GeoGebra技术下的立体几何规则课单元教学探微

李小琪

(广东华侨中学,广东 广州 510000)

立体几何是高中数学的重要内容,也是高考的必考内容,但它往往是学生心中的“拦路虎”,也是部分教师教学上的一大难点．它不仅需要学生熟练掌握概念、基本事实、定理、公式等基础知识,还需要具备较强的逻辑推理、空间想象和综合分析的能力,并且它几乎涵盖了《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称 《新课程标准》)中提出的六大核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析．这就对教师提出了更高的要求,如何借助信息技术的有效手段,设计合理的教学方式,在规则课阶段给学生打下良好的基础,值得我们探究与实践.笔者结合自身的教学实践,借助GeoGebra(以下简称GGB)软件,对立体几何规则课进行整体设计,在此提出一些观点与看法．

1 规则课概念重基础

根据加涅的学习结果分类,高中数学中的性质、法则、公式、公理、定理等都属于智慧技能中的规则,这些是很明显的,还有一些规则就不那么明显,如一些数学基本题的解法.以高中数学中的法则、公式、公理、定理、数学重要结论和数学基本题的解法等数学规则的教学作为主要教学任务的一类课,统称为高中数学规则课型[1].本文所提的立体几何规则课是指以认识基本立体图形,空间点、线、面的位置关系,特别是直线、平面的平行和垂直这两种特殊关系为主要教学内容的课型.

2 单元设计——提站位

《新课程标准》要求高中数学课程以学生发展为本,以落实立德树人为根本任务,培育学生的科学精神和创新意识,提升数学学科核心素养.在教学建议中明确指出要“整体把握教学内容,促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展.”这就要求教师必须提升教学设计的站位,即从关注单一的知识点、课时转变到大单元设计,只有这样,才能真正实现教学设计与素养目标的有效对接[2].

2.1 单元教学设计

单元教学设计是指教师在整体思维模式下,对单元课程规范方案和单元内的课时教案进行整合设计的教学计划[3].单元教学设计是教师对教材中具有＂某种内在关联性＂的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的单元(主题),以数学单元(主题)知识为主要线索,遵守学习规律、认知规律和数学教学原则,以培养和发展数学核心素养为目标的一种教学设计.

2.2 立体几何的研究体系

立体几何初步的主要研究内容为直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系,基本立体图形(柱、锥、台、球)的结构特征,特别重要的是空间中的平行和垂直以及两者之间的密切关联,因为它们是整个定量立体几何的基础所在.

图1 立体几何初步知识结构

3 GGB软件——强学习

立体几何不同于平面几何纸面上的展示,需要学生对几何体性质和结构的抽象思考,信息技术的引入可以使立体几何教学更加直观、简单和高效,增强立体几何教学的科学性、生动性和高效性．GeoGebra软件是一款集几何(geometry)、代数(algebra)、表格、图形、统计和微积分的动态数学软件,具有同时处理代数与几何的功能,既有平面几何区域,也有3D绘图区,在立体几何单元教学中主要用到“3D绘图区”.下面仅从“认识空间几何(体)”选取例子展示.

案例1 可变化为柱体、椎体的台体

图2 可变化为柱体、椎体的台体

当移动滑动条“上下相似比r”至最左端即r=0时,几何体变为椎体;当滑动条“上下相似比r”移至最右端即r=1时,几何体变为台体．当移动滑动条“底面边数n”至右端,如n=25时,可观察几何体由多面体近似为旋转体, 可以让学生直观理解棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台体积公式的一致性,体现了微积分思想,从而培养学生的直观想象素养.

图3 台体变椎体

图4 台体变柱体

图5 多面体近似为旋转体

案例2 平面的基本性质(课堂选录)

笔者没有采取书本上从实际生活真实情境(自行车脚撑、三角架)中提炼,得到“不共线三点确定一个平面”的基本事实,而是采用了一个简单的问题引导式探究推理,也为后续“位置关系”课时的形式做铺垫,采取了先推理再事实验证的模式,实践表明学生接受度、理解度较高.该教学设计以维果斯基的“最近发展区”理论为支撑,教学应当为学生提供重新解决问题的机会,鼓励学生在问题解决中学习,成为解决问题的主人.

问题1:我们初中在学习平面几何知识时知道一个基本事实——两点确定一条直线,现在我们进入研究立体几何阶段,升维,确定一个平面需要几点呢?也是两点吗?或许更多?

问题2:我们先试试两点能否确定一个平面,换句话说,一条直线能否确定一个平面?

由于Illumina Miseq测序得到的是双端序列数据，首先需根据reads之间的overlap关系，将成对的reads 拼接(merge)成一条序列，同时对reads的质量和merge的效果进行质控过滤；然后再根据序列首尾两端的barcode和引物序列区分样品得到有效序列，并校正其序列方向。最后用MOTHUR软件进行操作分类单元(OUTs)计算：先把基因序列相似性在97%以上的归为一类后，再进行OTU picking和物种注释分析，并通过计算稀释性曲线，以及香农指数(Shannon-Wiener)和主成分分析(PCA)，对微生物的菌群结构和物种丰度进行分析。

笔者利用GGB软件制作过一条直线的平面(图6),实际是隐藏了第三个点C,通过创建与C数据有关的滑动条a,手动移动滑动条即改变C的位置,从而实现平面的“转动”即平面的不确定性.

