音律是缠绵的数学运算

张恬听

虽然音乐通常被用来放松身心，但音律研究绝非如此，即便“如何确定一个音阶”这样最基础的问题，也要涉及缠绵的数学运算。坦率地说，这是一个非常简单的数学问题：所谓音乐，就是按照某种节奏依次连接不同频率的声音，而人耳是一种非常灵敏的机械波感受器，并不是随便两个声音连在一起就能觉得好听——在绝大多数情况下，如果两个声音的频率接近简单的整数比，那么它们接连奏响就比较好听， 最简单的比例当然是1︰1和1︰2，但这未免太单调了，需要在两者之间找到更广 阔的天地。幸亏声音的频率直接反比于弦乐器的弦长，或者管乐器的气柱长，所以通过打孔或者改弦便可实现。而人类很早就开始研究声律法了。

一、音律是在理性思维下的一场数字游戏

伟大的作曲家伊戈尔·菲德洛维奇·斯特

拉文斯基曾说： “音乐这种形式和数学较为接近——也许不是和数学本身相关，但肯定与数学思维和关系式有关。”古希腊时期关于音乐和比例之间的关系就是依据数学的等比划分，早期音乐中时值最开始是以三等分来划分，后来才发展出两等分；比如各个模仿声部之间的比例的确定；比如早期对八度、五度的运用，到逐渐加入三度和六度的过程，以及一直避免三全音的观念；比如将音乐高潮放在黄金分割点上的创作技法，无一不是在数学思维下进行的音乐创作。

譬如毕达哥拉斯学派的五度相生律，首先考虑了2/3的情况：先取某个长度的琴弦为基准，当作C；剪掉C的1/3，得到了G；然后延长G的1/3，得到了D；再剪掉D的1/3，得到了A；再延长A的1/3，得到了E；再剪掉E的1/3，就得到了B。这样每次剪短都是纯五度， 而每次延长都是纯四度，新生成的5个音，连同最初的C，相邻两个的频率比例都是9/8，而且B和下一个C的频率比例是256/243，相当 于预期的9/8的一半，但是E和G之间缺一个音，那就给下一个C延长一半，就得到了F，F与G的比例也是9/8，与E的比例也是256/243，可以说很不简单了。就这样西方人得到了最初 的七个音阶，也就是钢琴上的白键。

无独有偶，中国人也给竹管加 1/3或者减 1/3，即所谓的“三分损益法”：从宫调开始 得到商、角、徵、羽四个音，而放弃了最后两个有些叛逆的B和F。但是在古代，西方数学 长于几何，而东方数学长于算数，中国人尝试 了更加极端的三分损益，据《史记》记载：取 九九八十一为基本长度，定名为黄钟，也就是C，由此开始连环三分损益，得到了应钟，也就是B，仍不停下，而后得到了蕤宾，也就是#F，继续 损益，最终产生的清黄钟长度，约39.9548， 这比理想的半个黄钟即40.5还差一点，但也无 可奈何。同时，这也产生了5个变化的音。当 西方人在文艺复兴时期做出同样的计算时，就 把这几个音制成了小键琴和大键琴的黑键。但 五度相生律毕竟古老，它的缺陷非常严重：七 个基本音只有纯五度和纯四度一种和谐关系，其余大三度是81/64（C—E），小三度是32/27 （E—G），都不是简单的整数比，严重限制了 音乐的可能。欧洲人尝试了很多修正法，一种 叫作纯律的做法是给E的弦长做了些微小的调 整，乘上了80/81这个很接近1的数字，使得C— E大三度成了5/4，E—G小三度成了6/5——用 类似的方法修改A和B——但这也无非是拆东墙补西墙，不和谐仍然显著。另一类稍好的做 法称为中庸律，就是让五度变得平均，把这些 不和谐分摊掉，这样纯五度的变化不甚剧烈， 而大三度和小三度都将变得和谐——这类实践在16世纪以后的欧洲丰富起来，和声乐理因此 迅速发展，效果华丽讲究对位的复调音乐渐入 佳境。

