基于准正则模理论的双柱结构中原子自发辐射特性*

陈炫任,单馨雨,杨 红

(吉首大学物理与机电工程学院,湖南 吉首 416000)

表面等离激元是一种由入射电磁波与金属表面的自由电子相互作用而产生的集体振荡现象,能够将光场压缩至突破传统光学衍射极限的纳米尺度[1-3],因而在量子光学[4-5]、量子计算[6-7]等领域具有重要的应用价值.随着纳米科技的持续发展,各种形状、尺寸和材料的金属纳米结构能够被可控地制备出来[8-10].相比于其他形貌的金属结构,纳米柱具有优异的光学性能,其共振特性可通过纵横比进行调节,因此具有广泛的应用前景[11-15].另外,二聚体结构具有光学天线的特性,能将自由空间传播的电磁波聚集到二聚体的间隙中,同时也能将间隙中局域能量辐射到远场.目前二聚体结构已被广泛应用于光与物质相互作用领域[16-17].表面等离激元纳米结构通常被视为开放腔,能对附近二能级原子的自发辐射特性产生重要的调控作用.开放腔系统具有明显的非厄米特性,因此需采用准正则模(Quasi-Normal Mode,QNM)方法来描述表面等离激元共振模式[18].类似于量子光学中经典的Jaynes-Cumming模型,QNM方法为研究表面等离激元纳米结构与二能级原子相互作用提供了简单清晰的物理图像.对于双柱结构,其QNM可看作单柱QNM相互耦合形成,借助耦合模理论理解其模场特性[19].

理论上,金属对电磁场的响应通常采用局域光响应(Local Response Approximation,LRA)模型来描述,如Drude模型.然而,对于纳米尺度的金属结构,其自由电子对电磁场的响应呈现出明显的量子力学效应,因此需要采用非局域流体动力学(Hydrodynamic,HDM)模型来描述.若进一步考虑电子的扩散效应,则需要采用仿真贵金属光响应的广义非局域(Generalized Nonlocal Optical Response,GNOR)模型来描述,该模型可解释贵金属表面等离激元共振宽度随尺寸减小而增大的现象.

本研究中,笔者首先基于LRA模型、HDM模型和GNOR模型,研究了不同尺寸的表面等离激元纳米柱附近原子的自发辐射增强特性;其次,笔者采用准正则模方法,结合耦合模理论,研究了纳米双柱结构中原子的自发辐射增强特性,并在此基础上,探究了二能级原子位置及双柱之间的空隙对自发辐射增强特性的影响.

1 理论与计算方法

根据量子电动力学,r处跃迁偶极矩为P的二能级原子的自发辐射率γ可用费米黄金法则[20-21]计算,即

(1)

其中ω为原子跃迁频率,ρ(r,ω)为电磁局域态密度.ρ(r,ω)可由光子并矢格林函数G(r,r)表达,即

由(1)式可知,自发辐射增强谱可表达为有金属纳米结构时的电磁局域态密度与自由空间的电磁局域态密度的比值,即ρ/ρ0,其中ρ0=ω2/(π2c3).任意微纳结构中的G(r,r)可由经典点电偶极子的辐射场E(r,ω)[22-24]表示,即

且E(r,ω)满足麦克斯韦波方程

其中:εcore为金属中离子实的相对介电函数;Js(r,ω)为点电偶极子源的电流密度;J(r,ω)为金属中自由电荷运动形成的电流密度.

LRA下,J(r,ω)满足欧姆定律,即

J(r,ω)=σ(ω)E(r,ω),

(2)

利用COMSOL Multiphysics软件,可准确求解(2)式和麦克斯韦波方程[24,26-28],此方法称为全波仿真方法.本研究采用的纳米柱材料为金,相关参数εcore=1,ωp=8.29 eV,γ1=0.09 eV.

图1 单个纳米柱系统示意Fig. 1 Schematic Diagram of the Single Nanometer Column System

单个纳米柱系统如图1所示.二能级原子位于纳米柱旋转对称轴上,原子到金属表面的距离(h)为5 nm,其跃迁偶极矩也沿着该对称轴.图2展示了不同尺寸纳米柱在LRA模型、HDM模型和GNOR模型下的自发辐射增强谱,图中实线和虚线分别代表小纳米柱SMALL(R=2.29 nm,L=10 nm)和大纳米柱LARGE(R=8 nm,L=32 nm)的计算结果.由图2可知,3种模型的自发辐射增强谱均呈现出单峰结构.

由图2(a)可知,LRA模型下,小纳米柱与大纳米柱的表面等离激元共振频率相同,但小纳米柱结构中有更大的自发辐射增强率.由图2(b),(c)可知,非局域HDM模型和GNOR模型下,不同尺寸纳米柱中自发辐射增强谱的峰位不同.此外,相比于LRA模型,非局域HDM模型和GNOR模型下的峰值频率均发生蓝移.对于小纳米柱,峰值处共振频率由2.889 eV(LRA模型)增大至2.975 eV(HDM模型和GNOR模型);对于大纳米柱,峰值处共振频率由2.889 eV(LRA模型)增大至2.919 eV(HDM模型和GNOR模型).3种模型中,GNOR模型具有最小的自发辐射增强谱峰值.在大纳米柱系统中,LRA模型、HDM模型的峰值分别是2 399.14,2 414.14,而GNOR模型的峰值减小至2 069.69;在小纳米柱系统中,LRA模型、HDM模型的峰值分别是8 761.92,7 849.30,而GNOR模型的峰值急剧减小至4 663.5.

