双频激励下高温超导改进型悬浮架系统的混沌运动研究

张明亮, 段佳琪 , 杨新梦 , 刘鹏飞 , 张连朋

(1.石家庄铁道大学 机械工程学院,河北 石家庄 050043;2.石家庄铁道大学 河北省工程机械动力与传动控制重点实验室,河北 石家庄 050043;3.西南交通大学 轨道交通运载系统全国重点实验室,四川 成都 610031)

0 引言

磁悬浮制式通常分为永磁磁悬浮制式、常导磁悬浮制式和超导磁悬浮制式。永磁磁悬浮制式导向不稳定,常导磁悬浮制式不能精细反馈控制,而超导磁悬浮制式具有被动稳定的优点。超导磁悬浮制式一般又分为低温超导电动磁悬浮制式和高温超导钉扎磁悬浮制式。与低温超导电动磁悬浮制式相比,高温超导钉扎磁悬浮制式利用高温超导体的磁通钉扎作用,在产生悬浮力的同时,又能实现横向稳定的导向力,且具有超导态低成本实现的特点,成为一种新型的、悬浮导向一体化的轨道交通工具[1]。研究结果表明,其悬浮系统是典型的非线性系统[2],且磁轨耦合易发生共振,影响列车的安全性和舒适性[3]。因此,近年来,对高温超导磁通钉扎悬浮列车非线性振动行为的研究成为该领域的一个研究热点[4]。

LEI et al[5]对垂直振动下的高温超导磁通钉扎悬浮列车如何长期保持悬浮稳定进行研究,发现采用预紧力法并选取合适的预紧高度可以有效改善悬浮力的衰减。同时LI et al[6]发现,增加二系悬挂系统也能提高减振性能。为了增强高温超导磁通钉扎悬浮系统的阻尼特性, ZHANG et al[7]引入了涡流阻尼器。MOON[8]从研究系统的混沌运动角度出发,利用实验以及数值仿真证明了高温超导磁通钉扎悬浮系统在某些外部激励下就会产生混沌运动。ZHUO et al[9]通过研究改进的悬浮力数学模型,发现系统通过倍周期分岔和阵发性2条路径可出现混沌运动。尽管上述研究可以分析高温超导磁通钉扎悬浮系统的部分非线性振动行为,但针对系统参数和运行参数对混沌的综合影响研究相对较少。

现基于Melnikov方法为高温超导钉扎悬浮列车改进型悬浮架系统通往混沌运动的研究提供了一种新的思路:利用等效处理方法得到改进型悬浮架系统的悬浮力数据,建立系统的运动微分方程,使用Melnikov方法推导得出系统的混沌阈值,分析系统参数与运行参数对混沌阈值的影响,给出系统避免发生混沌运动的可行域。

1 改进型悬浮架系统的提出

高温超导磁通钉扎悬浮列车通常采用上方高温超导体和下方永磁轨道的布置方式,这种传统的上下单层布置方式在列车运行时存在着一定的脱轨风险。为了提升列车运行的安全性和增大悬浮特性,将传统的高温超导体与永磁轨道单层面面相对式的悬浮架系统改为双层抱轨式。包含改进型悬浮架系统的高温超导磁通钉扎磁悬浮列车主要组成部分如图1所示,高温超导块组合与永磁轨道之间存在着上下2个悬浮间隙,其值各自可变但和为定值,在后续的研究中,悬浮间隙是指上悬浮间隙。

图1 包含改进型悬浮架系统的高温超导磁通钉扎磁悬浮列车主要组成示意图

2 悬浮力理论分析及讨论

2.1 实验装置和测试原理

利用实验装置测试高温超导块组合与永磁轨道之间的悬浮力数据。实验装置实物如图2所示,其测试原理如图3所示。

图2 悬浮力实验装置

图3 悬浮力实验装置测试原理示意图

实验测试的基本步骤:利用电机旋转丝杆螺母机构产生的直线运动带动低温容器上下运动(见虚线双向箭头),使高温超导块组合接近永磁轨道,保持两者之间的距离不变(设定场冷高度);将液氮倒入低温容器中,使高温超导块组合在永磁轨道的磁场下冷却进入超导态(即场冷);高温超导块组合在直线电机的带动下上下移动,位移传感器测量上下移动的悬浮间隙,压力传感器测量得到悬浮力。

