对称配筋偏心受压钢筋混凝土柱Nu-Mu曲线特性及数值分析

摘要：为分析截面面积、配筋率、钢筋强度、混凝土强度等参数对对称配筋偏心受压钢筋混凝土（reinforced concrete，RC）柱的极限弯矩M_u与极限轴力N_u（N_u-M_u）曲线的影响，推导对称配筋偏心受压RC柱的M_u与N_u的函数关系式并绘制N_u-M_u曲线。采用软件ANSYS对RC柱进行数值分析，分析柱底截面的最大极限弯矩与最大极限轴力数值分析结果与理论计算结果的相对差。研究表明：极限轴力随截面面积、配筋率、钢筋强度、混凝土强度的增大而增大，截面面积对其影响最大，混凝土强度、配筋率对其影响较小，钢筋强度对其影响最小；最大极限轴力、最大极限弯矩的理论计算结果均大于数值分析结果；最大极限弯矩的理论计算结果与数值分析结果的相对差大于最大极限轴力，前者约为10%，后者约为5%。

关键词：偏心受压RC柱；对称配筋；N_u-M_u曲线；参数分析；数值分析

中图分类号：U448.35; U663.9⁺3; TU312文献标志码：A文章编号：1672-0032（2024）03-0091-08

引用格式：周清，国伟，齐麟.对称配筋偏心受压钢筋混凝土柱N_u-M_u曲线特性及数值分析［J］.山东交通学院学报，2024，32（3）：91-98.

ZHOU Qing， GUO Wei， QI Lin. The characteristics of N_u-M_u curve and numerical analysis of eccentrically loaded RC columns with symmetric reinforcement［J］.Journal of Shandong Jiaotong University，2024，32（3）：91-98.

0 引言

桥墩是桥梁工程的主要受力构件，受到自重、上部荷载传来的竖向作用力和由桥面水平力引起的弯矩作用，通常按偏心受压构件设计结构^[1-3]。采用对称配筋形式时，偏心受压构件的极限轴力N_u与极限弯矩M_u存在一定的函数关系，根据函数关系可绘制N_u-M_u曲线，此曲线在桥梁工程的桥墩设计与加固改造中有重要的应用价值^[4-5]。

从对称配筋偏心受压钢筋混凝土（reinforced concrete，RC）柱大、小偏心受压构件的判定方法与承载力计算角度考虑，张波等^[6]推导HRB600级钢筋的对称配筋大、小偏心受压柱的基本公式及偏心受压类型的判别公式，并给出矩形截面偏心受压构件的截面设计方法，讨论配筋率、钢筋强度等级对N_u-M_u曲线的影响；张海涛等^[7]针对钢筋混凝土偏心受压构件提出判定大、小偏心破坏的准则和标准化承载力的计算方法；高丽等^[8]通过算例、数值分析、图解等方法分析判断对称配筋偏心受压柱大、小偏心破坏形态的2种判断方法；曾亮等^[9]研究对称配置HRB500级高强钢筋的偏心受压构件大、小偏心受压的判定条件及截面配筋的计算方法。已有研究中对称配筋大、小受压构件的判定方法及承载力计算公式均存在一定差异，大多数仅考虑单个参数对N_u-M_u曲线的影响^[10-11]。

本文根据钢筋混凝土结构基本理论和大、小偏心受压构件的判定方法，基于力与力矩平衡的条件，推导对称配筋大、小偏心受压构件的承载力计算公式，并绘制N_u-M_u曲线，讨论钢筋强度、混凝土强度、截面面积、配筋率等相关参数对N_u-M_u曲线的影响，根据各参数的影响程度排序，采用软件ANSYS对偏心受压构件进行数值分析并研究轴力和弯矩的数值分析结果与理论计算结果间的误差，以期为同类结构设计提供理论依据。

1 对称配筋偏心受压RC柱M_u-N_u函数关系

1.1 对称配筋大偏心受压RC柱M_u-N_u的函数关系

作用在RC柱截面上的弯矩较大、轴力较小时，RC柱处于大偏心受压状态^[12-14]。受压区域的混凝土达到设计强度f_c，受拉区域的钢筋达到设计强度f_y。RC柱截面的有效受压区高度x满足

x≤ξ_bh₀，

式中：ξ_b为相对界限受压区高度，h₀为截面的有效高度。

设混凝土极限压应变为ε_cu，混凝土界限受压区高度为x_n，受压钢筋面积为A_s′，柱截面高度为h，受拉钢筋面积为A_s，钢筋合力点到柱受拉边缘的距离为a_s，钢筋弹性模量为E_s，钢筋应变为ε_s，受压区钢筋设计强度为f_y′，偏心距为e_i，混凝土强度折减系数为α，轴向压力为N，未达到设计强度的受拉钢筋应力为σ_s，柱截面宽度为b。对称配筋偏心受压RC柱应变及受力分析示意图如图1、2所示。

