核心素养下两类板块模型情境问题的剖析

摘" 要：滑块木板模型是新高考的热点题型，也是高中物理的重点知识和经典模型之一.核心素养考查从实际情境问题到物理模型构建，根据实际情境的不同，可将板块模型分为有初速度和有外力两大类.这两类情境问题的总结剖析对学生处理板块模型有重要的实际参考意义和价值.

关键词：板块模型；共同速度；临界加速度

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0110-03

收稿日期：2024-03-05

作者简介：赵鹏（1989—），男，甘肃省正宁人，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.

核心素养背景下，情境化模型构建在高考中的考查越来越多，而板块模型的考查是高考的热点题型，也是学生很难理解掌握的知识点之一.现将板块模型分为“有初速度”和“有外力”两类模型进行剖析求解思路及策略，以供参考借鉴.

1" 有初速度的板块模型

例1" 如图1所示，已知滑块（可视为质点）的质量为m，木板的质量为M，木板的长度为L，滑块以初速度v0从木板左侧开始滑动，木板开始处于静止状态，滑块与木板间的动摩擦因数为μ，地面与木板间的动摩擦因数为μ′，假设L足够长，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g［1］.求：

（1）滑块与木板发生的相对位移Δx.

（2）滑块与木板运动过程所用总时间t.

（3）摩擦力做功产生的热量Q.

评析" 选取地面为参考系，设滑块的位移为x1，木板的位移为x2，板块之间的相对位移为△x，如图2所示.滑块具有初速度，将在木板上发生相对滑动，木板对滑块有向左的滑动摩擦力f，滑块做匀减速直线运动.而木板可能会出现两种情况：相对地面静止或者滑动，对木板进行受力分析，滑块对木板有向右的滑动摩擦力和地面对木板向左的摩擦力（最大静摩擦力为Ffmax），如果f≤Ffmax=μ′（M+m）g，则木板不动.本题中讨论fgt;Ffmax，即μmggt;μ′（M+m）g，得到μgt;μ′（M+m）m.从初始到共速过程，共同速度为v，滑块加速度为a1，木板加速度为a2，此过程所用时间为t1.

对滑块根据牛顿第二定律：

-μmg=ma1①

可得：a1=-μg .

根据匀变速直线运动速度公式和速度位移关系式可得：

v=v0+a1t1"""" ②

v2-v20=2a1x1"" ③

也可对滑块由动量定理和动能定理得：

-μmg·t1=mv-mv0 ④

-μmg·x1=12mv2-12mv20⑤

对木板根据牛顿第二定律：

μmg-μ′（M+m）g=Ma2⑥

可得：a2=μmg-μ′（M+m）gM.

根据匀变速直线运动速度公式和速度位移关系式可得：

v=a2t1⑦

v2=2a2x2⑧

也可对木板根据动量定理和动能定理得：

［μmg-μ′（m+M）g］·t1=Mv ⑨

［μmg-μ′（m+M）g］·x2=12Mv2⑩

联立①②⑥⑦或者①④⑥⑨可得：

t1=Mv0（μ-μ′）（M+m）g ，v=［μm-μ′（M+m）］v0（μ-μ′）（M+m）B11

联立①③⑥⑧或者①⑤⑥⑩可得：

x1=［2（μ-μ′）m+（μ-2μ′）M］Mv202（μ-μ′）2（M+m）2g ，

x2=［（μ-μ′）m-μ′M］Mv202（μ-μ′）2（M+m）2g.

即△x=x1-x2=Mv202（μ-μ′）（M+m）g .

从开始运动到共速过程摩擦力做功产生的热量Q1=μmMv202（μ-μ′）（M+m）.

分析讨论木板临界长度：

（1）若△x gt;L，则滑块还没有与木板共速，就已经从木板上滑落.

（2）若△x =L，此时滑块和木板共速时，滑块刚好运动到木板最右侧，L为木板的临界长度.

（3）若△x lt;L，滑块与木板共速时，并没有从木板滑落.

本题中木板长度足够长，说明滑块与木板共速时没有从木板掉落.共速后可以用假设法讨论：假设板块间的摩擦为静摩擦力f，对整体a=μ′（M+m）gM+m=μ′g，对滑块f=ma=μ′mglt;Ffmax=μmg，静摩擦力小于最大静摩擦力，假设成立，所以板块间相对静止一起匀减速.

