借助数量关系图式发展模型意识与推理意识

“鸡兔同笼”是我国古代趣味数学题之一，代表一类数学模型。小学数学教材中编排这一内容，旨在培养学生的数学思考与问题解决能力，渗透基本思想，发展模型意识、推理意识等核心素养。

人教版教材以“鸡兔同笼”为题，突出数学模型；北师大版教材以“尝试与猜测”为题，突出探索过程。本文依据2022年版课标中模型意识与推理意识的内涵，具体阐述如何借助数量关系图式，发展模型意识与推理意识的教学设计。

[一、论课题，明学习目标]

师：读一下课题“尝试与猜测”，知道这两个词的含义吗？

引导学生交流、讨论。

师：尝试，就是指试、试验，遇到难解的问题，不能望而却步，而要敢于尝试。猜测，指推测，凭想象估计。当不知道解决方法时，通过猜测也许能找到突破口。

师：从哪里试起？依据什么来猜？猜了后怎么办？这其中有没有数学方法呢？让我们一起走进“尝试与猜测”这节课，探讨数学学习的秘密。

【设计意图】从课题名称入手，讨论本课学习的关键内容——“尝试与猜测”的数学方法，明确学习目标——探讨“尝试与猜测”的一般思路，为基本思想的学习作好心理准备。

[二、聊冲突，议趣题价值]

师：今天“尝试与猜测”要解决的是一个怎样的数学问题？

出示：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

师：大家听说过这个问题吗？

“鸡兔同笼”是一道经典的数学思维训练题，有孩子听说过，甚至已掌握了多种解决方法，因此会有学生说出来。

师：“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题。你知道它的意思吗？

学生回答后出示：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

师：人们会把鸡和兔关在一个笼子里吗？既然不会，这个问题怎么能流传到现在？这背后藏着什么数学秘密呢？

【设计意图】不存在的生活现象与流传千年的数学问题之间的冲突激起了学生的好奇心，在议论“鸡兔同笼”问题的学习价值时，进一步明确本课学习目标——探寻特定的数学思想方法，为基本思想的学习作铺垫。

[三、理关系，探解决方法]

1.分析题中信息，构建数量关系。

师：解决问题首先要分析数量关系，从数量关系中探寻解决问题的突破口。

师：读完题目，你知道了哪些有用的数学信息？

依次引导学生思考：题目要求哪两个数？题目中的35和94分别表示什么？如何用算式表示这些信息？从而得到下面两个关系式（如图1）：

再引导学生分析隐性信息“1只鸡有2只脚，1只兔有4只脚”，在图1的两个关系式之间建立联系，从而构建出“鸡兔同笼”原题的数量关系（如图2）：

【设计意图】用上述图式直观呈现“鸡兔同笼”问题的数量关系。一是初步构建数学模型，发展模型意识；二是为后续推理找到抓手。

2.依据数量关系，探索推理步骤。

师：观察数量关系，解决这个问题的困难在哪里？你想到什么办法？

因为有两个未知量，所以学生想到猜鸡和兔的只数。

师：是随便猜吗？猜的时候要注意什么？

引导学生发现：要依据“鸡和兔的总数是35”来猜。

师：怎样判断猜的数据是否正确？

学生不难想到：算出脚的总数，看是否为94。

【设计意图】引导学生依据数量关系特点思考解决方法，找到推理的切入口，在交流中初步感知“猜想—验证”的推理步骤。

3.解决简单问题，形成数学方法。

师：头的总数是35，猜的次数比较多。我们不妨从简单的数据入手来找解决方法。

出示简化后的题目，修改数量关系中的数据（如图3）：

师：现在容易猜了吧？怎样才能清楚、简洁地将我们的猜想和验证过程记录下来？

引出列表，强调有序猜想和列举，并引导学生有条理地思考与表达推理过程。

（1）猜：猜什么？从哪里猜起？猜的时候要注意什么？

（2）验：怎样判断刚才猜的数据是否正确？

（3）调：经过验证，这组数据不符合要求，怎么办？当把1只兔换成1只鸡时，脚的总数发生了什么变化？怎样用算式表示？

在问题解决过程中形成如下板书（如图4）：

结合板书小结解决方法：先根据头的总数猜一组鸡和兔的只数，然后计算脚的总数进行验证，根据验证结果决定是否要调整猜的数据，直至找到正确答案。

【设计意图】本环节采用教材中的数据，将头的总数减少为8，从1只鸡开始，猜3次便能得到正确答案。通过“有理有据”地表达推理过程，形成假设法解决问题的一般方法，以简洁的文字“猜—验—调”表达思路与方法，发展学生的推理意识。