图6 一条直线不能确定一个平面

问题3:显然眼见为实,两点不能确定一个平面,那我们就只能“加码”吧,谨慎起见,先加一点吧,这点能随便加吗?

生:不能在这条直线上,否则就还是一条直线了,平面不能确定．应该是:不共线的三点能否确定一个平面?

笔者再选中上图“代数区”的点C,即显示出点C开启追踪点C的痕迹,可以看见＂不共线的三点确定一个平面＂即C走到哪里,都有唯一的平面同时包含A,B,C.

问题4:我们见识了加一个点,可以确定一个平面了,那再多加一个行不行呢?没有任何三点共线的四个点,可以确定一个平面吗?

生:不一定,不共线的三点已经确定一个平面了,这第四个点可能在平面内,也可能在平面外.

师:很好,就像我们研究平面几何一样,两点确定一条直线,多一点,那就不一定只有一条直线了,特殊情况——三点共线;同理,升维,空间中不共线的三点确定一个平面,多一点,也不一定只有一个平面,当然,有特殊情况――四点共面.

笔者再选中软件中的D点使其显示,通过鼠标移动D点的位置,可以观察D点可能在平面ABC内,也可能在平面外.

问题5:既然四点不一定确定一个平面,有特殊的四点共面的情况,那你们看看自己坐着的椅子是几条腿的?为什么常见的椅子都是四条腿呢?当然三条腿的凳子也有.还有我们马路上常见的车都是四个轮子在飞奔,当然三轮车也存在,这是为什么呢?

师提示:我骑过三轮车,直行还可以,但特别不好转弯,一不小心就侧翻了.

笔者通过这一生活中常见的情境,理论联系实际,进一步理解与加深平面基本性质,并让学生举出生活中的实例,让学生理解数学来源于生活,同时也鼓励学生将数学用于生活,体会数学的生活美,从而提高学生学习数学的兴趣,进而落实数学抽象素养.

案例3 从线线平行到线面平行再到面面平行(以判定定理为例)

笔者对于空间的位置关系教学处理,延续了“平面基本性质”的模式,从低维低级开始,层层“加码”,以动态的点线面为线索,探究判定定理及性质成立需要的条件.

问题1:如果已知一条直线与另一条直线平行,需要一些什么条件才能得到一条直线与平面平行呢?

生:当然需要其中的一条直线“生”出一个平面咯.

师:那一条直线能确定一个平面吗?不能,这个平面会“动”的,但是,尽管如此,无论这个平面“运动”到哪里,另外的那条直线始终与这个平面保持平行吗?(图8)

图8 线面平行的判定

图9 面面平行的判定

笔者先构建两条平行的直线,再同案例2中图6的操作生成一个包含直线AB的“转动”绿色平面(这里隐藏了一个在单位圆上转动的G点,可以生成G的动画, 绿色平面就会围绕直线AB进行360度旋转),请学生亲自操作移动视角,可以观察到,在绿色平面的360度转动过程中都是与另一条直线平行的,但有唯一一个位置除外,就是绿色平面“包住”这条直线时.

师:既然我们观察到,“生”出来的这个平面虽然会“动”,但也足够保证另一条直线与它平行了,只需要排除掉这条直线不在平面内就行了.由此我们可以得到线面平行的判定定理.

在得到线面平行的判定后,笔者又让学生举出生活中的实例(教师适当提示,比如我们现在坐在的教室里)比如门框、作业本等,理论联系实际,以此来巩固理解理论.

问题2:已经得到一个线面平行了,如果我还想进一步得到面面平行呢?

生:继续“生”呗,这不还有一条直线嘛,由它再“生”个平面出来.

师:这个“生”出来的平面还是不确定的(因为只有一条直线),会“动”,那在这个平面的转动过程中,也能始终保持与已有平面保持平行不变吗?

生:不行!只有一个位置可以保持与已有平面平行,其它位置都不平行.

师:那看来“动”是不能满足我们的要求了,怎么让它确定下来呢?

生:加条件!再加一条直线,两条直线可以确定一个平面.

师:加一条怎样的直线,才能保证平面“待在”我们想要的位置呢?

生:与已知直线相交的直线,并且与已知平面平行.

至此,借助GGB软件,我们将线线平行、线面平行与面面平行的判定定理建立了联系,并建立了一套思维模式,也继续用于性质定理以及垂直关系的推导与理解.更重要的是,通过信息技术的直观展示,在学生头脑中建立了动态想象,极大地提高了学生的空间想象力,从而落实数学直观想象素养和逻辑推理素养.

信息技术应用于中学课堂教学,是可视化教学的优势载体,能让学生有直观的感受,为形成概念、辨析理论打下良好基础.利用GGB软件的3D动态效果,为立体几何单元规则课建立了很好的探究模型,课堂“动”起来,学生思维才会“动”起来,调动了学生探索的兴趣,促进了学生的深度学习.