与此同时，中国人算数的功力更加精湛出众：既然五度相生律让人们养成了将二倍的 频率分成十二份的习惯，那么在最理想的条件下，就应该将这十二份构成等比数列，这个比值显然是2的12次方根，一个无理数，本來就不能以简单整数表示，这就是五度相生律和纯律那些瑕疵的来源，而中庸律已然摸到了门道，所以好用很多，只是算数不够强大。于是在明万历十二年（1584），东方艺术百科全书式的人物朱载堉（1536—1610）用算盘硬生生精确计算出了2的12次方根的25位小数，推出了全新的“十二平均律”。2的12次方根虽然是个无理数，但它们的两两比值却非常接近五度相生律的简单整数比，让人耳难以察觉，同时排除了五度相生的瑕疵，这种无懈可击的生律法经意大利传教士利玛窦介绍给了法国著名的数学家梅森，写进《宇宙和谐》（HarmonieUniverselle），这或许给欧洲音乐带来了至关重 要的启发，研究如何将无理数的不和谐均摊在所有的音上。巴赫因此创作了精湛的赋格与卡农，将巴洛克音乐推上了空前的高峰，再后来有了更加准确的钢琴，欧洲的音乐才渐渐有了今天的模样。

此后欧洲音乐创作的技法和观念，从巴洛克时期发展成熟的各种复调手法伊始，从某种程度上来说更是一场数字的游戏，比如各种对主题的倒影、逆行和倒影逆行技法的运用。整个巴洛克时期、古典时期和浪漫主义时期通用的功能和声，也是和数学模式紧密相关的。比如V—I就能确立一个新调，或者传统的转调都   是在近关系调之间转，或者模进中的“首调模进”和“变调模进”，本质上都是长久以来从数学的逻辑推导出来的。

到了20世纪初，勋伯格打破传统调性体系后，不论是自由无调性还是序列音乐，都是建立在“音集”理论上的。这个“音集”，就是把一个音高组合的材料数字化，然后再用各种方式进行变形和变奏。再到后来，当电子音乐发展起来以后，很多电子音乐“创作”的软件或程序，其本身就是一种编程行为而不是传统的音乐创作思维了。也就是说，只要是以音程和音阶及其移位作为基本的音乐理论基础和创作素材的音乐作品，都是和数学思维紧密相关的。

二、声音的艺术与耳朵的特性

关于音乐和数学的讨论，最经典的联系就是傅里叶变换，从我们日常对声音的感知，到乐曲的写作编排，它们的本质都离不开这五个字；但是我们的耳朵并不需要拿起笔去做微积分来计算傅里叶变换，因为大自然的进化，让我们的耳朵拥有着更为微妙的方式去感受这个世界。

在19世纪，数学家傅里叶证明了任何周期函数都可以写作正弦函数的和，而声波正是一种周期函数， 声音的三种品质：音量、音调、音色分别对应该函数的振幅、频率和分解得到的正弦函数序列。简单来讲，傅里叶变换就是把“随着时间变化的波动”变成“固定数值的频率”来表示。再具体到声音上面，声音是由振动产生的，而振动则是随着时间往返重复变化的位移，那么最简单直接的感受振动的方式，就是感受每一个时刻对应的位移。但是，如果这个振动的位移变化的规律是固定不变的呢？比如，是按照相同的时间间隔持续往返的变化？如果老老实实去描述它每一个时刻的位移，就会产生大量重复的信息。因此我们可以重新定义一个物理量，即“频率”，来概括这些冗余的信息。频率描述的就是一个振动的快慢。这就是傅里叶变换所做的事情，而我们的耳朵则无时无刻不在做这样的事情——把振动变换成频率的描述，然后传递给大脑。因此我们的一切有关声音的艺术也围绕着我们耳朵的这个特性而展开。

声音通过外耳被收集，在中耳，也就是鼓膜和三个听小骨，被放大，最后传递到内耳被转换成神经信号。在内耳，最主要的感受声音的器官叫作耳蜗，它像蜗牛壳一样，是一个螺 旋形的结构；而耳蜗内部分布着大量的听觉毛细胞，当有声音进入耳朵里的时候，耳蜗就会 接收到声音的振动；耳蜗有一个特性，就是由于基底膜的材质、毛细胞的形态等不同，特定的位置只对特定的频率敏感。耳蜗的最中心处对最低的频率敏感，对人类来说，这个频率大 概是20Hz，而越往外则对高频越敏感。这样一 来，在耳蜗里，声音就按照不同的频率被分开了。不同位置的毛细胞，在受到其对应的特定频率 的振动的刺激后就会产生神经冲动；不同位置的毛细胞产生的神经冲动传递到大脑，大脑就可以分辨出不同频率的声音了。这就完成了人 耳内部的傅里叶变换。

