分数阶微分方程初值问题解的存在性

崔亚琼，康淑瑰，陈慧琴

(山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009)

将探讨Riemann-Liouville 型分数阶微分方程初值问题(IVP)

解的存在性，其中，α∈(0,1),b为非零常数。全文假设非线性项f满足下列条件(C)f(t,0)=0,f:(0,T]×ℝ→ℝ 连续有界，且M=sup(t,x)∈(0,T]×ℝ|f(t,x)|＜∞。

近年来，许多学者利用不同的理论和技巧探讨了分数阶微分方程初值问题解的存在性，如文献[1-8]。其中[1-6]中，解函数定义在有限区间上，而[7-8]解函数定义在无限区间上。具体来说，在[1]中，作者利用Schauder’s 不动点定理研究了分数阶微分方程初值问题

类似于文献[6]，这里选择恰当的完备空间，利用Banach 不动点定理和Schauder’s 不动点定理，分别给出IVP(1)唯一解和至少一个非平凡解的存在性，并给出一个相关的例子。

1 预备知识

这部分，首先介绍一些必要的分数阶微积分的定义和运算性质，详细内容可参见文献[9]。

1.1 概念

定义1.1函数y:(a,+∞)→ℝ 的α＞0 阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为

等式右端在(a,+∞)上逐点定义。

定义1.2设α＞0 且n=[α]+1，连续 函数y:(a,+∞)→ℝ 的α阶Riemann-Liouville 分数阶导数定义为

等式右端在(a,+∞)上逐点定义，其中t＞a。特别地，若α∈(0,1)，有

性质1.1若p＞0,q＞0，则

1.2 引理

下面介绍几个必要的引理。

引 理1.1（[9，p.145，定 理3.1]）设α＞0，n=[α]+1,G是ℝ 中的一个开子集，函数f:(a,b]×G→ℝ 且f(t,x) ∈L(a,b),∀x∈G。若函数y∈L(a,b)是下列初值问题的解

引理1.2设A是Banach 空间B 到自身的映射。若存在自然数n0，使得映射An0为一压缩映射，则A在空间B中存在唯一的不动点。

引理1.3（[10，p.157，定理3.2]）设D是Banach空间B 的有界闭凸集，算子A:D→D全连续，则A在D中必有不动点。

利用引理1.1，有如下结论

引理1.4根据假设0 ＜α＜1 及f:(0,T]×ℝ→ℝ连续有界知，函数y∈L(0,T]为IVP(1)的解当且仅当

2 主要结论

2.1 定义算子

这部分，我们选取恰当的函数空间，在其上定义积分算子并验证该算子在空间上是等度连续的。

显然，B是完备的距离空间。

在空间B上定义算子

引理2.1设条件(C) 成立，则A:B→B 等度连续。

证一方面，由条件(C)，当0 ＜t1≤t2≤T时，对任意y∈B，有

另一方面，证t1-α(Ay)(t) ∈C[0,T]。由条件(C)，当t1=0,0 ＜t2≤T时，对任意的y∈B，有

对任意y∈B，当0 ＜t1≤t2≤T，有

因此，当t1→t2时，t11-α(Ay)(t1)→t21-α(Ay)(t2)一致成立，这表明t1-α(Ay)(t)∈C[0,T]。进一步来说，上式与y的选取无关，所以得到{Ay:y∈B}等度连续。

由引理2.1 知，A在B 中的非平凡不动点等价于IVP(1)在B中的非平凡解。

2.2 定理证明

在非线性项满足下面两个条件之一时，分别给出IVP(1)解的存在性定理。

定理2.1设条件(C),(C1)成立，则IVP(1)存在唯一的非平凡解。

证 由引理3.1，知A:B→B。下证存在n0∈ℕ，使得An0:B→B 是压缩算子。由条件(C1),对任意y1,y2∈B,t∈[0,T]，有

由归纳法，对于任意自然数n，有

定理2.2若条件(C),(C2)成立，则IVP(1)在S 中至少存在一个非平凡解。

证（i）A:S→S。由引理2.1，知A:B→B。对任意y∈S,根据条件(C2)及f(t,0)=0,有

故A:S→S 有界。由引理2.1 的证明结果知A(S)等度连续，因此A:S→S为紧算子。

（ii）A:S→S 连 续。设yn,∈S，且 ||yn-|→0(n→+∞)，即对任意t∈[0,T]，有t1-α yn(t)→t1-α(t)(n→+∞) 一致成 立。由f:(0,T]×ℝ→ℝ 的连续性，可以得到f(t,t1-α yn(t))→f(t,t1-α(t))(n→+∞),t∈(0,T]。事实上，类似(6)式的推理过程，有

这样便知A:S→S连续。

既然b≠0，利用引理1.3，知A在S中至少存在一个非平凡不动点，即IVP(1)在S 中至少存在一个非平凡解。证毕。

对于这种特殊情形，可以直接在空间C[0,T]上进行研究，如文献[1]。

注2.3对于分数阶微分方程初值问题（IVP）

若0 ＜α＜1,b为常数，f:(0,T]×ℝ→ℝ 连续有界。则IVP(8)）等价的Volterra 积分方程亦为(4)式。这样定理2.1和2.2对于IVP(8)也是实用的。

2.3 例子

下面给出一个具体的例子

例考察分数阶初值问题（IVP）

3 结语