2.2 等效处理方法提出和验证

图4 悬浮力和悬浮间隙的关系

针对高温超导块组合处于超导态时(浸泡在液氮中)的混合特性,基于冻结镜像模型[10]提出了等效处理高温超导体的方法:基于冻结镜像将高温超导块组合等效处理成磁化的磁体,模拟捕获磁场的特性;基于移动镜像将其等效处理成具有较小的相对导磁率模拟抗磁性,进行矢量求和得到高温超导块组合与永磁轨道之间宏观的悬浮力,该悬浮力类似于非线性特征的弹簧。基于等效处理方法得到在场冷高度为0.022 m时,不同悬浮间隙下的悬浮力理论数据,将其与实验数据进行比对,如图4所示。

由图4可观察到无论是实验测量还是理论计算的悬浮力,均随着悬浮间隙的增大先快速上升至最大值后缓慢下降,最终趋向于0,且在场冷高度处悬浮力为0,表明该位置为不受重力影响下的平衡点zeq,且理论结果与实验数据吻合较好,验证了等效处理方法的正确性。

3 改进型悬浮架系统的动力学建模

图5 改进型悬浮架系统的垂向力学模型

文献[11]研究表明高温超导块组合和永磁轨道之间存在着阻尼。当悬浮架本体振动时,高温超导块下方导电材料(如铜)产生涡流阻尼力,阻尼力大小和系数可通过铜的结构和尺寸改变。为分析轨道不平顺对系统振动响应的影响,考虑悬浮力、重力和阻尼力建立改进型悬浮架系统的垂向力学模型如图5所示。

基于达朗贝尔原理,得到改进型悬浮架系统的垂向振动动力学方程

(1)

引入z=z1-z0,并令Fsum=F(z,t)-mg。得到变形后的改进型悬浮架系统垂向动力学微分方程

(2)

场冷高度设定为0.022 m。利用坐标变换原理将平衡点zeq移至原点,平移距离u可表示为u=z-zeq。采用三次多项式函数拟合Fsum与u的关系,表达式形式如下

图6 改进型悬浮架系统的悬浮力与悬浮间隙关系

Fsum=k3u3+k2u2+k1u

(3)

拟合结果与离散数据对比图如图6所示。

由图6可以观察到,三次项函数的经验公式与离散数据吻合良好。相比于k1(1.325×105)和k3(2.542×108),k2(-0.141)的值很小,可忽略不计。基于以上变换,得到改进型悬浮架系统的垂向动力学方程为

(4)

轨道不平顺通常包括较多频谱,而在实际效果中往往1、2个激励占据主要作用,故假定轨道不平顺的激励为z0=F1cos(ω1t)+F2cos(ω2t),将z0的表达式代入式(4),得到双频简谐激励下系统的运动微分方程

(5)

4 改进型悬浮架系统的混沌特性分析

4.1 混沌阈值的求解和验证

为了后续推导,引入如下变换

(6)

并将式(5)改写成向量函数的形式

(7)

根据文献[12]介绍的Melnikov理论,求解式(7)后将式(6)代入整理,得到发生混沌运动的必要条件为

(8)

为了验证混沌阈值曲面的正确性,选取表1中的参数,得到的混沌阈值曲面如图7所示。

表1 系统参数与运行参数基本取值

图7 混沌阈值曲面验证

在图7中的混沌曲面上下方各选取一点A、B,代入式(8)进行计算,选择稳态响应的后10%进行分析。计算每个激励点处响应的时间历程图、相图、Poincare截面和频谱图,如图8、图9所示。

