“角”与“面”对话感悟度量的一致性

2022年11月聆听了吴正宪老师“面积的认识”一课，一下子被吴老师的课所吸引，在欣赏之余，我回忆起了自己曾经教学“角的度量”这一内容，顿觉格局小了。接下来我就以三个片段和反思的方式，尝试让“角”与“面”在度量的标尺下进行对话，以“角的度量”一课的前后设计为依托，阐述我从“近名师”学习到“进名师”，将名师思想转化成教学行为的过程。

【片段一】我第一次执教“角的度量”

师：滑梯与地面形成角，这个角有多大呢？

（教师提供学具：直尺、三角尺、纸）

生1：我用直尺测量了两条边的距离，是3厘米。

生2：怎么将开合的长度转化成角的大小？

师：用长度也能描述出角的大小，用直尺测量遇到的问题时每次需要明确测量位置，不同的位置测量的结果是不一样的。

生3：用三角尺测量，可以用三角尺中的角与夹角重合比一比，看一看谁大谁小。

师：你想到了用三角尺中这个“角”作为单位去测量，真好。同学们觉得用“角”作为单位测量好还是用长度单位测量好呢？

（学生一致感受到用角测量比较好。于是教师提供了不同大小的角，让学生去测量滑梯与地面的夹角。学生分别用5个红色角、4个蓝色角、7个绿色角来描述夹角的大小，引出统一单位的必要性，最后教师出示量角器，与学生一起观察量角器，试着进行量角，总结量角的方法）

【片段二】吴正宪老师执教“面积的认识”

明确度量对象：课伊始，吴老师让学生观察长方形并问“你看到了什么”，通过这个活动了解到学生对“面”的关注要大于对“周”的关注这个真实起点。于是经过一系列活动，使学生感悟到“面就像一个平平的平板一样”，对比中学生建立了“面是面，周是周”的理解，明确了要研究的对象是什么。

寻找度量工具：吴老师从两个长方形比较大小入手，当两个形状不同、大小接近的长方形放在学生眼前时，迫使学生要寻找工具进行测量，于是手掌、铅笔盒、橡皮、圆片、正方形纸片……都成了学生的测量工具，在众多的测量工具中，正方形工具因为它的“整齐”“贴合”“能铺满”等特点脱颖而出，成了学生心中理想的测量工具。

统一度量单位：“同样的1个长方形，你量是6个正方形那么大，我量是8个正方形那么大，怎么不一样呢？”教师抛出研究问题，将学生的研究视线一下子拉到了“单位不统一”这一根本问题上来，从而明确统一单位是必要的。

度量结果：有个课堂中的小环节我印象很深，吴老师说1号图形比2号图形大了一条，紧接着吴老师举例子让学生加强对单位个数比较的理解。“5比3大了2个1，5个1比3个1多了2个1”，以数的大小比较做例子，让学生进一步感知比较的是单位的个数，度量结果就是数出度量单位的个数。

［我的思考］

吴老师的课给人的感觉是通透的，一节课通着若干节课，一节课透着学科的本质，一节课承载着学生真实的成长。读吴老师的课堂就是在读“大单元”教学的实践课例，学生真实地进行“深度学习”。试着去读懂吴老师通透背后的原因，那便是高观点统领、思想化驾驭、结构化支撑。

高观点统领：本节课，吴老师带给了我们新的理念，教材内容重新整合，面和周放在一起，强调对比中深化学生对知识本质的理解。于是有了吴老师的经典名言“面是面、周是周、面积是面积、周长是周长”，而其聚焦的就是对度量要素之一——度量对象的理解。

思想化驾驭：本节课学生要感悟的核心思想便是度量思想，教师要做的就是培养学生的量感。要培养学生对度量的自觉意识，用带单位的数值刻画量的大小、长短和轻重。度量的四要素是度量对象、工具、单位和结果。吴老师的课就是围绕这四方面展开的。

结构化支撑：吴老师的课总能让学生建立前后知识之间的联系，总能启发老师们对教材内容进行重新审视。一节讲“面”的课，串起了长度、面积、体积——由一维到三维的知识体系。同时在课堂中，在遇到不够量时，教师“逼”学生去寻找新的单位，这种细化单位的过程，与“认数”的方法一脉相承，学生头脑中对知识的横向、纵向联系越来越强。