大偏心受压RC柱截面破坏时，因钢筋屈服呈受拉破坏特征。大偏心受压RC柱同时满足力与力矩（对下部受力钢筋取力矩）平衡的2个基本方程^[15-19]，力平衡方程为：

N=αf_cbx+f_y′A_s′－f_yA_s，（1）

力矩平衡方程为：

N（e_i+h/2－a_s）=αf_cbx（h₀－x/2）+f_y′A_s′（h₀－a_s′）， （2）

式中a_s′为钢筋合力点到RC柱受压边缘的距离。

偏心受压构件满足弯矩M＝Ne_i。

将对称配筋满足的条件A_s＝A_s′、 f_y＝f_y′代入式（1）（2）并消去未知数x，将N、M替换为极限轴力N_u、极限弯矩M_u，得到M_u-N_u的函数关系为：

M_u=N_ue_i=-0.5N_u²/（αf_cb）+0.5N_uh+f_y′A_s′（h₀-a_s′），（3）

对称配筋的大偏心受压RC柱的M_u为N_u的二次函数。

1.2 对称配筋小偏心受压RC柱M_u-N_u的函数关系

作用在RC柱截面上的轴力较大、弯矩较小时，RC柱处于小偏心受压状态^[20-22]。受压区域的混凝土达到设计强度f_c，但受拉区域的钢筋还未达到设计强度f_y，RC柱截面的有效受压区高度x满足x＞ξ_bh₀。小偏心受压柱破坏时混凝土首先被压碎，呈受压破坏特征，如图1a）所示。小偏心受压RC柱同样满足力与力矩（对下部受力钢筋取矩）平衡的2个基本方程，力平衡方程为：

N=αf_cbx+f_y′A_s′－σ_sA_s，（4）

式中：σ_s=f_y（ξ-β）/ （ξ_b-β） ^[15]，其中ξ为混凝土相对受压区高度，满足x＝ξh₀，β为混凝土强度系数，当混凝土强度不大于C50时，β=0.8。将σ_s代入式（4）得到

N=αf_cbξh₀+f_y′A_s′－f_yA_s（ξ-β）/ （ξ_b-β）。（5）

将式（5）进行数学变换，得到ξ与N的函数关系为：

ξ＝β－ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_sN＋f_y′A_s′ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s。（6）

由式（6）可知，ξ为N的一次函数，为简化计算定义

λ₁＝β－ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s， λ₂＝f_y′A_s′ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s，

式（6）可简化为

ξ＝λ₁N＋λ₂。（7）

对称配筋满足条件A_s＝A_s′、 f_y＝f_y′，将式（7）与x＝ξh₀代入式（2），最终得到对称配筋小偏心受压柱M_u-N_u的函数关系为：

M_u=-0.5αf_cbh₀²λ₁²N_u²+（αf_cbh₀²λ₁-αf_cbh₀²λ₁λ₂-0.5h+a_s） N_u+

αf_cbh₀²λ₂-0.5αf_cbh₀²λ₂²+f_y′A_s′（h₀-a_s′），（8）

可知，对称配筋的小偏心受压RC柱的M_u为N_u的二次函数。

2 对称配筋偏心受压RC柱N_u-M_u曲线与影响因素分析

由对称配筋偏心受压RC柱的M_u-N_u函数关系可知，已知材料强度与柱截面尺寸时，任意给定的N_u均存在唯一对应的M_u。令N_u连续取值直至M_u=0，可得到偏心受压RC柱的M_u-N_u曲线。实际工程中应用对称配筋偏心受压RC柱的M_u-N_u曲线时，通常将自变量N_u与因变量M_u对换，形成偏心受压RC柱的N_u-M_u曲线。由式（3）（8）可知，影响对称配筋偏心受压RC柱承载力的参数主要为f_y、 f_c、b、h与配筋率ρ。为研究各参数下偏心受压RC柱的N_u-M_u曲线，定义1个标准柱作为参考基准，假设该标准柱截面面积为0.25 m²（截面为正方形，边长为0.5 m），钢筋等级为HRB400，混凝土等级为C30，单侧配筋面积为15 cm²，ρ＝1.2%。N_u-M_u曲线理论计算所得最大极限弯矩为M_umax，最大极限轴力为N_umax。按理论公式计算得到标准柱的M_umax＝456 kN·m，N_umax＝4.6 MN。在标准柱的基础上，通过变换参数可得到4组不同钢筋强度、截面面积、配筋率、混凝土强度的对称配筋偏心受压RC柱N_u-M_u曲线，如图3所示。

