勾股定理——解题的“金钥匙”

栾君昊

勾股定理是华夏文明中的一颗璀璨明珠，也是解决实际问题的“金钥匙”。

例1 一个长方体盒子紧贴底面（如图1），一只蚂蚁從点A出发，在盒子表面上爬到点G，已知AB=6，BC=5，CG=3，求这只蚂蚁爬行的最短距离。

蚂蚁从点A爬到点G有多种路径。根据两点之间，线段最短，我尝试将这个几何体展开。在展开的过程中，我发现有三种不一样的展开方法。

方法一：如图2，

AG =[（AB+BC）2+CG2]

=[（6+5）2+32]

=[130]；

方法二：如图3，

AG =[（BF+FG）2+AB2]

=[（3+5）2+62]

=10；

方法三：如图4，

AG =[（AE+EF）2+FG2]

=[（3+6）2+52]

=[106]；

因为10＜[106]＜[130]，所以蚂蚁爬行的最短距离是10。

当然，把长方体换成圆柱体，方法也一样哦！

例2 如图5，圆柱形玻璃杯高14厘米，底面周长32厘米，在杯内壁离杯底5厘米的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的外壁的点A处，离杯的上沿3厘米，与蜂蜜相对，则蚂蚁从外壁点A到内壁点B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）

我首先想到的是直接连接AB，但实际问题中点A和点B不在同一平面内，所以还应结合轴对称的性质，找到点A的对称点A′，根据两点之间线段最短，再用勾股定理进行计算。如图6，将杯子侧面展开，作点A关于EF的对称点A'，连接A′B，就可以求出点A到点B的最短距离。

因此，我发现，解决最短路径问题有如下步骤： 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解。

教师点评：

勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带。小作者勤于学习，善于思考，能够发现并解决几何体中的最短距离问题：先将立体图形展平，找到平面内的两点，利用两点建立直角三角形模型，再用勾股定理计算。

（指导教师：虞乐园）