径向热传导方程源项的分数阶Tikhonov-Landweber反演方法*

刘桂娟,张 文,†,徐会林,阮周生,黄泽权

(1.东华理工大学 理学院,南昌 330013;2.赣南师范大学 数学与计算机科学学院,江西 赣州 341000)

0 引言

考虑径向热传导问题如下:

(1)

(2)

本文所设置的反问题为:通过终止时刻数据u(r,T)=g(r)来反演源项f(r).

针对源项识别的反演问题, 应用非常广泛, 例如在污染源的识别、锅炉内部温度的探测、雷达探测等等领域都发挥着重要作用.时间-分数阶扩散方程可以用于描述超扩散和亚扩散现象[1-2].由于反问题是不适定的,需要选择合适的正则化方法才能得出精度较高的近似解,国内外众多学者进行过这方面的研究,并得出了许多有益的研究结论.例如文献[3-6]用简化的Tikhonov方法、谱方法、Landweber方法和拟逆法对α=1时的问题(1)进行正则化求解,文献[7-8]分别用分数阶Tikhonov迭代法和平稳迭代加权的Tikhonov正则化方法对0<α<1的问题(1)进行正则化求解.而对于大规模的不适定问题,迭代的正则化方法比经典的正则化方法更加受欢迎[9],文献[10]首次提出了分数阶正则化方法,而后文献[11-14]介绍了分数阶Tikhonov正则化方法和分数阶Landweber正则化方法,文献[15]提出了修正的分数阶迭代正则化方法,文献[9]则采用梯度流将分数阶Tikhonov正则化方法和分数阶Landweber正则化方法结合,提出了分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化方法,该正则化方法可以避免出现经典迭代方法的过平滑问题,且迭代次数较少.

文章结构如下:引言部分,介绍本文所研究的问题以及国内外研究现状;第1节讨论正问题解的表达形式,并进一步引出反问题;第2节分析反问题解的不适定性,分别给出了先验和后验误差估计;第3节通过列举两个数值算例说明算法的有效性;第4节总结了全文所研究内容.

1 正问题的解

(3)

(4)

则存在一个线性自伴算子K∶f→g,算子K的奇异值可以表示为

(5)

(6)

(7)

(8)

2 反问题解的不适定分析

由于反问题是不适定的,拟采用分数阶Tikhonov-Landweber迭代法进行求解.首先,回顾分数阶Tikhonov-Landweber迭代法的演变过程.

分数阶Landweber迭代法的滤波函数[13]为:

(9)

其中:0<β<1/‖K‖γ+1,正则化参数为α=1/m;分数阶Tikhonov迭代法的滤波函数[12]为:

(10)

利用梯度流的方法[9],通过参数θ将分数阶Landweber和分数阶Tikhonov迭代法进行结合,便得到了分数阶Tikhonov-Landweber迭代法,即:当θ=0时,为分数阶Landweber迭代法,当θ=1时,便成为分数阶Tikhonov迭代法.于是,分数阶Tikhonov-Landweber迭代法的滤波函数为:

(11)

其中m为迭代次数,β=hm=tm-tm-1为时间步长,θ∈[0,1]表示权重,0<γ≤1.记{σn,un,vn}是自伴算子K的奇异系统.于是带噪声的正则化解可以表示为:

(12)

容易得出下列先验条件下的误差结果.

(13)

则正则化解fm,δ为“阶最优”的.

证明由三角不等式和源项的正则化解(12)有

‖fm,δ-f‖≤‖fm,δ-fm‖+‖fm-f‖,

(14)

(15)

(16)

(17)

即正则化解fm,δ为“阶最优”的.

下面基于Morozov偏差准则,推导正则化解的后验误差分析.给定的τ>1,求fm,δ,使得最小的正整数m满足停止准则:

‖Kfm,δ-gδ‖≤τδ,

(18)

接下来推导正则化解的后验收敛率.

(19)

证明令fm∶=ψmg,那么得到

(20)

事实上,

(21)

相应地,可以得出

(22)

另一方面

‖Kψm-1g-g‖≥‖Kψm-1gδ-gδ‖-‖(Kψm-1-I)(g-gδ)‖≥τδ-‖Kψm-1-I‖δ≥(τ-1)δ.

(23)

于是有

(24)

此外,根据(15)有

(25)

结合(24)和源项条件有:

(26)

(27)

(28)

结合(18)和(24)有

‖Kψmg-g‖≤‖(I-Kψm)(g-gδ)‖+‖(I-Kψm)gδ‖≤(1+τ)δ,

(29)

进一步利用Hölder不等式便可以得出:

(30)

通过结合(25),(28)和(30)便完成了定理2的证明.

3 数值算例

算例1考虑f(r)=sin(2r).

算例2考虑f(r)=e-r2.

选取参数θ=0.8,γ=0.5,p=3,β=0.8,M=100,N=8,τ=1.1,K=3,α=0.7,r0=2π,计算结果如图1、图2所示.

图1 例1中带有不同噪声水平的近似解

图2 例2中带有不同噪声水平的近似解

通过算例1将Tikhonov正则化方法,Landweber迭代正则化方法和分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化方法进行对比,得到表1和表2.

表1 Tikhonov正则化方法,Landweber正则化方法和分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化方法误差对比(算例1)

表2 Tikhonov正则化方法,Landweber正则化方法和分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化方法误差对比(算例2)

从图1-2可以看出,在算例1中当噪声ε=0.001时,源项的先验和后验效果差别不大,但是随着噪声变大,后验的效果要优于先验;在算例2中的情况则相反.当噪声水平分别选取为ε=0.05,0.01,0.001时,分数阶Tikhonov-Landweber迭代法都是有效的,并且噪声越小,误差越小,正则化效果也就更好.从表1-2可以看到,分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化方法比Tikhonov正则化方法误差更小,比Landweber迭代正则化方法需要的迭代次数要少且误差小。

4 结论

本文通过分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化方法讨论了时间分数阶的径向热传导的源项反演问题.针对反问题的解的不适定性进行了分析,分别给出了先验误差估计和Morozov偏差准则条件下的后验误差估计,最后,数值算例表明该分数阶Tikhonov-Landweber迭代正则化是有效的.