4.优化推理过程，概括解题通法。

师：用刚才的方法，你能解决“鸡兔同笼”的原题吗？怎样让猜的次数少一些？

组织学生交流猜和调的策略：不一定从头开始猜，还可以从中间猜；不一定1只1只地调，还可以几只几只地跳着调。

师：请同学们用自己喜欢的方法解决，看看谁最快找到正确答案。

展示学生作品，交流多种调整策略，引导学生发现：通过计算脚的总数与实际数据之间的差判断需要调整的只数，可以更快地解决问题。例如图5中列出的两种方法：

回顾刚才两个“鸡兔同笼”问题的解决过程，引导学生发现：虽然猜与调的数据和步骤在变化，但思路与方法不变。

【设计意图】将表格与计算相结合，一是可以清晰记录猜与验的情况，二是可以让推理过程更直观、具体，降低了思维难度，符合小学生的认知特点。对推理过程的优化，丰富了解决方法，有助于培养学生思维的灵活性。

[四、巧对比，析变与不变]

师：生活中有类似“鸡兔同笼”的问题吗？

依次出示下面两道练习题，在“鸡兔同笼”数量关系图式基础上，引导学生分析数量关系与解题方法：

（1）乐乐的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元，1角和5角的硬币各有多少枚？请你用列表的方法解决问题。

师：要求哪两个数？硬币共多少枚？总值多少？每种硬币的枚数与币值之间有什么关系？你能模仿“鸡兔同笼”给这道题命名吗？（例如“1角5角硬币同罐”）

（2）新星小学环保卫士小分队12人参加植树活动。男生每人栽了3棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男生、女生各有几人？

师：要求哪两个数？男生、女生共多少人？共植多少棵树？男生、女生每人栽多少棵树？这道题可以用“猜—验—调”的方法解决吗？猜什么？验什么？这道题是不是可以叫“男生女生同植树”？

师：这两道题是不是和“鸡兔同笼”很像？数量关系中什么变了？什么没变？这样的题目可以用“猜—验—调”的方法解决吗？

引导学生对比，发现：“鸡兔同笼”与这两道题，变的是情境与数据，不变的是关系式结构。

【设计意图】本课的重点是通过“鸡兔同笼”问题数量关系分析与推理过程，发展学生的模型意识与推理意识。因此，对于练习的处理，重在对比数量关系的变与不变，并与解决方法进行联结。对题目的模仿命名，用简单而有趣的方式强化不同题目之间的共性，进一步感悟数学模型的普适性。

[五、明本质，悟基本思想]

师：同学们，看看黑板上的数量关系图（图略），你们知道“鸡兔同笼”是怎样的问题吗？

师：面对这类问题，可以怎样解决？

【设计意图】引导学生进一步感知“鸡兔同笼”数学模型和“猜想—验证”的推理过程，感悟内隐的基本思想。在抽象层面将模型与方法进行联结，进一步发展模型意识与推理意识。

[六、觅他法，拓思维宽度]

师：除了“猜—验—调”的方法，还可以怎样解决“鸡兔同笼”问题？

当学生说出列方程、画图等方法时，引导学生发现这些方法背后的实质仍然是“猜想—验证”。

师：你们知道古人是如何解决这个问题的吗？

播放视频，介绍古人的“抬脚法”。

【设计意图】前面环节中均以列表为载体，强调“猜想—验证”的推理步骤，容易让学生产生思维定式。课的最后，交流其他解决方法，帮助学生打破思维定式，拓展思维宽度，培养思维的灵活性。

师：同学们，面对难以解决的问题，我们不气馁，而是认真分析已知信息，大胆猜想，小心求证，找到正确方法。深入思考，或许还能找到更优的方法。这就是“鸡兔同笼”问题带给我们的启发，也是它流传至今的魅力所在。