由图3可知：1）M_u＝0时，取得最大轴力，N_u＝0时，未取得最大极限弯矩；ξ＝ξ_b，N_u＝αf_cξ_bh₀时取得最大极限弯矩。2）大偏心受压，N_u随M_u的增大而增大；小偏心受压，N_u随M_u的增大而减小。3）对任意N_u，均有唯一的M_u与其对应，部分M_u会出现大、小偏心2个对应的N_u。

由图3可知不同参数下RC柱的最大极限弯矩M_umax和最大极限轴力N_umax，如表1～4所示。

图3a）为3条RC柱N_u-M_u曲线，钢筋强度不同，其他条件与标准柱相同。轴力随钢筋强度的减小而减小，HPB300、HRB335、HRB400的相对界限受压区高度ξ_b分别为0.576、0.550、0.518，分别在N_u＝1.9、1.8、1.7 MN时取得3条曲线的最大极限弯矩。由表1可知：钢筋强度分别为HRB300、HPB335时，最大极限弯矩分别比标准柱减小21.27%、8.55%，最大极限轴力分别比标准柱减小8.70%、4.35%。

图3b）为不同截面面积的4条RC柱N_u-M_u曲线，除截面面积外，其他条件与标准柱完全相同。由表2可知：截面面积为0.16 m²时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱减小50.22%、39.13%；截面面积为0.36 m²时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大75.00 %、43.48%；截面面积为0.49 m²时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大180.48 %、95.65%。

图3c）为5条RC柱N_u-M_u曲线，配筋率不同，其他条件与标准柱相同。由表3可知：ρ＝0.8%时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱减小17.10%、8.70%；ρ＝1.6%时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大16.89 %、13.64%；ρ＝2.0%时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大33.77 %、18.18%；ρ＝2.4%时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大50.88%、27.27%。

图3d）为5条RC柱N_u-M_u曲线，混凝土强度等级不同，其他条件与标准柱相同。N_u＝0时各曲线M_u=232 kN·m，M_u随N_u的增大而增大，直至ξ＝ξ_b时取得M_umax。由表4可知：混凝土强度等级为C25时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱减小8.55%、13.04%；混凝土强度等级为C35时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大8.11%、13.04%；混凝土强度等级为C40时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大16.45%、26.09%；混凝土强度等级为C45时，最大极限弯矩和最大极限轴力分别比标准柱增大23.46%、39.13%。

增大材料强度、截面面积、配筋率中的任一项，均可不同程度地提高偏心受压柱的M_umax与N_umax，按对M_umax的影响从小到大的顺序排列依次为钢筋强度、混凝土强度、配筋率、截面面积，按对N_umax的影响从小到大的顺序排列依次为钢筋强度、配筋率、混凝土强度、截面面积。

3 对称配筋偏心受压RC柱的数值分析

3.1 数值分析模型

标准柱的受力简图如图4所示，对应的数值分析模型及应变云图如图5所示。

标准柱柱底为固定端约束，设置柱顶为可竖向滑动的支座以传递轴向压力N。水平均布荷载q产生固定端负弯矩M^-与跨中正弯矩M⁺，标准柱柱顶、柱底与柱中均处于偏心受压状态。标准柱底截面的弯矩与轴向压力均大于柱中截面，柱底截面为控制截面。

采用软件ANSYS进行数值模拟^[23-25]，对标准柱同时施加轴力N与均布荷载q，荷载形式为持续静力荷载，持续100 ms。其中，C30混凝土采用SOILD单元，密度为2 500 kg/m³，弹性模量为30 GPa，泊松比为0.2，极限抗拉、抗压强度分别为30、3 MPa。HRB400钢筋采用BEAM单元，钢筋密度为7 850 kg/m³，弹性模量为206 GPa，剪切模量为7 900 GPa，泊松比为0.3。钢筋的设计抗拉强度、屈服抗拉强度分别为360、400 MPa。

3.2 理论计算结果与数值分析结果的对比分析

标准柱钢筋应达到设计抗拉强度f_y＝360 MPa。相同情况下，标准柱的数值分析结果如图6所示。

由图6可知：持续静力荷载作用下，受拉钢筋的最大应力、柱底截面最大极限轴力和最大极限弯矩均在第4毫秒时出现并基本保持不变，数值分析的最大极限轴力N′_umax＝4 400 kN，与理论计算结果的相对差E₁=4.35%（E₁=100%×（N′_umax-N_umax）/N_umax）；数值分析的最大极限弯矩M′_umax＝408 kN·m，与理论计算结果的相对差E₂=10.53%（E₂=100%×（M′_umax-M_umax）/M_umax）；数值分析的受拉钢筋应力为f_y′＝350 MPa，与理论计算结果的相对差E₃=2.78%（E₃=100%×（f_y′- f_y）/f_y）。标准柱的数值分析结果与理论计算结果相差不大。

