探寻“原理一致性”的教学实践与思考

沈俊杰

［摘 要］学生要想实现学习的“真迁移”，就要把握知识的整体性，并基于知识背后原理的一致性达成思维方式上的贯通。文章以“面积和面积单位”教学为例，通过对以往教学的复盘和计量单位原理一致性的分析，构建“知识表征的合理表达结构—知识本质的逻辑发展结构—知识序列的科学输出结构”的结构关联路线，引导学生在结构关联中体验和感悟度量的本质，从而实现深度學习。

［关键词］原理一致性；结构关联；本质学习

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2023）29-0036-04

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）强调“为实现核心素养导向的教学目标，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联”，且明确指出整体把握教学内容时应注重教学内容的结构化，注重教学内容与核心素养的关联。对此，一线教师应从单元视角出发，打破课时与课时之间的边界，观照整个单元的内容并推进结构化教学。但仅从单元视角出发还不够，知识的整体性不能局限于单元，还要站立于更上位的领域视角，打破单元与单元之间的边界，构筑一个大单元。大单元严格意义上来说不是内容的单元，而是一个学习大单元。这意味着教师要在思维方式上建立关联，引导学生打通单元与单元、主题与主题之间的结构关联，其中的关键在于理解具体知识内容背后的数学原理的一致性，由思维方式上的贯通达成学习上的迁移，具体可见“学习大单元”结构图（如图1）。

“面积”单元的学习是学生开启二维空间认知的关键，该单元的目标达成手段和实践形式较为丰富，在体现教学内容的整体性和一致性上的教学目标是：使二维面积单位度量与一维长度单位度量之间形成关联。如何才能做到真正的关联呢？下面笔者以“面积和面积单位”的教学为例，在结构关联中探寻知识原理的一致性，帮助学生完成学习的“真迁移”。

一、复盘以往教学，反思迁移是否真正达成

近年来，受到“单元整体教学”“大概念教学”等理念的影响，加上课程改革的实施，“面积和面积单位”的教学在知识迁移的层面基本指向一类教学事实：由“长度和长度单位”的学习迁移至“面积和面积单位”。具体教学流程如下。

【环节1】回顾长度度量，初步唤醒度量本质。

师（出示一条线段）：如何知道它的长度？

生1：可以用直尺测量。

师：为什么用直尺测量？怎么测量？

生2：因为直尺上有刻度，有刻度就可以数出有几个1厘米，几个1厘米就是几厘米。

师：如果是长一点的线段呢？

生3：换用分米作单位的直尺测量，再长的话可以用米作单位的卷尺测量，数出有几个1分米或者几个1米。

【环节2】一维延伸至二维，对比建立面积概念。

师：想象一下，将这条线段向上平移，它移动的轨迹会是一个怎样的图形？

生4：一个长方形。

师：我想知道长方形这个面的大小，怎么办？

生5：先测量长方形的长和宽，再计算周长。

生6：应该是计算面积。

（教师引导学生思辨周长和面积的区别，得出面积的概念。）

【环节3】自主迁移关联，渗透面积度量本质。

师：我们已经知道了什么是面积，那么如何知道这个长方形的面积？

生7：用小方块摆，铺满几个小方块，面积就是几。

生8：不知道怎么回答。

师：想一想，我们是怎么去测量长度的？

（教师播放课件“用短线段摆长线段”和“用小方块铺大长方形”。）

师（追问）：如果这个长方形很大呢？

生9：用大方块去铺。

师（小结）：用面积单位去度量面积的大小时，可以根据面积大小选择合适的面积单位。

师：你都知道哪些面积单位？它们有多大？它们之间有什么样的关系？

复盘整个教学过程，学生清楚了面积的概念，建立了一维长度和二维面积在“度量”上的联系，完成了知识的迁移。迁移具体表现于度量面积时，将测量长度“数线段”的方法变成了“摆小方块”的方法，而后小方块摇身一变成了面积单位，长度单位和面积单位实现了关联。这样的关联真的指向学生思维方式上的转变吗？答案是否定的。