反观我的数学课堂，一下子有了推翻重来的想法。“角”与“面”可以对话吗？当然，因为它的核心便是“度量”，围绕度量四要素展开教学，培养学生量感，这便是我第二次设计的目标。

【片段三】我第二次执教“角的度量”

师：同学们，我们学习过测量长度和面积，提到测量，大家还记得关键步骤吗？

生：要知道测量什么（度量对象），寻找合适的测量工具（度量工具），选择合适的测量单位（统一单位），最后数出测量单位的个数。

师：接下来我们就用老经验来解决新问题——测量“角的大小”。

度量对象：“角的大小”量的是哪里？学生在对比中感悟角的大小是要测量两边开合的大小。

度量工具：教师出示两个钝角三角形让学生比较两个钝角的大小。学生感悟用“角”作为单位测量特别好。（这个环节对比用不同的度量工具，感悟“角”作为工具的好处）

度量单位：教师为学生提供大小不同的角和一张长方形纸。当学生用不同的工具“角”进行测量还是不能正好测量时，学生就会细化角，创造出新的度量单位。以前的设计是量一个角，本次设计是对比两个角的大小，学生从被动地量角，到主动地寻找度量单位表述大小，这正是学生在课堂上主体地位的体现，改变了教师的脑、学生的手的假探究课堂模式。学生不断细化单位的过程与之前学习的认数过程也是契合的，打破了不同领域之间的隔断墙，构建了以“单位”为核心的承重墙。另外，学生用一张长方形纸对折创造出直角，再对折形成新单位45°角，一直下去就会对单位不断细化，创造出更多的单位。当把这张纸打开时，可以看出这张纸就是量角器的雏形，所有创造出的度量单位都在量角器上。

度量结果：认识量角器、量角，一定不是一节“技法”课，学生有了用单位度量的思想，有了度量结果就是数出度量单位个数的认知，量角的过程就变得水到渠成了。角的大小就是用度量单位的个数刻画的，学生可以以0刻度线为起始进行数角，可以以任何一条刻度线为起始进行数角，因为学生已经知道了量角的根本。这样，学生对于量角器的理解一定不仅仅是一个工具，这个工具里面藏了所有我们想要的度量单位。

在课上量角环节，我给学生一个量角器的“残尺”，0°～37°的刻度线模糊了，里外圈的刻度也看不到，学生依然能够测量出角的大小，就是因为学生对度量有了明确的认识——度量就是数出度量单位的个数。

［我的再思考］

受吴老师“面积的认识”一课的启发，我让“角”与“面”、与“长”进行对话，从单元的视角重新设计本课。经过设计的调整，课堂是活跃的，学生眼中多次闪烁出欣喜的目光。

1．“面积”和“角度”对话，聚焦一致性。

“角的度量”和面积的学习是一回事吗？你们觉得熟悉吗？学生在本堂课的最后对学习过程进行回顾时，能够清晰地感知到它们之间的关系。它们的本质是相通的，它们都在聚焦度量思想，从本质上是一致的。在学习的过程中，学生都是遵循度量的四要素在展开学习，明晰度量对象、寻找度量工具、统一度量单位、累加得到度量结果，这样的学习过程刻印在头脑中，就把看似不相干的事情穿成了一条线，结构化的数学在学生的头脑中渐渐成型。

2.大单元教学，构建学生学习的承重墙。

“度量”是一个大的单元，由它串起了长度的度量、面积的度量、角的度量和体积的度量……小学阶段面积的度量包括长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆面积的度量。体积的度量包括长方体、正方体和圆柱的体积度量。这些知识原本是零散的知识点，如今我可以从“一致性”的角度进行思考，它们之间具有“度量”思想上的一致性，具有“转化”方法上的一致性，把握好知识间的内部联系，讲好一致性的故事，留给学生的才能是结构化的知识体系、指导实践的思维方式和受用一生的思想方法。作为教师，只有从单元的视角深研教材，才能很好地打通知识间的隔断墙，构建起知识之间的承重墙。