不同钢筋强度、混凝土强度、截面面积、配筋率下最大极限轴力、最大极限弯矩的理论计算结果与数值分析结果对比如表5～8所示。

由表5～8可知：1）理论计算的最大极限轴力、最大极限弯矩分别大于数值分析的最大极限轴力、最大极限弯矩，理论计算的最大极限弯矩与数值分析的E₂大于理论计算的最大极限轴力与数值分析的E₁；2）各参数对E₁影响较小，E₁≈5%；3）E₂随钢筋强度、配筋率的增大而增大，配筋率对E₂的影响最大。4）混凝土强度、截面面积对E₂的影响较小，混凝土强度、截面面积变化时E₂≈10%。

E₁、E₂产生的原因为：1）数值分析中网格尺寸、边界条件、材料模型及参数选取等因素均会对计算结果产生一定影响，而理论计算中各参数均为理想状态，数值分析结果小于理论计算结果；2）数值分析的柱顶轴力直接通过混凝土单元的节点传递至柱底截面，钢筋单元对轴力产生的影响较小，E₁较小。与最大极限轴力不同，最大极限弯矩是由钢筋与混凝土单元共同作用的结果，钢筋与混凝土单元间的接触等因素会对最大极限弯矩的数值分析结果产生一定误差，E₂gt;E₁，E₂与钢筋强度、配筋率间存在密切关系。钢筋抗拉强度越大、配筋率越高，其与混凝土单元间的接触越复杂，E₂越大。

4 结论

1）推导对称配筋偏心受压RC柱极限弯矩M_u与极限轴力N_u满足的函数关系式，并根据函数关系式绘制N_u-M_u曲线。N_u-M_u曲线受配筋率、截面尺寸、材料强度等因素影响。按对M_umax的影响从小到大的顺序排列依次为钢筋强度、混凝土强度、配筋率、截面面积；按对N_umax的影响从小到大的顺序排列依次为钢筋强度、配筋率、混凝土强度、截面面积。

2）采用软件ANSYS建立不同参数对称配筋偏心受压RC柱的数值分析模型，研究柱底截面的最大极限轴力、最大极限弯矩的理论计算结果与数值分析结果间的相对差。研究发现，各参数均对最大极限轴力的相对差影响较小，随各参数的改变，最大极限轴力的相对差约为5%。因钢筋与混凝土单元间的相互作用，最大极限弯矩的相对差大于最大极限轴力。混凝土强度、截面面积对最大极限弯矩相对差的影响较小，钢筋强度、配筋率影响较大，配筋率影响最大。

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The characteristics of N_u-M_u curve and numerical analysis of

eccentrically loaded RC columns with symmetric reinforcement

ZHOU Qing¹， GUO Wei¹， QI Lin²

1.Binzhou Planning amp; Design Research Institute Co.， Ltd.， Binzhou 256600， China;

2.College of Transportation Science and Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China

Abstract：To analyze the influence of parameters such as cross-sectional area， reinforcement ratio， steel bar strength， and concrete strength etc.， the relationship between the ultimate bending moment M_u and the ultimate axial force N_u（N_u-M_u） curve of eccentrically loaded reinforced concrete （RC） columns with symmetrical reinforcement， the functional relationship between M_u and N_u for symmetrically reinforced eccentrically loaded RC columns is derived and the N_u-M_u curve is plotted. Software ANSYS for numerical analysis of RC columns is used to analyze the errors between the numerical analysis results of the maximum ultimate bending moment and the maximum ultimate axial force of the column base section and the theoretical calculation results. The study finds that the ultimate axial force increases with the increase of cross-sectional area， reinforcement ratio， rebar strength， and concrete strength， with the cross-sectional area having the greatest influence， concrete strength"and reinforcement ratio having a smaller influence， and steel bar strength having the smallest influence; the theoretical calculation results of the maximum ultimate axial force and maximum ultimate bending moment are both greater than the numerical analysis results; the error between the theoretical calculation results and the numerical analysis results of the maximum ultimate bending moment is bigger than that of maximum axial force， the former is approximately 10%， while the latter is approximately 5%.

Keywords：eccentrically loaded RC column; symmetric reinforcement; N_u-M_u curve; parameter analysis;" numerical analysis

（责任编辑：王惠）