图2 不同尺寸纳米柱在LRA模型、HDM模型和GNOR模型下的自发辐射增强谱Fig. 2 Spontaneous Radiation Enhancement Spectra of Different Sizes of Nanocolumns in LRA Model,HDM Model and GNOR Model

尽管全波仿真结果可准确呈现金属纳米结构中二能级原子的自发辐射增强特性,但是采用全波仿真方法计算时需考量不同频率点电偶极子的辐射场,计算量较大.因此笔者采用另一种求解表面等离激元纳米结构中自发辐射增强的方法——准正则模方法,其增强谱[29-30]

(3)

局域情况下,有[29]

非局域情况下,有[29]

2 模型和结果

2.1 二聚体模型

图3 二聚体模型示意Fig. 3 Schematic Diagram of the Dimer Model

图4 全波仿真方法和准正则模方法计算的自发辐射增强谱Fig. 4 Spontaneous Radiation Enhancement Spectra Calculated by the Full-Wave and Quasi-Normal Mode Methods

2.2 原子所处位置对自发辐射增强特性的影响

图5 原子所处位置对自发辐射增强特性的影响Fig. 5 Effect of Atomic Position on Enhancement Properties of Spontaneous Radiation

2.3 双柱间隙对自发辐射增强谱峰位的影响

图6展示了LRA模型、HDM模型和GNOR模型下,双柱间隙(S)对自发辐射增强谱峰位(ω-和ω+)的影响.

由图6可知,随着S逐渐增大,ω+先逐渐减小后保持不变,ω-先逐渐增大后保持不变.这主要是因为,随着S逐渐增大,纳米柱间的耦合强度逐渐减小.基于耦合模理论[19],二聚体中特征频率满足

(4)

图6 双柱间隙对自发辐射增强谱峰位的影响Fig. 6 Effect of Double-Column Gap on the Peak Position of Spontaneous Emission Enhancement Spectrum

2.4 双柱间隙对自发辐射增强谱的影响

不同双柱间隙(S)下的自发辐射增强谱如图7所示.此时,原子位于大纳米柱一侧,原子到金属表面的距离为5 nm.分别选择ω-和ω+差值较大和较小的情况进行研究,即取S=10 nm和S=70 nm .当间隙较小时(S=10 nm),局域与非局域方法所获得的自发辐射增强谱均呈现出明显的劈裂现象(图7(a),(c),(e)).当间隙较大时(S=70 nm),3种模型的自发辐射增强谱均呈现出单峰结构,劈裂现象均消失(图7(b),(d),(f)),且结果与原子位于单个大纳米柱上方时的结果几乎一致.

从图7(b),(d),(f)可以看出,间隙为70 nm时,在LRA模型结果中,ω-处的准正则模式的自发辐射增强谱在频率为ω+左右时结果为负,且ω-处的准正则模式的自发辐射增强谱显著抑制了ω+处的准正则模式的自发辐射增强谱,导致总的自发辐射增强谱趋向于单个大纳米柱结构存在时的结果.与LRA模型不同,HDM模型和GNOR模型结果中,ω-处的准正则模式的贡献完全主导了整个自发辐射增强谱,ω+处的准正则模式的贡献可以忽略不计,但整个自发辐射增强谱仍趋向于单个大纳米柱结构存在时的结果.

图7 不同双柱间隙下的自发辐射增强谱Fig. 7 Spontaneous Sadiation Enhancement Spectra at Different Double-Column Gaps

3 结论

笔者基于准正则模方法,分析了表面等离激元纳米双柱结构中原子的自发辐射增强特性.本研究中,当原子位于二聚体一侧时,原子的自发辐射增强与双柱间隙、原子到金属表面距离、原子所处位置有关.当原子位于小纳米柱一侧时,随着原子到金属表面距离逐渐减小,原子与金属的相互作用逐渐增强,自发辐射增强效应逐渐增大;当原子位于大纳米柱一侧时,自发辐射增强结果并未随着原子到金属距离的逐渐减小而单调增加.研究结果显示,双柱结构中,双柱间隙较小(S=10 nm)时,自发辐射增强谱会产生劈裂的现象.结合高效耦合模理论对二聚体结构的耦合作用进行分析,结果表明,二聚体中,劈裂现象的产生不仅是由于2个不同尺寸纳米柱的表面等离激元共振频率不同,更关键的是金属间耦合作用所导致的特征频率分离.本研究对于深入探讨纳米柱二聚体结构中二能级原子的自发辐射现象具有重大意义,同时也进一步推动了准正则模理论和耦合模理论在光场局域化研究中的广泛应用.