用倒推法解答“获胜策略问题”的探讨

《田忌赛马》的故事是一个以弱胜强的典型案例，小学语文课本中安排有这一内容，同时在人教版小学数学教材四年级上册也安排了这一内容的学习。“获胜策略问题”的课外延伸部分（如取火柴棒游戏、取扑克牌游戏等）值得我们进行深入研究。本文将通过实例引导学生探讨如何用倒推法解决这类问题。

一、激趣导入

师：今天咱们来玩几个游戏，看看谁能找到这些游戏中的取胜策略。

教师出示下面这道题：

54张扑克牌，甲、乙两人轮流取牌，每人每次只能取1～4张，谁取到最后1张谁输。甲怎样取牌才能确保获胜呢？（选自《学习与巩固》四年级上册第81页）

师：这是咱们练习册上的一道题。按照游戏的规则，若甲要确保自己获胜，怎样才能做到呢？

生：如果甲能取到第53张牌，那他就一定能赢。

师：怎样才能确保甲取到第53张牌呢？让我们带着这一问题先来动手玩一个简单的取硬币游戏。

二、初步感知获胜的策略（有余数的情况）

游戏1：桌上放着15枚硬币，同桌两个人轮流取走若干枚。规则是每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后1枚谁就赢得全部的15枚硬币。

师：我们在玩游戏之前要做到以下两点。1.熟悉游戏的规则：取硬币游戏是由两个人一起玩的，要求每个人轮流取走若干个硬币，谁取走最后1枚硬币谁就算赢；2.游戏开始前要思考：有没有能保证自己赢的办法？若有，这个办法是什么？怎样才能确保自己能拿到最后的1枚硬币呢？

学生思考，同桌玩游戏，然后反馈。

师：你可以把自己想象为处于一个即将赢的状态，假若轮着你取硬币时，桌上剩下的硬币恰好不超过5枚，这时，你可以一次拿走桌上所有硬币成为赢者。若把这样的终点状态往前推，是否能找出某个状态，使得对方无论取走几枚硬币，你都会处于理想的获胜状态呢？

生：我只要让对方处于桌上有6枚硬币的状态，这时无论他取走几枚（从1枚到5枚）硬币，桌上都会剩下至少1枚至多5枚硬币，这样胜利一定属于我！

师：你的想法太棒了！也就是说，谁能取走第9枚硬币（板书：15－6＝9），谁将获胜。以此类推，若把这样的状态再往前推呢？

生：我只要取到第3枚硬币（教师板书：9－6＝3），就一定可以获胜。

师：是这样吗？我们一起来验证一下。现在我们用（1）（2）（3）……（15）把这15枚硬币编上号，若要确保取到第（15）号，就必须取到第（9）号（此时桌上剩下6枚硬币），这样不论对方取几枚，只要将剩下的全部取走就能成为赢者……

师：观察一下，这两个算式有什么特点？

生：每次都是减去6。

师：这与游戏的规则有什么关系呢？

生：游戏规则中，每次取走硬币的最小数与最大数的和正好是6。

师：（板书：1+5=6）这个发现太好了！

师：如果将这个游戏稍做变化，你还能找出获胜的策略吗？

三、进一步探索获胜的策略（没有余数的情况）

游戏2：桌上放着15枚硬币，同桌两个人轮流取走若干枚。规则是每人每次至少取1枚，至多取4枚，谁拿到最后1枚谁就赢得全部的15枚硬币。

师：这个游戏与上一个有什么不一样？

生：这两个游戏的规则不一样。前面那个是“至多取5枚”，这个游戏是“至多取4枚”。

师：请大家先独立思考，然后同桌玩一玩。

学生思考，同桌玩游戏，然后反馈。

生：我仿照上一个游戏，用（1）～（15）给它们编上号。若要确保取到第（15）号，就必须拿到第（10）号。

师：为什么必须拿到第（10）号？

生：因为游戏的规则中，每次取硬币的最小数与最大数的和是5。

师：接下来怎么取呢？

生：若要保证取到第（10）号硬币，就必须取到第（5）号硬币。因此，要确保在这个游戏中获胜的策略是让对方先取，无论对方取走几枚硬币，我只要取的硬币数与对方的和凑成5，就可以确保在这个游戏中获胜。

师：通过玩这两个游戏，我们发现，确保在游戏中获胜的最佳策略是：硬币总数÷每次取硬币的最小数与最大数的和＝？若有余数，自己先取并且取走余数，然后无论对方取走几枚硬币，只要取的硬币数与对方的和凑成每次取硬币的最小数与最大数的和，可以确保本人在这个游戏中获胜；若没有余数，要让对方先取，然后无论对方取走几枚硬币，只要取的硬币数与对方的和凑成每次取硬币的最小数与最大数的和，就可以确保本人在这个游戏中获胜。

四、灵活运用获胜策略

师：（出示本课开头的扑克牌游戏题）你能用我们找到的最佳获胜策略解决这个问题吗？

生1：1＋4＝5，53÷5＝10……3。说明取10轮，还余3张。所以获胜策略是：甲只要先取3张牌，接下来无论乙取几张，甲只要取的牌数与乙的和凑成5，就可以确保甲在游戏中获胜。

生2：为什么不是用54进行计算呢？

生1：我们研究的是获胜的策略，取到第54张就输了，所以要用53进行计算。