由此我们把持续的振动转换为固定的频率去感受声音。比如在乐谱中，一个音符可以传达出两个信息：频率（音高）和持续的时长。实际上，当我们奏响音符的时候，发出来的是 持续的振动。然而，对于同样频率的振动，我们只需要用某个特定位置的小黑点来代表就可以了。这个小黑点的上下位置，在音乐里，我们称为音高；而在物理上，我们就把它称为振动的频率。乐谱这样的特性为音乐的发展带来了极大的便利，否则如果我们需要依赖一系列变化的波动来记录音乐，那么我们的乐谱将会复杂到无法辨认。

三、音乐是无法量化的美感和意境

关于这一结论，来源于笔者近期看到的将神经科学引入音乐研究的课题。研究音乐本质上是研究我们自己，音乐、声音本身不产生美，它们只是美的诱饵。这又可以联想到一个问题——为什么大众会觉得现代派的音乐难以入耳，而莫扎特的音乐大众会觉得好听？笔者认为这也可以从神经科学的角度来回答。首先莫扎特的音乐和声很朴素，更接近数学的和谐，这种好听是属于自然科学的；但后期比如斯特拉文斯基，大概就很难有大众能听得进去了，但搞音乐的人，水平越高，越是能“听懂”，反而会觉得好听。这就是一个类似“墙上的污点”的道理，盯得时间久了，污点之间就会在脑中生发出某种联系，最后变成一副有意义的供欣赏的画。同理，搞音乐的人对和声的欣赏需求远远超越了莫扎特时期，他们会无限细分和声排列组合的可能性，这样一来他们欣赏音乐的需求就从莫扎特到贝多芬，从柴可夫斯基到瓦格纳，从拉赫玛尼诺夫到斯特拉文斯基，再到最后无调性音乐，一路下来他们不断地在脑海中无限细分“不协和到协和解决”的原理。

所以整个过程就是人脑自己跟自己玩的一 个无限拆分游戏，大脑不断渴望寻求更新鮮的声音。听音乐的美感跟看小说、电影其实是一样的，让大脑兴奋的永远是剧情矛盾的升级到矛盾解决后的畅快淋漓，一部电影仅有单纯的和谐肯定是索然无味的，音乐也一样，从头到尾C大三和弦重复五分钟不叫美感，而G属七和弦到C大三才产生美感，实际上就是和电影一样注重矛盾冲突的解决过程。

笔者对于用神经科学来回答音乐“悦耳” 的问题并不专业，只能给出浅显的理解，即由于人脑的奖励机制并不平滑可导，所以用音乐试错成本低。音乐，或者说艺术，之所以触及灵魂，是因为作用于神经柱级的奖励机制，其目的在于帮助大脑开发新功能的神经柱；而数学，是系统提升无法构建某种功能神经柱的环境，所以无法触发奖励机制，普遍指多巴胺。

回到音乐与数学的关系，既然音乐的本质是数学，但数字化的东西却始终缺一点点，即感情。感情表达不是写一个记号就能清晰完成的，每一个失误都可能造就经典，每一根没调准的弦也有可能形成鲜明的风格，每一次演奏者脑子里形成的画面也会被接受者重新理解，所以感情是不可量化的。所以， 对比录音录像，大家可能会更喜欢听现场演唱；对比完美无瑕的midi（乐器数字化接口）制品（可理解为计算机合成的音乐），大家更喜欢有错误和不稳定发挥的bigband（大乐团）。类比来说，正是因为音乐有其不确定性，以及无法量化的美感和意境，才使它成为数学可以解释、可以评论，但无法替代的艺术。

四、结语

莱布尼兹有一句话， “音乐是数学在灵魂 中无意识的运算”，音乐正如有情绪的数学，而数学则像最纯粹的音乐，乐音激荡，而数字翩跹，音乐与数学恰似人类心智开出的两朵玫瑰。虽然乐律是音乐乐音体系的基石，但乐律 与音乐就像软件编程与软件操作之间的关系，前者需要精密的计算逻辑，而后者只需要把软件当作工具来运用即可，无须关心这个软件是如何编写的。而音乐与数理之间的关系，也并 非一定要牵扯到理性与感性之间的矛盾与平衡。

[作者简介]张恬昕，女，汉族，湖北黄石人，南京艺术学院硕士研究生在读，研究方向为民族音乐学。