-1.

当x≥0时，ex-1≥0恒成立，

所以f（x）在［0，+

SymboleB@ ）单调递增.

则当x≥0时，f（x）≥f（0）=0.

即ex-x-1≥0成立.

所以Sn≤en-1成立，故C正确.

因为Sn=n，所以Sn+2=n+2.则 bn=log2Sn+2Sn=log2n+2n=log2（n+2n）12=12log2n+2n=12［log2（n+2）-log2n］.

当n=1时，Tn=b1=log23lt;1lt;3，故n=1时不等式不成立.

当n≥2时，Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn

=12［log23-log21+log24-log22+log25-log23+…+log2（n+1）-log2（n-1）+log2（n+2）-log2n］=12［-1+log2（n+1）+log2（n+2）］=12{-1+log2［（n+1）（n+2）］}，因为Tn≥3，即

12{-1+log2［（n+1）（n+2）］}≥3.

化简整理，得n2+3n-126≥0.

当n=9时，92+3×9-126=-18lt;0，当n=10时，102+3×10-126=4gt;0，综上，满足Tn≥3的n的最小正整数解为10，故 D正确.故选ACD.

10.选项A，因为 D1D∥CC1，显然AF与CC1不垂直，故A错误；

选项B，取B1C1的中点M，连接GM，A1M，如图6.

则EF∥GM，GM平面A1MG，EF平面A1MG，故EF∥平面A1MG.

同理可得AE∥平面A1MG.

又AE∩EF=E，AE，EF平面AEF，所以平面A1MG∥平面AEF，A1G平面A1MG，

所以直线A1G与平面AEF平行 ，故B正确.

选项C，因为平面AEF截正方体所得的截面为AEFD1，

所以截面面积为121+14-（24）2（2+22）

=324×322=98.故C正确.选项D，因为E为BC中点，所以B，C到平面AEF的距离相等，而B，G到平面AEF的距离不相等，所以点C与点G到平面AEF的距离不相等，故D错误.故选BC.

11.选项A，在5道题中有3道理科题和2道文科题，不放回地依次抽取2道题，第1次抽到理科题的概率p1=35，故A正确；

选项B，第1次和第2次都抽到理科题的概率p2=35×24=310，故B正确；

选项C，第1次抽到理科题，第2次抽到文科题的概率p3=35×12=310，故C不正确；

选项D，设事件A表示“第1次抽到理科题”，事件B表示“第2次抽到理科题”，则P（A）=35，P（AB）=35×24=310.

所以在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率：P（B|A）=P（AB）P（A）=3/103/5=12，故D正确.故选ABD.

12.由圆的方程x2+y2-2x-2y-2=0，得

（x-1）2+（y-1）2=4.

则此圆的圆心为（1，1），半径为2.

所以点（3，1）在圆上，直线l的方程为x=3.

13.因为A为不等边△ABC的最小内角，

所以A∈（0，π3）.

设t=sinA+cosA，

所以t=sinA+cosA=2sin（A+π4）∈（1，2］.

又2sinAcosA=t2-1，

所以f（A）=2sinAcosA1+sinA+cosA=t2-1t+1=t-1∈（0，2-1］.

故答案为（0，2-1］.

14.设AF1，AF2，F1F2上的切点分别为M，N，E，如图7所示，

则点H，E的横坐标相等，且|AM|=|AN|，

|F1M|=|F1E|，|F2N|=|F2E|.

因为|AF1|-|AF2|=2a，即

|AM|+|MF1|-（|AN|+|NF2|）=2a.

所以|MF1|-|NF2|=2a.

即|F1E|-|F2E|=2a .

设点H的横坐标为x0，则点E（x0，0）.

则x0+c-（c-x0）=2a.

即x0=a.

设直线AB的倾斜角为θ，则

∠OF2G=θ2， ∠HF2O=90°-θ2 .

在△HF2G中，

|HG|=（c-a）·tanθ2+（c-a）·tan（90°-θ2）

=（c-a）［tanθ2+tan（90°-θ2）］

=（c-a）［sin（θ/2）cos（θ/2）+cos（θ/2）sin（θ/2）］

=（c-a）·sin2（θ/2）+cos2（θ/2）sin（θ/2）cos（θ/2）

=（c-a）·2sinθ ，

由双曲线方程C ： x22-y26=1，得

a=2，b=6，c=22 .

则 |HG|=22sinθ .

因为点A为双曲线右支上一点，且双曲线的渐近线的斜率为 3或-3，倾斜角为60°或120°，所以60°lt;θlt;120°.

所以32lt;sinθ≤1.

所以1≤1sinθlt;233.

所以|HG|=22sinθ∈［22，463）.

故答案为［22，463］.

15.（1）函数的定义域为（0，+

SymboleB@ ），且f ′（x）=ax-1x，当a≤0时，ax-1lt;0，从而f ′（x）lt;0，f（x）在（0，+

SymboleB@ ）上单调递减.

当agt;0时，若0lt;xlt;1a，则ax-1lt;0.

从而f ′（x）lt;0.

若x≥1a，则ax-1≥0，从而f ′（x）≥0.

所以f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，+

SymboleB@ ）上单调递增.

（2）由（1）可知，函数的极值点是x=1a，若1a=1，则a=1，若f（x）≥bx-2在（0，+

SymboleB@ ）上恒成立，即x-1-lnx≥bx-2在（0，+

SymboleB@ ）上恒成立.

只需b≤1+1x-lnxx在（0，+

SymboleB@ ）上恒成立.

令g（x）=1x-lnxx，则

g′（x）=-1x2-1x2+lnxx2=lnx-2x2.

易知g（x）min=g（e2）=-1e2.

即1+1x-lnxx的最小值为1-1e2.

故只需b≤1-1e2即可.