指向思维的关联是要沟通知识背后的原理并达成一致。“面积的内涵”本质指的是图形的大小，大小的度量要用面积单位；“面积的度量”的核心原理在于“数格子”，格子的形状取决于面积单位的构造。因而关联的源头还是面积单位。在以往教学中，学生很少从指向“原理一致性”的维度去考虑长度和面积的关联，导致迁移并未真正发生。笔者认为，要想完成思维进阶，实现“真迁移”，就要思考以下三个方面。

1.面积单位是怎么来的

单位的产生是一个不断完善和发展的过程，从多元到统一，从粗略到精细，从个性化到标准化。国际标准单位中长度单位是“米”，没有面积单位和体积单位。笔者把“米”称为原生单位，把面积单位和体积单位称为衍生单位，也就是说面积单位和体积单位都是由长度单位衍生出来的。

2.面积单位的构造为什么是一个面积为“1”的小正方形

教材中安排学生体验用不同形状的图形作为标准去量面积的大小，并通过“能不能密铺”得出面积单位的形状是正方形，这缺少单位产生的逻辑关联。面积单位是由长度单位衍生而来的，因此面积单位的构造取决于原生的长度单位。

3.面积单位之间的进率为什么是100

面是二维的，线是一维的。度量线的长短用的是长度单位，长度单位之间的进率是10，而面积单位是由长度单位衍生而来的，因此面积单位之间的进率是由长度单位之间的进率决定的。

基于这样的思考，要想实现思维方式上的迁移，达成“原理一致性”的教学目标，度量单位之间的沟通与关联至关重要。

二、基于“原理一致性”，在结构关联中优化迁移路径

要理解“原理一致性”，首先要提炼原理。原理不能局限于某个单元，而是要代表整个领域。原理的具体表达体现在核心概念上，核心概念有两个层面：一是单元内的核心概念，用来横向打通单元知识点之间的本质关联；二是领域或者主题的核心概念，用来纵向沟通单元之间的本质关联。

为体现“原理一致性”，教师在教学时可将“面积”单元置身于“度量”大单元的结构中整体考量（如图2）。从图2可知，打通领域的核心概念是“计量单位”，它包括所有的计量单位，具体落实到“面积”这个单元就是“面积单位”。计量时都要做的事情就是数度量标准的个数，由于被度量物体的属性不同，因此数的“标准”自然也不同。“标准”的产生源于被测量物体，长度单位源于长度的度量，面积单位源于面积的度量，这些不同事物的度量方式并未指向原理上的一致。“原理一致性”的关联必须聚焦于“标准”之间的沟通，如度量面积时面积单位不是直接生成的，而是由长度单位衍生迁移而来的。因此，在对内容整体把握的基础上，理解“原理一致性”更有利于学生构建知识间的本质关联，形成结构化的数学思维。

基于以上思考，笔者认为“面积和面积单位”的教学应该从知识表征的合理表达结构、知识本质的逻辑发展结构、知识序列的科学输出结构三条路径与“长度和长度单位”建立本质联系，在结构关联中不断探寻知识原理的一致性。在关联前，教师首先要让学生明确面积的内涵，当学生对面积有了充分的认知后，才会有更深刻的感悟和思考。

【教学片段1】调动面积的感性经验，理性表达面积内涵。

师：今天我们来学习面积，你听说过面积吗？面积在哪里呢？请你找一找、摸一摸、说一说。

师：请你用一个图形表示出所有的面，并涂出面积。

师：请你告诉我到底什么是面积？

开门见山式的提问，一下子就激起了学生对“面积”长久以来的兴趣。教师追问“面积在哪里”，调动起学生所积累的关于物体的面及面的大小的感性经验。教师继续追问“用一个图形表示出所有的面”，此时用“类”的概念提炼它们的共性，将学生对面积原本感性的认知转化为理性的表达。最后，教师让学生用自己的话描述“什么是面积”，指向“封闭图形的大小即面积”。

路径一：关联知识表征的合理表达结构

【教学片段2】关联长度的表达形式，合理表征面积大小。

师：这个面有多大？用一个结果表示。

师：长度的长短是怎么表示的？（数字+长度单位）

师：面积的大小表示为“数字+面积单位”。

表征面积的目的：一是让学生明白面积大小是可以度量的；二是让学生产生疑惑，进而自主关联以往的知识经验——度量长度时的表达形式。长度长短的表达形式是“数字+长度单位”，那么面积大小的表达形式则为“数字+面积单位”。至此，学生能从知识表征的合理表达结构去理解度量原理的一致性。

