高中物理滑动变阻器分压连接规律探究

张 健，谭庆宁，文琳厶，廖 辉，黄麟惠，卢靖宇

重庆市朝阳中学，重庆 400700

在高中物理学习中，有这样一类问题：应用物理原理尽管能推出结论性的表达式，但限于高中生的数学综合能力，理清这个表达式所承载的规律却并不是一件轻松的事。此时，如果能将表达式（数）和其图像（形）相结合，自然能降低难度，提升学生学习的自信心和效果。因此，借助一种工具将数转化为形就弥足珍贵，其中Desmos 就是这样一款软件。如果在教学过程中巧妙引入并设计，不仅能彰显规律（单调性、极值等），发现新知，还能动态呈现，生动形象。于是，对高中物理中滑动变阻器的分压连接规律［1］和特点展开研究。

1 实验探究分压电路［2］

1.1 器材及规格

学生电源，滑动变阻器R（20 Ω 2 A），滑动变阻器R2（50 Ω 2 A），定值电阻R1＝10 Ω，单刀单掷开关，双量程电压表（15 V 3 V），双量程电流表（3 A 0.6 A），多量程数字电流表（2 A 200 mA 20 mA），电脑，导线若干。

1.2 基本电路及主要电学量

（1）在本研究中，R>0，R1>0，R2≥0，r0≥0，E>0，令r=r0+R2≥0。在实验中，R2也选用滑动变阻器，是为了研究干路电阻的变化对分压电路的影响。电路图如图1所示。

图1 分压连接电路图

（2）设滑动变阻器R 滑片左侧电阻为Rx（0≤Rx≤R），则滑片右侧电阻为（R-Rx）；R1与Rx并联两端的电压为U，通过R1的电流为I1，通过滑动变阻器支路部分电流为I2。

（3）连接电路。

为了测量I2，从电阻丝左端接线柱引出导线，串联一个电流表，电路连接示意图如图2所示。

图2 电流表连接示意图

实验过程中，发现I2很小，改用20 mA 量程的数字电流表，并连接电脑，显示I2的变化图像。最终实验电路图如图3所示。

图3 数字电流表连接电脑电路图

1.3 实验过程

（1）接通电源、闭合开关前，检查滑动变阻器R，R2的滑片是否置于最左端。

（2）闭合开关，调节R2到某一个值（较大值）并保持不变，从左向右移动R 的滑片过程中（Rx由零增大到R），观察电表的示数变化。随后，立刻断开开关，R 的滑片移回到左端。

（3）再次闭合开关，调节R2到某一个值（较小值）并保持不变，从左向右移动R 的滑片过程中，观察电表的示数变化。随后，立刻断开开关，R 的滑片移回到左端。

（4）重复步骤（2）（3），多做几组实验。

（5）实验完毕，整理器材。

1.4 实验结论

（1）当R 的滑片向右移动的过程中，I1，U 增大，与R2的取值无关。

（2）当R 的滑片向右移动的过程中，R2较小时，I2先减小后增大；R2较大时，I2先减小，之后是否再增大，难以判断。其中两次实验中，I2-Rx图像截图如图4、图5所示。

图4 r 较小时，数字电流表I2-Rx 图像截图

图5 r 较大时，数字电流表I2-Rx 图像截图

2 单调性理论推导

通过上述实验，定性得到了U，I，I1，I2随Rx的变化规律。需要从理论上进行论证并定量表达。在研究中，电路中每一个物理量单调性均用微积分知识进行了论证［3］。本文只对难以一眼看出单调性的Rf和I2展开讨论。

如图1所示，当滑片从左端移到右端的过程中，分析下列电学量的单调性及变化范围。

（1）R1与Rx并联的总电阻Rb↑

（2）分压电路部分的总电阻Rf，即（R-Rx）与Rb串联总电阻

Rf对Rx求导

可得

∵0≤Rx≤R

∴R1+Rx≥R1>0

Rx=0 时，R'f=0

∴Rx=0，Rf=R 为最大值

所以，Rf在Rx∈［0，R］范围内单调递减。

（3）总电流I↑

（4）Rb两端的电压U↑

（5）R1中的电流I1↑

（6）Rx中的电流I2

I2对Rx求导，整理可得

解得

极值点的坐标为

当r

当r≥R 时，Rx0≥R，所以I2在Rx∈［0，R］范围内单调递减，对应如图5所示。

3 Desmos 呈现函数规律［4］

实验探究让学生对问题有了感性认识和初步了解，继而从理论上论证。但抽象的表达式仍然让学生对规律的认识和理解有不小的难度。于是，有必要用一款数学软件对相应表达式精准绘制图像，直观呈现，也进一步验证实验和理论推导。并可以利用软件特有的强大功能，通过参数的调整，动态呈现规律及其细节变化。通过反复播放和观察，对规律的认识和理解将更加透彻，甚至有新的发现。

本文选用Desmos 图形软件，设置与实验相同的参数，建立对应函数，得到图像如图6、图7所示。由图易知：（1）在E，R，R1，r 一定时，U，I，I1随Rx单调递增；且r 增大时，U，I，I1变化范围减小。（2）在E，R，R1，r 一定时，I2在Rx≥0 的实数范围内总呈现先减后增的两个单调区间，其极值点随着r 增大而右移；当r>R 时，其极值点已超出0～R 的范围，故实验中得到的结论是单调递减。上述结论均与实验和理论推导一致。

图6 Desmos 绘图截图［U－Rx 图像（细实线）、I－Rx 图像（细虚线）、I1－Rx 图像（粗虚线）、I2－Rx 图像（粗实线）］

图7 Desmos 绘图截图［U－Rx 图像（细实线）、I－Rx 图像（细虚线）、I1－Rx 图像（粗虚线）、I2－Rx 图像（粗实线）］

在以上对滑动变阻器分压连接规律探究活动中，师生共同参与，发挥个人特长，相互学习、团结协作；理论与实验相结合，数与形相得益彰。学生不仅对分压规律有了深刻的认识，而且培养了严谨求真的科学态度，实验探究、运用数学知识解决问题等多方面能力均得到了充分的锻炼和提高。