图8 点A处系统的响应

图9 点B处系统的响应

点A(10,100,0.000 05)位于曲面下方,理论上系统响应为周期或拟周期运动;点B(57,55.2,0.002)位于曲面上方,其响应状态应为混沌运动或其他。由图8可以观察到A点为拟周期运动,图9点B时程图曲线走势随机但上下有界,相图规律但有一定范围,Poincare截面为有限个离散点的组合,频谱图有多个连续频率成分,故此时是混沌运动。由此验证了得到混沌阈值的正确性,故可利用式(8)进行下一步研究。

4.2 系统参数和运行参数对混沌阈值的影响

当轨道激励为简谐激励时,根据周期性,利用轨道不平顺的波长λ以及运行速度v表示外部激励频率ω。即ω=2πv/λ,得到改进型悬浮架系统发生混沌运动的必要条件表达式

(9)

取表1中数据,令v=600 km/h,观察值见表2,以λ1、λ2为变量,F为混沌阈值,由式(9)得到不同系统参数对混沌阈值的影响规律如图10所示。图10中箭头方向表示随参数增大混沌阈值曲面的移动方向。

表2 系统参数变化取值

图10 系统参数对混沌阈值的影响

图11 激励幅值与运行速度的混沌阈值曲线

由图10可以观察到,随着质量和非线性刚度的增大,曲面向下移,表明系统发生混沌运动的概率增加;而随着阻尼和线性刚度的增加,系统发生混沌运动的概率减小。因此,设计时应尽量减小系统质量和非线性刚度,增大阻尼和线性刚度。

为了研究动态运行时系统的混沌阈值,计算得到最高设计运行速度为600 km/h时对应的激励波长:λ1=20.34 m,为了避免主共振,根据上海磁悬浮轨道数据,假定λ1=40 m和λ2=45 m,则根据式(9)得到轨道不平顺激励幅值和运行速度的混沌阈值曲线,如图11所示。

图12 混沌阈值随阻尼变化情况曲线

由图11观察到运行速度越高对应的安全激励幅值就越低,要求轨道越平顺,基于图10(b)及表1可知,系统阻尼的选取略小,因此,其余数据不变,分别提取阻尼依次增大时的混沌阈值,如图12所示。

从图12可以得到,混沌阈值随着阻尼的变化呈线性关系,拟合关系式为

F=1.087 5×10-5c

(10)

因此,为了降低建造永磁轨道的难度,当要求激励幅值不小于1 mm时,根据式(10),改进型悬浮架系统的阻尼应该不小于92.0 N·s/m。

图13 关于λ2混沌阈值曲线

研究的是双频激励下高温超导磁通钉扎悬浮列车改进型悬浮架系统的振动行为,而双频激励下除了主共振也会产生联合共振的情况,如主-超谐联合共振和主-亚谐联合共振。根据主共振时对应的激励波长,λ2取值在6.78～60.96 m范围内。通过式(9)分析波长λ2对混沌阈值F的影响,如图13所示。

由图13可以观察到在Ap点(λ2=13.58 m)处的混沌阈值较低,此时波长约为主共振波长的0.67倍。因此在设计永磁轨道时,若其中一个外部激励频率与系统固有频率接近,另一个外部激励频率取值应该避免取固有频率的0.67倍附近,以降低列车出现混沌运动的可能。

5 结论

研究了双频率激励下高温超导磁通钉扎悬浮列车改进型悬浮架系统的混沌运动,分析了系统参数和运行参数对混沌阈值的影响,主要结论如下:

(1)混沌阈值随着质量和非线性刚度的增大而减小,随着阻尼和线性刚度的增大而增大,故为了避免系统发生混沌运动,应减小系统的质量和非线性刚度,增大系统的阻尼和线性刚度。

(2)在最高运行速度600 km/h时,激励幅值混沌阈值随着阻尼的增大近似线性增大,为了降低建造永磁轨道的难度,激励幅值不小于1 mm,改进型悬浮架系统的阻尼应该不小于92.0 N·s/m。

(3)当一个激励频率接近固有频率时,另一个激励频率应避免取固有频率的0.67倍。