路径二：关联知识本质的逻辑发展结构

【教学片段3】关联长度单位的产生，衍生构建面积单位。

师：12平方厘米是怎么来的？（学生讨论）

师：请回顾长度单位的产生过程，再说说12厘米是怎么来的。

（教师先用课件呈现一条线段，再用直尺测量出其长度为12厘米，最后引导学生回顾长度度量的本质：从线段中截取一段作为标准，保证标准与被测量物体的属性相同，再去数有几个这样的标准。）

师（迁移）：因此面积度量就是数面积单位。

师：请同学们切一切、分一分，数出这个长方形的面积。（学生回答略）

师：请思考面积单位是怎么来的？

（学生回顾长度单位的产生过程）

在关联长度的表达形式后，学生用“12平方厘米”表征面积的大小，这是对知识的“形”形成初步关联。“12平方厘米是怎么来的”是为了引导学生将长度的度量迁移至面积的度量。“切一切、分一分”的操作有两个目的：一是让学生体会度量的本质，即数面积单位的个数；二是让学生感受选择哪种图形作为面积单位最合适。有了这样的体验，学生就能将这两个基本单位作比较，即长度单位是水平方向的标准线段，面积单位是水平方向和垂直方向标准线段的集合，面积单位是在长度单位的基础上增加了一个方向的线段（如图3）。由此，学生理解了面积单位是由长度单位衍生而来的，并从知识本质的逻辑发展结构去理解度量原理的一致性。

路径三：关联知识序列的科学输出结构

【教学片段4】关联长度单位进率，导出面积单位序列。

师：从1平方厘米到1平方分米，从1平方分米到1平方米，它们是怎么“长大”的？

师：长度单位的进率是多少？

师：面积单位是两个方向同时“长大”，它的进率是多少？

师（课件演示）：请看面积单位“长大”的过程。

长度是一个方向10倍10倍地“长”，面积是两个方向同时“长”10倍，也就是100，由此得到了更大的面积单位（1平方分米、1平方米等）。在该数学片段中，学生从知识序列的科学输出结构中理解度量原理的一致性，建立完整的知识结构体系。

三、总结推进路径，有效提炼“思维迁移”策略

1.原理一致，教学从“局部化”走向“整体化”

教材经常将一些具有相同属性的数学知识安排在不同的课时乃至不同的单元，这容易造成学生认知的“局部化”。教师可从知识“原理一致性”角度出发，帮助学生挖掘知识背后的相通之处，跳出课时框架和单元框架，以“领域”的视角俯瞰知识的全貌，构建完整的知识框架体系。在“面积和面积单位”的学习中，学生不仅能关注面积的概念和面积单位大小的表征，而且能够站在“计量”层面对小学阶段所有的计量单位进行整体认知。

2.经验迁移，知识从“碎片化”走向“结构化”

数学是一门具有结构的学科，教学不是一种简单的知识传递。在教学“面积和面积单位”时，物体度量涉及被度量物体大小的表征、度量标准的选择与产生以及度量单位之间的关系，这些内容都不是直接告诉学生的，而是需要学生将“长度和长度单位”的学习经验迁移过来，用相同的思维方式将不同的知识碎片拼接在一起，构建结构化的学习体系。

3.本质关联，学习从“浅表化”走向“深层化”

浮于表面的关联并不能帮助学生实现深度学习。在度量长度、面积、体积时都是在数标准单位的个数，这是計量的基本特征，属于“低水平”的关联。深度学习下的关联指向知识本质上的沟通，以“面积和面积单位”学习为例，教师可以沿着“关联长度表达形式—关联长度单位产生—关联长度单位进率”这条主线展开，从原理的一致性上驱动学生的认知向结构化和深层化发展。

综上，学习不是学生被动地接受知识，每个环节都需要学生去思考探索、主动关联。关联不是简单地寻找相同点，而是要找到知识背后的原理一致性。利用“原理一致性”和结构化的递进体验，是一种比较有效的学习策略。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 杨海荣.追求“原理一致性”的乘法分配律教学思考与实践[J].教学月刊小学版（数学），2023（Z1）：55-60.

（责编 李琪琦）