故b的取值范围为（-

SymboleB@ ，1-1e2］.

16.（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①残差对应点分布在以横轴为对称轴，宽度小于1的水平带状区域内，模型①的各项残差的绝对值要远远小于模型②的各项残差的绝对值，所以模型①的拟合效果相对较好.

（2）由（1）知，y关于x的回归方程为y^=b^x2+a^，令t=x2，则y^=b^t+a^.

由所给数据可得t=18∑8i=1ti=18×（1+4+9+16+25+36+49+64）=25.5，

y=18∑8i=1yi=18×（0.4+0.8+1.6+3.1+5.1+7.1+9.7+12.2）=5，

则b^=∑8i=1（ti-t）（yi-y）∑8i=1（ti-t）2=686.83570≈0.19，

a^=y-b^t≈5-0.19×25.5≈0.16.

所以y关于x的回归方程为y^=0.19x2+0.16.

预测该地区2020年新增光伏装机量为y^=0.19×102+0.16=19.16（兆瓦）.

17.（1）由已知可得：BD=5，CD=322.

如图8，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立空间直角坐标系.则A（0，0，0），D（0，2，0），S（0，1，1），B（1，0，0），F（0，32，12）.

设C（x，y，0），则由CB=22，CD=322，可得方程组（x-1）2+y2=12，x2+（y-2）2=92，

解得x=32，y=12.可得C（32，12，0）.

由于CE=22，可得E（1，1，0）.所以EF=（-1，12，12）.因为SA=（0，-1，-1），AB=（1，0，0），设平面SAB的法向量为n=（x，y，z），

由n·SA=0，n·AB=0，即-y-z=0，x=0.取y=1，得平面SAB的法向量是n=（0，1，-1）.

所以n·EF=（0，1，-1）·（-1，12，12）=0.

因为EF不在平面SAB内，

故EF∥平面SAB.

（2）设点E到平面SAB的距离为d，

因为AE=（1，1，0），

所以d=|AE·n||n|=22.

所以点E到平面SAB的距离是22.

（3）由于SB=（1，-1，-1），SC=（32，-12，-1），

设平面SBC的法向量为m=（x，y，z），

由m·SB=0，m·SC=0，即x-y-z=0，32x-12y-z=0.取x=1，可得平面SBC的法向量为

m=（1，-1，2）.设平面SAB与平面SBC的夹角为θ，

则

cosθ=n·m|n||m|

=|1×0+1×（-1）+2×（-1）|2×6

=32.

则θ=30°.故平面SAB与平面SBC的夹角为30°.

18.（1）抛物线y2=2px的准线方程为x=-p2，焦点坐标为F（p2，0），

所以有2+p2=3（2-p2），解得p=1.

所以抛物线方程为y2=4x，焦点坐标为F（1，0）.

（2）直线PQ∥AB，理由如下.

易知直线AB的斜率不为0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），x1，x2gt;0，

设直线AB的方程为x=my+2，

联立方程x=my+2，y2=4x，

消去x整理，得y2-4my-8=0.显然Δgt;0.

所以y1+y2=4m，y1y2=-8.

所以x1x2=116y21y22=4.

显然x1x2y1y2≠0.

所以直线OA的方程为y=y1x1x.

令x=-2，则y=-2y1x1.

则P（-2，-2y1x1）.

因为OA⊥BQ，所以kBQ=-x1y1.

直线BQ的方程为y-y2=-x1y1（x-x2）.

令y=0，则x=y1y2x1+x2=y1y2+x1x2x1=-4x1.

则Q（-4x1，0）.

①当m=0时，直线AB的斜率不存在，x1=2，

y1=±22，则P（-2，±22），Q（-2，0）.

所以直线PQ的斜率不存在，则PQ∥AB.

②当m≠0时，kPQ=2y1/x1

-4/x1+2=y1-2+x1=y1-2+（my1+2）=1m=kAB，则PQ∥AB.

综上所述，PQ∥AB.

19.（1）由f（x）=log2（1+ax），可得

f（x2）=log2（1+ax2）.当agt;0时，1+ax2≥1，即有

log2（1+ax2）≥0.当a=0时，f（x）=log21=0；

当alt;0时，0lt;1+ax2≤1，即有

log2（1+ax2）≤0.

即有当agt;0时，f（x）的值域为［0，+

SymboleB@ ）；当a=0时，f（x）的值域为0.

当alt;0时，f（x）的值域为（-

SymboleB@ ，0］.

（2）由f（x）-log2［（a-4）x2+（2a-5）x］=0，得

log2（1+ax）=log2［（a-4）x2+（2a-5）x］.

即1+ax=（a-4）x2+（2a-5）xgt;0.①

则（a-4）x2+（a-5）x-1=0.

即（x+1）［（a-4）x-1］=0.②

当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=1a-4.

若x=-1是方程①的解，则1-agt;0，即alt;1.

若x=1a-4是方程①的解，则

1+aa-4=2a-4a-4gt;0.

即agt;4或alt;2.则要使方程①有且仅有一个解，则

agt;4或1≤alt;2.

综上，若方程f（x）-log2［（a-4）x2+（2a-5）x］=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1≤alt;2或agt;4.

（3）由f（x2）=log2（1+ax2），设g（x）=log2（1+

ax2），当agt;0时，对任意的t∈（13，+

SymboleB@ ），函数g（x）在区间［t，t+1］上单调递增.

由题意，得g（t+1）-g（t）≤4.

即log2（1+at2+2at+a）-log2（1+at2）≤4.

即1+at2+2at+a≤16（1+at2）.

即有a（15t2-2t-1）+15=a（3t-1）（5t+1）+15gt;0恒成立.

综上，a的取值范围是（0，+

SymboleB@ ）.

［责任编辑：李" 璟］