此时对板块整体根据牛顿第二定律：

-μ′（M+m）g=（M+m）a3 可得a3=-μ′gB12

板块一起做匀减速运动直到速度为零，设时间为t2，位移为s.根据速度公式和位移关系式可得：

v+a3t2=0B13

-v2=2a3sB14

或者根据动量定理和动能定理可得：

-μ（m+M）g·t2=-（M+m）vB15

-μ（M+m）g·s=-12（M+m）v2B16

联立B11B12B13B14B15B16计算可得：

t2=［μm-μ′（M+m）］v0μ′（μ-μ′）（M+m）g，

s=［μm-μ′（M+m）］2v202μ′（μ-μ′）2（M+m）2g

则一起匀减速过程，地面对木板摩擦力做功所产生的热量

Q2=μ′（M+m）g·s=［μm-μ′（M+m）］2v202（μ-μ′）2（M+m），

所以整个过程所用时间和摩擦力做功产生的热量分别为： t=t1+t2=mv0μ′（M+m）g；

Q=Q1+Q2

=μ（μ-μ′）mMv20+［μm-μ′（M+m）］2v202（μ-μ′）2（M+m）.

2" 有外力的板块模型

例2" 如图3所示，已知滑块（可视为质点）的质量为m，木板的质量为M，木板的长度足够长.滑块、木板最初处于静止状态，从t=0时刻开始滑块受水平向右的外力F随时间逐渐增大，滑块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与地面间的动摩擦因数为μ′.假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.求：

（1）求滑块和木板能一起运动时μ与μ′的大小关系.

（2）板块即将一起运动时F1的大小.

（3）板块刚好发生相对滑动时F的临界值.

评析" 解决此类板块模型中滑块或木板受力F的临界值，主要分析被动物体的临界加速度.因地面对木板有摩擦力，在滑块所受的力F增大时，想要滑块带动木板运动，就需对木板受力分析，若滑块对木板的最大静摩擦力大于地面对木板的最大静摩擦力，木板就会沿地面滑动，此时对板块用整体法可求出外力F的大小；若要求滑块木板即将发生相对滑动时F的临界值，就需先求解被动物体（木板）的临界加速度.

（1）当滑块带动木板一起运动时，对木板受力分析可知，滑块对木板的最大静摩擦力大于地面对木板的最大静摩擦力.即：

μmggt;μ′（m+M）g，

可得μgt;（m+M）μ′m.

从t=0时刻开始

（2）对滑块和木板受力分析，当作用在滑块上的外力F逐渐增大时，木板与滑块间的静摩擦力也在增大.当滑块对木板的静摩擦力大于地面对木板的最大静摩擦力时，木板和滑块将在F的作用下一起开始运动.对板块整体进行研究，即：F1=μ′（m+M）g.

（3）木板为被动物体，先计算木板的临界加速度，对木板受力分析，板块即将相对滑动时，滑块对木板的静摩擦力增大到最大值，设木板的临界加速度为

a临，根据牛顿第二定律：

μmg-μ′（m+M）g=Ma临，

可得a临=μmg-μ′（m+M）gM .

板块即将发生相对滑动，此刻两物体依然以相同的加速度一起运动，用隔离法对滑块受力分析，根据牛顿第二定律：

F临-μmg=ma临，

可得F临=（1+mM）（μ-μ′）mg.

分析讨论：

（1）当0lt;F≤F1时，板块相对于地面静止不动.

（2）当F1lt;Flt;F临时，板块一起做加速度增大的变加速运动.

（3）当F=F临时，板块即将发生相对滑动，木板的加速度达到最大值a临.

（4）当Fgt;F临时，板块发生相对滑动，木板以加速度a临做匀加速直线运动，而滑块随F的增大做加速度增大的变加速运动.

3" 结束语

对于有初速度模型，因板块在发生相对滑动，两者都动，对于学生而言理解起来不容易.只要选取确定的参考系（地面），抓住主要的解题关键点，即根据两者之间速度大小来确定摩擦力，再设出两者的共同速度，通过受力分析、动力学公式、动能定理、动量

定理等知识可求解相关问题，最后根据板块的相对位移和木板的长度讨论是否能共速及之后的运动情况［2］.如果本情境中板块模型系统受到外力（地面的摩擦力）作用，就不能利用动量守恒定律解决共同速度，可利用动力学、动量定理、动能定理求解相关问题.

对于有外力的板块模型，关键要找到被动物体，求解它的临界加速度（最大值），然后通过整体法或者隔离法选取研究对象，由牛顿第二定律计算外力F的临界值，此时板块即将发生相对滑动但仍然相对静止，二者之间的静摩擦力达到最大值，最后根据外力大小的变化分类讨论.

参考文献：［1］ 曹红梅.2019年江苏省高考物理试卷第15题的解法探讨［J］.物理之友， 2020， 36（2）：2.

［2］ 《高考一轮总复习》 编写组.高考一轮总复习：物理（人教版）［M］.北京：中国和平出版社，2022：62.

［责任编辑：李" 璟］